2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二上学期期末数学试题（解析版）

2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二（上）期末数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）中心在原点的椭圆的右焦点为F（1，0），离心率等于，则该椭圆的方程是（　　）‎ A．=1 B．=1 C．=1 D．=1‎ ‎2．（5分）在直角坐标系xOy中，点A（﹣2，2）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（　　）‎ A． B．（2） C． D．‎ ‎3．（5分）运行如图所示的程序框图，输出A，B，C的一组数据为 ，﹣1，2，则在两个判断框内的横线上分别应填（　　）‎ A．垂直、相切 B．平行、相交 C．垂直、相离 D．平行、相切 ‎4．（5分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎5．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（　　）‎ A．an=2n B．an=2（n﹣1） C．an=2n D．an=2n﹣1‎ ‎6．（5分）在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎8．（5分）下列说法中正确的是（　　）‎ ‎①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越弱；‎ ‎②回归直线y=bx+a一定经过样本点的中心（）；‎ ‎③随机误差e满足E（e）=0，其方差D（e）的大小用来衡量预报的精确度；‎ ‎④相关指数R2用来刻画回归的效果，R越小，说明模型的拟合效果越好．‎ A．①② B．③④ C．①④ D．②③‎ ‎9．（5分）下列程序执行后输出的结果是（　　）‎ A．600 B．880 C．990 D．1100‎ ‎10．（5分）已知双曲线的右焦点为F（c，0），直线x=a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原点，若△OAF的面积为，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C 的交点为A，B，|MA|•|MB|的值为（　　）‎ A．16 B．18 C．8 D．10‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）直线l：mx﹣y+1﹣m=0与⊙C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是　 　．‎ ‎14．（5分）过抛物线方程为y2=4x的焦点作直线l交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|PQ|=　 　．‎ ‎15．（5分）曲线C的参数方程为（θ为参数），曲线C的直角坐标方程为　 　．‎ ‎16．（5分）一圆形纸片的半径为10cm，圆心为O，F为圆内一定点，OF=6cm，M为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M与F重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD，设CD与OM交于P点（如图），以FO所在直线为x轴，线段FO的中线为y轴，建立直角坐标系，则点P的轨迹方程为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本题共70分，其中17题10分，18至22题每题12分.‎ ‎17．（10分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨标准煤）的几组对照数据．‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5 ‎ ‎3‎ ‎4 ‎ ‎4.5‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程 =a+bx；‎ ‎（2）已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，由（1）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ ‎18．（12分）如图茎叶图记录了甲、乙两组四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．‎ ‎（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和标准差；‎ ‎（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．‎ ‎19．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数），求直线l与曲线C相交所截的弦长．‎ ‎20．（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：min）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60min的学生称为“书虫”，低于60min的学生称为“懒虫”，‎ ‎（1）求x的值并估计全校3 000名学生中“书虫”大概有多少名学生？（将频率视为概率）‎ ‎（2）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“书虫”与性别有关：‎ 懒虫 书虫 合计 男 ‎15‎ 女 ‎45‎ 合计 P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：3ρ2=12ρcosθ﹣10（ρ＞0）．‎ ‎（1）求曲线C1的普通方程 ‎（2）曲线C2的方程为，设P、Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线y=m和椭圆C交于A、B两点，直线DA、DB与y轴的交点分别为P、Q，求证：∠PF1F2+∠QF1F2=90°．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）中心在原点的椭圆的右焦点为F（1，0），离心率等于，则该椭圆的方程是（　　）‎ A．=1 B．=1 C．=1 D．=1‎ ‎【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标可得椭圆的焦点在x轴上，且c=1，结合椭圆的离心率公式可得a的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆的一个焦点为F（1，0），‎ 则椭圆的焦点在x轴上，且c=1，‎ 又由椭圆的离心率为，则e==，‎ 则a=3，‎ 则b2=a2﹣c2=8，‎ 则椭圆的标准方程为+=1；‎ 故选：B ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，注意椭圆离心率公式的应用．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）在直角坐标系xOy中，点A（﹣2，2）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（　　）‎ A． B．（2） C． D．‎ ‎【分析】设极坐标系下，点A的极坐标为（ρ，θ），由极坐标与直角坐标的转化方法，可得ρ、θ的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设极坐标系下，点A的极坐标为（ρ，θ），‎ 则有ρ==2，tanθ=﹣1，‎ 则有θ=，‎ 分析可得：点A的极坐标为（2，）；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查极坐标下点的坐标，关键是掌握直角坐标系与极坐标系下的点的坐标的转化．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）运行如图所示的程序框图，输出A，B，C的一组数据为 ，﹣1，2，则在两个判断框内的横线上分别应填（　　）‎ A．垂直、相切 B．平行、相交 C．垂直、相离 D．平行、相切 ‎【分析】根据直线垂直和平行的充要条件，直线与圆的位置关系判定方法，可得直线Ax+By+c=0与x+y﹣1=0的位置关系及x2+y2=1的位置关系．‎ ‎【解答】解：当输出A，B，C的一组数据为 ，﹣1，2时，‎ 直线Ax+By+c=0为x﹣y+2=0，‎ 此时与直线x+y﹣1=0满足A1A2+B1B2=0，‎ 故两直线垂直，‎ 此时原点到直线的距离d==1，‎ 故与单位圆x2+y2=1相切，‎ 故选：A ‎【点评】本题以程序框图为载体考查了直线与直线的位置关系及直线与圆的位置关系，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．‎ ‎【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．‎ 将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．‎ 由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．‎ 又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，‎ 所以双曲线的方程是．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（　　）‎ A．an=2n B．an=2（n﹣1） C．an=2n D．an=2n﹣1‎ ‎【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，‎ ‎∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积超过 的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．‎ ‎【解答】解：记事件A={△PBC的面积超过}，‎ 基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）‎ 事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），‎ 因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，‎ 所以P（A）=1﹣=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了几何概型．由这个题目可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，同学们需要注意．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】把点的坐标与极坐标方程分别化为直角坐标及其方程，利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：点P（2，）化为：P，即P．‎ 直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为直角坐标方程：x+y﹣6=0，‎ ‎∴点P到直线的距离d===1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了极坐标方程分别化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）下列说法中正确的是（　　）‎ ‎①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|‎ 越接近于1，相关性越弱；‎ ‎②回归直线y=bx+a一定经过样本点的中心（）；‎ ‎③随机误差e满足E（e）=0，其方差D（e）的大小用来衡量预报的精确度；‎ ‎④相关指数R2用来刻画回归的效果，R越小，说明模型的拟合效果越好．‎ A．①② B．③④ C．①④ D．②③‎ ‎【分析】①线性相关系数|r|越接近于1，两个变量的线性相关性越强；‎ ‎②回归直线y=bx+a一定经过样本点的中心（）；‎ ‎③随机误差e满足E（e）=0，其方差D（e）的大小用来衡量预报的精确度；‎ ‎④相关指数R2用来刻画回归的效果，R越大，说明模型的拟合效果越好．‎ ‎【解答】解：对于①，相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，‎ ‎|r|越接近于1，相关性越强，∴①错误；‎ 对于②，回归直线y=bx+a一定经过样本点的中心（），②正确；‎ 对于③，随机误差e满足E（e）=0，‎ 其方差D（e）的大小用来衡量预报的精确度，③正确；‎ 对于④，相关指数R2用来刻画回归的效果，‎ R越大，说明模型的拟合效果越好，∴④错误．‎ 综上，正确的命题是②③．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了两个变量间的线性相关和线性回归方程，以及拟合效果好坏的几个量的大小反映拟合效果的好坏问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）下列程序执行后输出的结果是（　　）‎ A．600 B．880 C．990 D．1100‎ ‎【分析】根据流程图所示的顺序可知该程序的作用是累乘并输出S=11×10×9的值．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是累乘并输出S=11×10×9的值；‎ 计算S=11×10×9=990．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了伪代码，以及直到型循环应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知双曲线的右焦点为F（c，0），直线x=a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原点，若△OAF的面积为，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用△OAF的面积为，建立方程，即可求出双曲线C的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，A（a，b），‎ ‎∵△OAF的面积为，∴bc=，‎ ‎∴3c2﹣8bc﹣3b2=0，‎ ‎∴c=3b或c=﹣b（舍去），‎ ‎∴a==2b，‎ ‎∴e===．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．‎ ‎【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，‎ 满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，‎ 面积为=4﹣π，‎ ‎∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C 的交点为A，B，|MA|•|MB|的值为（　　）‎ A．16 B．18 C．8 D．10‎ ‎【分析】首先把极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步把直线的参数方程代入圆的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求出结果．‎ ‎【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，转化为：ρ2=2ρcosθ，‎ 则直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0，‎ 把直线的参数方程：（t为参数），代入x2+y2﹣2x=0，‎ 得到：，（t1和t2为A和B对应的参数）‎ 所以：，t1t2=18‎ 所以：，|MA|•|MB|=|t1t2|=18．‎ 故选：B ‎【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）直线l：mx﹣y+1﹣m=0与⊙C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是　相交　．‎ ‎【分析】求出直线系经过的特殊点，判断特殊点与圆的位置关系，即可判断直线与圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：直线l：mx﹣y+1﹣m=0，经过（1，1）定点．因为12+（1﹣1）2=1＜5，‎ 所以定点在圆⊙C：x2+（y﹣1）2=5的内部，所以直线与圆的位置关系是相交．‎ 故答案为：相交．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）过抛物线方程为y2=4x的焦点作直线l交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|PQ|=　8　．‎ ‎【分析】抛物线y2=4x（p＞0）中p=2，由抛物线的定义即可得到答案．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x（p＞0）中p=2，‎ ‎∵x1+x2=6，‎ ‎∴由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p=6+2=8，‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的基本性质，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）曲线C的参数方程为（θ为参数），曲线C的直角坐标方程为　y=2x2+1（﹣1≤x≤1）　．‎ ‎【分析】根据题意，先分析x的取值范围，进而由二倍角的余弦公式分析可得y=2cos2θ﹣1+2=2cos2θ+1，进而可得y=2x2+1，结合x的取值范围，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，曲线C的参数方程为（θ为参数），‎ 则有﹣1≤x≤1，‎ y=2cos2θ﹣1+2=2cos2θ+1，‎ 又由x=cosθ，‎ 则有y=2x2+1（﹣1≤x≤1）．‎ 故答案为：y=2x2+1（﹣1≤x≤1）．‎ ‎【点评】本题考查参数方程与直角坐标系方程的转化，注意x的范围．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）一圆形纸片的半径为10cm，圆心为O，F为圆内一定点，OF=6cm，M为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M与F重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD，设CD与OM交于P点（如图），以FO所在直线为x轴，线段FO的中线为y轴，建立直角坐标系，则点P的轨迹方程为　　．‎ ‎【分析】由于圆纸片折叠，折痕为CD，所以CD垂直平分线段MF，从而可知点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，建立直角坐标系，可求轨迹方程．‎ ‎【解答】解：以FO所在直线为x轴，线段FO的中垂线为y轴，建立直角坐标系．‎ 由题设，得：CD垂直平分线段MF，则有：|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=10‎ 即|PO|+|PF|=10＞|OF|，所以点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆． 方程为：，‎ ‎2a=10，2c=6，b2=16．‎ 点P的轨迹方程为：；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的定义，考查标准方程的求解，正确转化是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：本题共70分，其中17题10分，18至22题每题12分.‎ ‎17．（10分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨标准煤）的几组对照数据．‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5 ‎ ‎3‎ ‎4 ‎ ‎4.5‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程 =a+bx；‎ ‎（2）已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，由（1）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ ‎【分析】（1）结合题中所给的数据计算线性回归方程即可；‎ ‎（2）利用（1）中的方程进行预测即可求得最终结果．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：，‎ 则：．‎ ‎（2）由（1）的回归直线方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90﹣（0.7×100+0.35）=19.65（吨标准煤）‎ ‎【点评】本题考查了线性回归方程的求解及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图茎叶图记录了甲、乙两组四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．‎ ‎（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和标准差；‎ ‎（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据平均数、方差、标准差的定义求出乙组同学植树棵数的平均数和标准差．‎ ‎（2）当X=9时，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能，而这两名同学的植树总棵数为19的情况有 2+2=4种，由此求得两名同学的植树总棵数为19的概率．‎ ‎【解答】解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，‎ 所以平均数为，（2分）‎ 方差为，（5分）‎ ‎∴标准差 ．（6分）‎ ‎（2）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9，9，11，11，‎ 乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．‎ 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能，‎ 其中满足这两名同学的植树总棵数为19的情况有 2+2=4种，‎ 这两名同学的植树总棵数为19的概率等于 =．（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查等可能事件的概率，茎叶图、平均数、方差和标准差的定义，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数），求直线l与曲线C相交所截的弦长．‎ ‎【分析】首先把方程进行转化，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．‎ ‎【解答】解：曲线C的极坐标方程是ρ=1，转化为：x2+y2=1．‎ 直线l的参数方程是（t为参数），转化为：3x﹣4y+3=0，‎ 则：点（0，0）到直线的距离为d=，‎ 所以：2l=．‎ 即弦长为：‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：min）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60min的学生称为“书虫”，低于60min的学生称为“懒虫”，‎ ‎（1）求x的值并估计全校3 000名学生中“书虫”大概有多少名学生？（将频率视为概率）‎ ‎（2）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“书虫”与性别有关：‎ 懒虫 书虫 合计 男 ‎15‎ 女 ‎45‎ 合计 P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【分析】（1）由频率和为1求得x的值，再估算出“书虫”的人数；‎ ‎（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由已知可得：（0.01+0.02+0.03+x+0.015）×10=1，‎ 解得x=0.025；…（2分）‎ 因为（0.025+0.015）×10=0.4，将频率视为概率，‎ 由此可以估算出全校3000名学生中“书虫”大概有1200人；…（4分）‎ ‎（2）完成下面的2×2列联表如下：‎ 懒虫 书虫 合计 男 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 女 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎…（7分）‎ 根据表中数据，计算K2=≈8.249；…（10分）‎ 由8.249＞6.635知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：3ρ2=12ρcosθ﹣10（ρ＞0）．‎ ‎（1）求曲线C1的普通方程 ‎（2）曲线C2的方程为，设P、Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．‎ ‎【分析】（1）直接把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ代入极坐标方程，化简后得曲线C1的普通方程；‎ ‎（2）利用参数方程设出椭圆上的任意一点Q，求出Q到圆的圆心的最小距离，减去圆的半径得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由3ρ2=12ρcosθ﹣10（ρ＞0），得 ‎3x2+3y2=12x﹣10，即．‎ ‎∴曲线C1的普通方程为：；‎ ‎（2）依题意可设Q（4cosθ，2sinθ），‎ 由（1）知圆C1的圆心坐标为（2，0），‎ 则=‎ ‎=．‎ ‎∴当cosθ=时，．‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了两点间的距离公式，训练了利用配方法求最值，是中低档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线y=m和椭圆C交于A、B两点，直线DA、DB与y轴的交点分别为P、Q，求证：∠PF1F2+∠QF1F2=90°．‎ ‎【分析】（1）：由题意可得：e==，2a+2c=4+2，又a2=b2+c2．联立解出即可得出椭圆C的方程．‎ ‎（2）设D（x0，y0），则+=1．把y=m代入椭圆方程可得：A（﹣，m），B（，m）．利用点斜式可得：直线DA的方程与直线DB的方程，可得P，Q的坐标．利用斜率公式只要证明•=1即可得出．‎ ‎【解答】（1）解：由题意可得：e==，2a+2c=4+2，又a2=b2+c2．‎ 联立解得：a=2，b=c=．‎ ‎∴椭圆C的方程为：=1．‎ ‎（2）证明：F1．‎ 设D（x0，y0），则+=1．‎ 把y=m代入椭圆方程可得：+=1，解得x=±．‎ 取A（﹣，m），B（，m）．‎ 直线DA的方程为：y﹣y0=（x﹣x0），可得P．‎ 同理可得：直线DB的方程为：y﹣y0=（x﹣x0），可得Q．‎ ‎∴=，‎ ‎=．‎ 又=2﹣．‎ ‎∴•=•===1．‎ ‎∴∠PF1F2+∠QF1F2=90°．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线方程、斜率计算公式、点与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎