专题17+选讲系列-解题思维大提升之2019年高考数学二轮复习训练手册

专题17+选讲系列-解题思维大提升之2019年高考数学二轮复习训练手册

‎【训练目标】‎ 1、 掌握极坐标与直角坐标的转换公式及意义；掌握直线，圆，椭圆，双曲线的参数方程，能熟练的将参数方程转化为普通方程；‎ 2、 理解参数方程中参数的几何意义，并能利用参数解决简单的问题；‎ 3、 掌握极坐标中极径的几何意义，能正确使用它来求线段长度；理解极角的含义；‎ 4、 掌握极坐标与参数方程和解析几何的综合问题。‎ 5、 理解绝对值的含义，能解简单的绝对值不等式；‎ 6、 掌握几何意义法解绝对值不等式；能正确的将绝对值函数化为分段函数，并根据分段函数解不等式；‎ 7、 掌握绝对值的三角不等式；理解恒成立问题和存在性问题；‎ 8、 初步掌握综合法和分析法证明不等式。‎ ‎【温馨小提示】‎ 高考中极坐标与参数方程、绝对值不等式的解法及性质一般放在试卷的最后一题，二选一，共10分，属于容易题，必拿分题。题目的类型并不多，平时做题时多总结即可。‎ ‎【名校试题荟萃】‎ ‎1、在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线。‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由消去得,‎ 所以直线的普通方程为.‎ 由,‎ 得.‎ 将代入上式,‎ 得曲线的直角坐标方程为,即.‎ 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.‎ 法2:设与直线平行的直线为,‎ 当直线与圆相切时,得,‎ 解得或（舍去）,‎ 所以直线的方程为.‎ 所以直线与直线的距离为.‎ 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.‎ ‎2、在直角坐标系中，曲线：（为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．‎ ‎（1）写出曲线和的普通方程；‎ ‎（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求使最小时点的坐标．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）， （2）‎ 此时，，结合可解得：，，‎ 即所求的坐标为．‎ ‎3、在直角坐标系中，已知曲线、的参数方程分别为：，：．‎ ‎（1）求曲线、的普通方程；‎ ‎（2）已知点，若曲线与曲线交于、两点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）曲线的普通方程为：，‎ 当，时，曲线的普通方程为：，‎ 当，时，曲线的普通方程为：；‎ ‎（或曲线：）‎ ‎4、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线与直线的交点为是曲线上的动点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由消去得，所以直线的普通方程为，‎ 由＝，得，‎ 化为直角坐标方程得：，所以曲线的直角坐标方程为 ‎.‎ ‎5、已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由得. ‎ ‎ ∵‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为：. ‎ ‎ （2）将直线的参数方程代入圆的方程 化简得. 设A,B两点对应的参数分别为，则是上述方程的两根，则有 ‎. ∴‎ ‎ ∴ ‎ ‎∵∴.‎ ‎6、已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求的值．‎ ‎【答案】‎ ‎（1），‎ ‎（2）‎ ‎（2）将代入曲线C的极坐标方程得，‎ ‎∴A点的极坐标为． ‎ 将代入直线l的极坐标方程得，解得．‎ ‎∴B点的极坐标为，‎ ‎∴．‎ ‎7、平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;‎ ‎（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于，两点，试求．‎ ‎【答案】‎ ‎（1），‎ ‎（2）‎ 将其代入曲线的直角坐标方程可得，‎ 设点，对应的参数分别为，．‎ 由一元二次方程的根与系数的关系知，．‎ ‎∴．‎ ‎8、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝‎ α与C1交于O，A两点，与C2交于O，B两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝时，|OB|＝4.‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．‎ ‎【答案】（1）1，2 （2）4＋4‎ 化为普通方程为x2＋（y－b）2＝b2，展开可得极坐标方程为ρ＝2bsin θ，‎ 由题意可得当θ＝时，|OB|＝ρ＝4，∴b＝2.‎ ‎（2）由（Ⅰ）可得C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝4sin θ.‎ ‎∴2|OA|2＋|OA|·|OB|＝8cos2θ＋8sin θcos θ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＋4‎ ‎＝4sin＋4，‎ ‎∵2θ＋∈，∴4sin＋4的最大值为4＋4，‎ 当2θ＋＝，θ＝时取到最大值.‎ ‎9、已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2），，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，‎ ‎①当时，，‎ 令，即，解得，‎ ‎②当时，，显然成立，∴，‎ ‎③当时，，‎ 令，即，解得，‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∵，有成立，∴只需，解得，‎ ‎∴的取值范围为．‎ ‎10、已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） 解集为 （2） 实数的取值范围是.‎ ‎（2）设，则.‎ 因为当且仅当时取等号，‎ 所以. ‎ 因为函数的值域为，‎ 所以有解，即.‎ 因为，所以，即.‎ 所以实数的取值范围是 ‎11、已知不等式的解集为．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎12、已知函数．‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，由，可得，‎ ‎①或②或③‎ 解①得：‎ 解②得：‎ 解③得：‎ 综上所述，不等式的解集为 ‎（2）若当时，成立，‎ 即 故 即 对时成立 故 ‎13、已知函数．‎ ‎（1）解不等式 ‎（2）若对任意的，任意的，使得成立，求实数a的取值范围 ‎【答案】（1） （2）或 ‎14、已知 ‎（1）当a＝—1，b＝2时，解不等式f（x）≥0；‎ ‎（2）若存在a，b的值，使不等式m成立，求实数m的最小值．‎ ‎【答案】（1） （2）-2‎ ‎【解析】‎ ‎（1），‎ 解得． ‎ ‎（2）由得 ‎，‎ 故，当且时取等号．‎ 故．∴m的最小值为．‎ ‎15、设，.‎ ‎（1）若的最大值为，解关于的不等式；‎ ‎（2）若存在实数使关于的方程有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎16、在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线关于极点对称．‎ ‎（1）以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上一动点,记到直线与直线的距离分别为,，求+的最小值．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设是曲线上任意一点,则关于原点的对称点在曲线上，且，将代入得，‎ 则，即曲线的极坐标方程为。‎ ‎（2）由曲线的极坐标方程为得直角坐标方程为，设 ‎，‎ 直线与直线的直角坐标方程分别为，‎ 从而 ‎，‎ 故的最小值为。‎ ‎17、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若曲线上一点的极坐标为，且过点，求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，与的交点为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，，‎ 化简得，①‎ 可得，故与同号 ‎，‎ 所以时，有最大值. 此时方程①的，故有最大值.‎ ‎18、已知函数（ ）.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）{x|0≤x≤} （2）[2，＋∞）.‎ ‎（2）①若a＞1，f（x）＝（a－1）|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，当且仅当x＝1时，取等号，故只需a－1≥1，得a≥2. ‎ ‎②若a＝1，f（x）＝2|x－1|，f（1）＝0＜1，不合题意.‎ ‎③若0＜a＜1，f（x）＝a|x－1|＋a|x－a|＋（1－a）|x－a|≥a（1－a），‎ 当且仅当x＝a时，取等号，故只需a（1－a）≥1，这与0＜a＜1矛盾. ‎ 综上所述， a的取值范围是[2，＋∞）. ‎ ‎19、已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值.‎ ‎【答案】（1） （2）或或.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，得：，∴，即，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ 由，得，即，‎ ‎∴直线的普通方程为.‎ ‎，解得：或，都符合，因此实数的值为或或.‎ ‎20、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的标准方程为 ‎.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线和圆的极坐标方程；‎ ‎（2）若射线与的交点为，与圆的交点为，，且点恰好为线段的中点，求的值．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）在直线的参数方程中消去，可得，，‎ 将，代入以上方程中，‎ 所以，直线的极坐标方程为.‎ 同理，圆的极坐标方程为.‎ 把代入，得， ‎ 所以.‎ ‎21、已知函数f（x）＝|x－1|.‎ ‎（1） 解不等式f（2x）＋f（x＋4）≥8；‎ ‎（2） 若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证： ＞.‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）f（2x）＋f（x＋4）＝|2x－1|＋|x＋3|＝ 当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；‎ 当－3≤x＜时，－x＋4≥8无解；‎ 当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2. ‎ 所以不等式f（2x）＋f（x＋4）≥8的解集为.‎ ‎（II）证明：＞等价于f（ab）＞|a|，即|ab－1|＞|a－b|. ‎ 因为|a|＜1，|b|＜1，‎ 所以|ab－1|2－|a－b|2＝（a2b2－2ab＋1）－（a2－2ab＋b2）＝（a2－1）（b2－1）＞0， ‎ 所以|ab－1|＞|a－b|.故所证不等式成立．……………10分 ‎22、已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小值； ‎ ‎（2）在（Ⅰ）的条件下，设，且，求证：．‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 ‎23、已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．‎ ‎（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）{x|x≤－5或x＝1} （2）[－1，3]‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当a＝2时，，‎ 当x≤－2时，由x－4≥2x＋1，解得x≤－5；‎ 当－2＜x＜1时，由3x≥2x＋1，解得x∈∅；‎ 当x≥1时，由－x＋4≥2x＋1，解得x＝1．‎ 综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x＝1}．‎ ‎24、已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；‎ ‎（2）将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）直线的一般方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ 因为，所以直线和曲线相切.‎ ‎25、已知函数的定义域为；‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，‎ 求的最小值．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可知恒成立，令，‎ 去绝对值可得：，‎ 画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为； ‎ ‎（2）由（1）可知，所以， ‎ ‎，‎ 当且仅当，即等号成立，‎ 所以的最小值为. ‎ ‎26、已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎（2）因为的解集包含不等式可化为 解得，由已知得，‎ 解得，所以的取值范围是.‎ ‎27、在极坐标系中， 已知圆C的圆心C（）， 半径r =．‎ ‎（1） 求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2） 若 α ∈ ， 直线的参数方程为为参数）， 直线交圆C于A、 B两点， 求弦长|AB|的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由得，直角坐标,所以圆的直角坐标方程为, 由 得，圆的极坐标方程为