2020高中数学函数的最大(小)值

2020高中数学函数的最大(小)值

课时分层作业(十)　函数的最大(小)值 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)‎ A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值 A　[结合函数f(x)＝在[1，＋∞)上的图象可知函数有最大值无最小值．]‎ ‎2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为(　　) ‎ ‎【导学号：37102146】‎ A．[－6，－2]　　　　　　　 B．[－11，－2]‎ C．[－11，－6] D．[－11，－1]‎ B　[函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，‎ 所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；‎ 当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，‎ 所以函数f(x)的值域是[－11，－2]．故选B.]‎ ‎3．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)‎ A．10,6 B．10,8‎ C．8,6 D．以上都不对 A　[当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.]‎ ‎4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) ‎ ‎【导学号：37102147】‎ A．(－∞，1] B．(－∞，0]‎ C．(－∞，0) D．(0，＋∞)‎ C　[令f(x)＝－x2＋2x，‎ 则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.‎ 又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0，‎ ‎∴a<0.]‎ ‎5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)‎ A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 C　[设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为 - 4 -‎ L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，‎ ‎∴当x＝9或10时，L最大为120万元．]‎ 二、填空题 ‎6．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________. ‎ ‎【导学号：37102148】‎ ‎4　[因为f(x)＝在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.]‎ ‎7．函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上的最大值为________．‎ ‎－4　[∵在区间上是减函数，－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝－3x在区间上是减函数，‎ ‎∴f(x)max＝f(2)＝－3×2＝－4.]‎ ‎8．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________. ‎ ‎【导学号：37102149】‎ ‎1　[函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.‎ 故当x＝0时，函数有最小值，‎ 当x＝1时，函数有最大值．‎ ‎∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，‎ ‎∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.]‎ 三、解答题 ‎9．画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．‎ ‎[解]　函数的图象如图所示．‎ 由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．‎ ‎(2)由函数图象可知，‎ 函数的最小值为f(0)＝－1.‎ ‎10．已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.‎ ‎(1)求f(x)在区间[‎2a－1,2]上的最小值g(a)；‎ ‎(2)求g(a)的最大值. ‎ ‎【导学号：37102150】‎ ‎[解]　(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，‎ ‎∴当‎2a－1≤0，即a≤时，f(x)min＝f(‎2a－1)＝－‎4a2＋‎8a－6；‎ 当0＜‎2a－1＜2，即0)，则f(x)在[－5,5]上的最大值为(　　) ‎ ‎【导学号：37102151】‎ A．1－a2 B．26＋‎‎10a C．26－‎10a D．不存在 B　[函数f(x)＝x2＋2ax＋1开口向上，对称轴为x＝－a<0，故当x＝5时，f(x)有最大值，且f(5)＝26＋‎10a.故选B.]‎ ‎3．函数g(x)＝2x－的值域为________．‎ 　[设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，‎ 即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝22－，t≥0，‎ ‎∴当t＝时，ymin＝－，‎ ‎∴函数g(x)的值域为.]‎ ‎4．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________. ‎ ‎【导学号：37102152】‎ ‎6　[在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．‎ 根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．‎ 解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)．‎ - 4 -‎ 所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.]‎ ‎5．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：‎ x ‎45‎ ‎50‎ y ‎27‎ ‎12‎ ‎(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．‎ ‎(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？‎ ‎[解]　(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组解得 所以y＝f(x)＝－3x＋162.‎ 又y≥0，所以30≤x≤54，‎ 故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．‎ ‎(2)由题意得，‎ P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)‎ ‎＝－3x2＋252x－4 860‎ ‎＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．‎ 当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．‎ - 4 -‎