2012高中数学 2_1_2课时同步练习 新人教A版选修2-1

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2012高中数学 2_1_2课时同步练习 新人教A版选修2-1

第2章 ‎‎2.1.2‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是(  )‎ A.x2+y2=3         B.x2+2xy=1(x≠±1)‎ C.y= D.x2+y2=9(x≠0)‎ 解析: 设P(x,y),∵kPA+kPB=-1,‎ ‎∴+=-1,整理得x2+2xy=1(x≠±1).‎ 答案: B ‎2.已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|·|+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为(  )‎ A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=4x D.y2=-4x 解析: 由|·|+·,得 ‎4×+(4,0)·(x-2,y-0)=0,‎ ‎∴y2=-8x.‎ 答案: A ‎3.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(  )‎ A.π B.4π C.8π D.9π 解析: 设P(x,y),由|PA|=2|PB|得 =2,‎ 整理得x2-4x+y2=0‎ 即(x-2)2+y2=4.‎ 所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,‎ 故S=4π.‎ 答案: B ‎4.已知A(-1,0),B(1,0),且·=0,则动点M的轨迹方程是(  )‎ A.x2+y2=1 B.x2+y2=2‎ C.x2+y2=1(x≠±1) D.x2+y2=2(x≠±)‎ 解析: 设动点M(x,y),则=(-1-x,-y),‎ =(1-x,-y).‎ 由·=0,得(-1-x)(1-x)+(-y)2=0,‎ 即x2+y2=1.故选A.‎ 答案: A 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.已知点A(0,-1),当点B在曲线y=2x2+1上运动时,线段AB的中点M的轨迹方程是________.‎ 解析: 设点B(x0,y0),则y0=2x+1.①‎ 设线段AB中点为M(x,y),则x=,y=,‎ 即x0=2x,y0=2y+1,代入①式,得 ‎2y+1=2·(2x)2+1.‎ 即y=4x2为线段AB中点的轨迹方程.‎ 答案: y=4x2‎ ‎6.已知动圆P与定圆C:(x+2)2+y2=1相外切,又与定直线l:x=1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是________.‎ 解析: 设P(x,y),动圆P在直线x=1的左侧,‎ 其半径等于1-x,则|PC|=1-x+1,‎ 即=2-x,‎ 整理得y2=-8x.‎ 答案: y2=-8x 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若B=2P,且O·A=1.求P点的轨迹方程.‎ 解析: 由B=2P,P(x,y)可得B(0,3y),A,‎ ‎∴A=.‎ ‎∵Q与P关于y轴对称,‎ ‎∴Q(-x,y),且=(-x,y).‎ 由O·A=1得x2+3y2=1(x>0,y>0).‎ ‎8.过点P1(1,5)作一条直线交x轴于点A,过点P2(2,7)作直线P‎1A的垂线,交y轴于点B,点M在线段AB上,且BM∶MA=1∶2,求动点M的轨迹方程.‎ 解析: 如图所示,‎ 设过P2的直线方程为y-7=k(x-2)(k≠0),则过P1的直线方程为y-5=-(x-1),‎ 所以A(5k+1,0),B(0,-2k+7).①‎ 设M(x,y),则由BM∶MA=1∶2,‎ 得②‎ 消去k,整理得12x+15y-74=0.‎ 故点M的轨迹方程为12x+15y-74=0.③‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9.(10分)已知圆C:x2+(y-3)2=9,过原点作圆C的弦OP,求OP中点Q的轨迹方程.(分别用直接法、定义法、代入法求解)‎ 解析: 方法一(直接法):‎ 如图,因为Q是OP的中点,‎ 所以∠OQC=90°.‎ 设Q(x,y),由题意,得|OQ|2+|QC|2=|OC|2,‎ 即x2+y2+[x2+(y-3)2]=9,‎ 所以x2+2=(去掉原点).‎ 方法二(定义法):‎ 如图所示,因为Q是OP的中点,‎ 所以∠OQC=90°,则Q在以OC为直径的圆上,故Q点的轨迹方程为x2+2=(去掉原点).‎ 方法三(代入法):设P(x1,y1),Q(x,y),‎ 由题意,得,即,‎ 又因为x+(y1-3)2=9,‎ 所以4x2+42=9,‎ 即x2+2=(去掉原点).‎ ‎ ‎
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