2020年高中数学第二章指数函数及其性质的应用

2020年高中数学第二章指数函数及其性质的应用

‎2.1.2‎‎ 第2课时 指数函数及其性质的应用 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ 解析：y＝(1＋11.3%)x＝1.113x.‎ 答案：D ‎2．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是(　　)‎ A．－　　　　　　 B．－4‎ C. D．4‎ 解析：由题设知g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2－2＝‎ ‎－＝－.‎ 答案：A ‎3．函数y＝2－x＋1＋2的图象可以由函数y＝x的图象经过怎样的平移得到(　　)‎ A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 解析：y＝2－x＋1＋2＝x－1＋2，设f(x)＝x，‎ 则f(x－1)＋2＝x－1＋2，要想得到y＝2－x＋1＋2的图象，只需将y＝x图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位．‎ 答案：C ‎4．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝3x⊙3－x的值域是(　　)‎ 6‎ A．(0,1] B.[1，＋∞)‎ C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)‎ 解析：解法一：当x>0时，3x>3－x，f(x)＝3－x，‎ f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3－x＝1；‎ 当x<0时，3x<3－x，f(x)＝3x，f(x)∈(0,1)．‎ 综上，f(x)的值域是(0,1]．‎ 解法二：作出f(x)＝3x⊙3－x的图象，如图．‎ 可知值域为(0,1]．‎ 答案：A ‎5．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，‎ 且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有(　　)‎ A．f ＜f ＜f B．f ＜f ＜f C．f ＜f ＜f D．f ＜f ＜f 解析：依对称性有f ＝f ＝f ＝f ，f＝f＝f＝‎ f ，又f(x)在x≥1时为增函数，＜＜，∴f ＜f ＜f ，即f ＜f ＜f .‎ 答案：B ‎6．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．‎ 解析：解法一：由指数函数的性质可知f(x)＝()x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．‎ 解法二：f(x)＝|x－1|＝ 可画出f(x)的图象求其单调递增区间．‎ 6‎ 答案：(－∞，1]‎ ‎7．函数f(x)＝a2x－3ax＋2(a>0，且a≠1)的最小值为________．‎ 解析：设ax＝t(t>0)，则有f(t)＝t2－3t＋2＝‎ ‎(t－)2－，∴t＝时，f(t)取得最小值－ .‎ 答案：－ ‎8．若直线y＝‎2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．‎ 解析：当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象，则由图可知1＜‎2a＜2，即＜a＜1，与a＞1矛盾．当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象，则由图可知1＜‎2a＜2，即＜a＜1，即为所求．故填＜a＜1.‎ 答案：＜a＜1‎ ‎9．求函数y＝的单调区间和值域．‎ 解析：函数y＝的定义域为R.‎ 令t＝x2－3x－2，对称轴为x＝，在上是减函数，在上是增函数，而y＝t在R上为减函数．所以由复合函数的单调性可知，y＝x2－3x－2在上为增函数，在上为减函数．‎ 又∵t＝x2－3x－2在x＝时，tmin＝－，‎ ‎∴y＝()t在t＝－时，取得最大值ymax＝2.‎ 6‎ ‎∴所求函数的值域为(0,2)‎ ‎10．已知函数f(x)＝－(a为常数)．‎ ‎(1)证明：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数；‎ ‎(2)若f(x)为奇函数，求a的值．‎ 解析：(1)在(－∞，＋∞)上任取两个值x1，x2且x1＜x2，‎ f(x1)－f(x2)＝－ ‎＝－＝，‎ ‎∵2＞1且x1＜x2，∴2x2－2x1＞0.‎ 又(2x1＋1)(2x2＋1)＞0，‎ ‎∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．‎ ‎∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．‎ ‎(2)∵f(x)为奇函数且在x＝0处有意义，‎ ‎∴f(0)＝0，即－＝0.‎ ‎∴a＝1.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于(　　)‎ A．2 B. C. D．a2‎ 解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，‎ ‎∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①‎ 得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②‎ ‎①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.‎ 又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，‎ ‎∴f(2)＝22－2－2＝.‎ 答案：B ‎2．若函数f(x)＝则f(－3)的值为(　　)‎ 6‎ A. B. C．2 D．8‎ 解析：f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)‎ ‎＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝.‎ 答案：A ‎3．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)‎ C．(0，＋∞) D． (－1，＋∞)‎ 解析：∵2x(x－a)<1，∴x－a<＝x ‎∴a>x－x，∵y＝x在(0，＋∞)是增函数，‎ y＝x在(0，＋∞)是减函数，∴y＝x－x在(0，＋∞)是增函数，‎ 要使a>x－x在(0，＋∞)有解，‎ 需使a>0－0＝－1.‎ 答案：D ‎4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，‎ 则不等式f(x)＜－的解集是______．‎ 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴f(0)＝0.‎ 当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.‎ 由2x－1＜－，2x＜2－1，得x＜－1.‎ 当x＞0时，由1－2－x＜－，x＞，得x∈∅；‎ 当x＝0时，f(0)＝0＜－不成立；‎ 综上可知x∈(－∞，－1)．‎ 答案：(－∞，－1)‎ ‎5．已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求f[f(0)＋4]的值；‎ 6‎ ‎(2)求证：f(x)在R上是增函数；‎ ‎(3)解不等式：0＜f(x－2)＜.‎ 解析：(1)∵f(0)＝＝0，‎ ‎∴f[f(0)＋4]＝f(0＋4)＝f(4)＝＝.‎ ‎(2)设x1，x2∈R且x1＜x2，‎ 则2x2＞2x1＞0,2x2－2x1＞0，‎ ‎∴f(x2)－f(x1)＝－ ‎＝＞0，‎ 即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上是增函数．‎ ‎(3)由0＜f(x－2)＜得f(0)＜f(x－2)＜f(4)，‎ 又f(x)在R上是增函数，∴0＜x－2＜4，‎ 即2＜x＜6，所以不等式的解集是{x|2＜x＜6}．‎ ‎6．关于x的方程x＝有负根，求a的取值范围．‎ 解析：y＝x的定义域为x∈R.‎ ‎∵x＝有负根，∴x<0.‎ 又∵0<<1，‎ ‎∴>1，‎ ‎∴－1>0.‎ ‎∴>0.‎ 即或 解得

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