2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年中考数学真题试题（含解析）

‎2019年中考数学真题试题 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填在答题卡的相应位置。）‎ ‎1．（3分）下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎2．（3分）习近平主席在2018年新年贺词中指出，“安得广厦千万间，大庇天下寒土俱欢颜!”2017年，340万贫困人口实现异地扶贫搬迁，有了温暖的新家，各类棚户区改造开工提前完成600万套目标任务．将340万用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.34×107 B．34×105 C．3.4×105 D．3.4×106‎ ‎3．（3分）如图，直线a∥b，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上，若∠1=30°，则∠2的度数是（　　）‎ A．45° B．30° C．15° D．10°‎ ‎4．（3分）如图是两个等直径圆柱构成的“T”形管道，其左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1‎ ‎6．（3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（　　）‎ 26‎ A．64° B．58° C．32° D．26°‎ ‎7．（3分）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：=（m，n）．已知：=（x1，y1），=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么点与互相垂直．下列四组向量，互相垂直的是（　　）‎ A．=（3，2），=（﹣2，3） B．=（﹣1，1），=（+1，1）‎ C．=（3，20180），=（﹣，﹣1） D．=（，﹣），=（（）2，4）‎ ‎8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区域内。)‎ ‎9．（3分）不等式组的最小整数解是　 　．‎ ‎10．（3分）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　 　．‎ ‎11．（3分）若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是　 　．‎ ‎12．（3分）据资料表明：中国已成为全球机器人第二大专利来源国和目标国．机器人几大关键技术领域包括：谐波减速器、RV减速器、电焊钳、3D视觉控制、焊缝跟踪、涂装轨迹规划等，其中涂装轨迹规划的来源国结构（仅计算了中、日、德、美）如图所示，在该扇形统计图中，美国所对应的扇形圆心角是　 　度．‎ 26‎ ‎13．（3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是　 　．‎ ‎14．（3分）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10个小题，共78分，请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内。)‎ ‎15．（6分）计算：﹣12018+（）﹣2﹣|﹣2|﹣2sin60°．‎ ‎16．（6分）先化简再求值（﹣y）÷﹣（x﹣2y）（x+y），其中x=﹣1，y=2．‎ ‎17．（6分）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎18．（6分）2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）‎ 26‎ ‎19．（7分）列方程（组）解应用题：‎ 为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？‎ ‎20．（7分）如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y=kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5．‎ ‎（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；‎ ‎（2）直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．‎ ‎21．（10分）为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线）‎ ‎（1）依据折线统计图，得到下面的表格：‎ 26‎ 射击次序（次）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 甲的成绩（环）‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎7‎ a ‎10‎ ‎8‎ 乙的成绩（环）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ b ‎10‎ 其中a=　 　，b=　 　；‎ ‎（2）甲成绩的众数是　 　环，乙成绩的中位数是　 　环；‎ ‎（3）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？‎ ‎（4）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率．‎ ‎22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．‎ ‎（1）求∠DAF的度数；‎ ‎（2）求证：AE2=EF•ED；‎ ‎（3）求证：AD是⊙O的切线．‎ ‎23．（10分）问题情境：‎ 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB=2cm，AC=4cm．‎ 操作发现：‎ ‎（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是　 　．‎ ‎（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC'，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论．‎ 实践探究：‎ ‎（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．‎ 26‎ ‎24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．‎ ‎（1）求此抛物线的表达式；‎ ‎（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；‎ ‎（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．‎ ‎　‎ 26‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填在答题卡的相应位置。）‎ ‎1．（3分）下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】26：无理数；22：算术平方根．‎ ‎【分析】依据无理数的三种常见类型进行判断即可．‎ ‎【解答】解：在﹣2，0，，0.020020002…，π，中，无理数有0.020020002…，π这2个数，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）习近平主席在2018年新年贺词中指出，“安得广厦千万间，大庇天下寒土俱欢颜!”2017年，340万贫困人口实现异地扶贫搬迁，有了温暖的新家，各类棚户区改造开工提前完成600万套目标任务．将340万用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.34×107 B．34×105 C．3.4×105 D．3.4×106‎ ‎【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：340万=3400000=3.4×106，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）如图，直线a∥b，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上，若∠1=30°，则∠2的度数是（　　）‎ 26‎ A．45° B．30° C．15° D．10°‎ ‎【考点】KW：等腰直角三角形；JA：平行线的性质．‎ ‎【分析】根据a∥b，得到∠1+∠3+∠4+∠2=180°，将∠1=30°，∠3=45°，∠4=90°代入即可求出∠2的度数．‎ ‎【解答】解：如图．‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠1+∠3+∠4+∠2=180°，‎ ‎∵∠1=30°，∠3=45°，∠4=90°，‎ ‎∴∠2=15°，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）如图是两个等直径圆柱构成的“T”形管道，其左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】U2：简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从左边看如图，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1‎ ‎【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．‎ 26‎ ‎【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，‎ 解得k≤0且k≠﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（　　）‎ A．64° B．58° C．32° D．26°‎ ‎【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由OC⊥AB，得 ‎=，∠OEB=90°．‎ ‎∴∠2=∠3．‎ ‎∵∠2=2∠1=2×32°=64°．‎ ‎∴∠3=64°，‎ 在Rt△OBE中，∠OEB=90°，‎ ‎∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出=，∠‎ 26‎ OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：=（m，n）．已知：=（x1，y1），=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么点与互相垂直．下列四组向量，互相垂直的是（　　）‎ A．=（3，2），=（﹣2，3） B．=（﹣1，1），=（+1，1）‎ C．=（3，20180），=（﹣，﹣1） D．=（，﹣），=（（）2，4）‎ ‎【考点】LM：*平面向量；24：立方根；6E：零指数幂．‎ ‎【分析】根据垂直的向量满足的条件判断即可；‎ ‎【解答】解：A、∵3×（﹣2）+2×3=0，∴与垂直，故本选项符合题意；‎ B、∵（﹣1）（+1）+1×1=2≠0，∴与不垂直，故本选项不符合题意；‎ C、∵3×（﹣）+1×（﹣1）=﹣2≠，∴与不垂直，故本选项不符合题意；‎ D、∵×（）2+（﹣）×4=2≠0，∴与不垂直，故本选项不符合题意，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查平面向量、平面向量垂直的条件，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 26‎ ‎【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．‎ ‎【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，‎ ‎∴a、b异号，即b＜0．‎ ‎∵当x=1时，y＜0，‎ ‎∴a+b+c＜0．‎ ‎∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，‎ 反比例函数y=的图象分布在第二、四象限，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区域内。)‎ ‎9．（3分）不等式组的最小整数解是　0　．‎ ‎【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．‎ ‎【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，‎ 解不等式1﹣x≥0，得：x≤2，‎ 则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，‎ 所以不等式组的最小整数解为0，‎ 26‎ 故答案为：0．‎ ‎【点评】此题主要考查了解一元一次不等式（组），关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　30　．‎ ‎【考点】59：因式分解的应用．‎ ‎【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．‎ ‎【解答】解：∵a+b=2，ab=﹣3，‎ ‎∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）‎ ‎=ab（a+b）2‎ ‎=ab[（a+b）2﹣2ab]‎ ‎=3（4+6）‎ ‎=30．‎ 故答案为：30．‎ ‎【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是　8　．‎ ‎【考点】L3：多边形内角与外角．‎ ‎【分析】先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵所有内角都是135°，‎ ‎∴每一个外角的度数是180°﹣135°=45°，‎ ‎∵多边形的外角和为360°，‎ ‎∴360°÷45°=8，‎ 即这个多边形是八边形．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．‎ 26‎ ‎　‎ ‎12．（3分）据资料表明：中国已成为全球机器人第二大专利来源国和目标国．机器人几大关键技术领域包括：谐波减速器、RV减速器、电焊钳、3D视觉控制、焊缝跟踪、涂装轨迹规划等，其中涂装轨迹规划的来源国结构（仅计算了中、日、德、美）如图所示，在该扇形统计图中，美国所对应的扇形圆心角是　57.6　度．‎ ‎【考点】VB：扇形统计图．‎ ‎【分析】根据圆心角=360°×百分比，计算即可；‎ ‎【解答】解：美国所对应的扇形圆心角=360°×（1﹣21%﹣32%﹣31%）=57.6°，‎ 故答案为57.6．‎ ‎【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是　（2，2）　．‎ ‎【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．‎ ‎【分析】根据题意得出D点坐标，再解直角三角形进而得出答案．‎ ‎【解答】解：分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，‎ ‎∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，‎ ‎∴∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，‎ ‎∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），‎ ‎∴D（8，0），则DO=8，‎ 故OC=4，‎ 26‎ 则FO=2，CF=CO•cos30°=4×=2，‎ 故点C的坐标是：（2，2）．‎ 故答案为：（2，2）．‎ ‎【点评】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是　15　．‎ ‎【考点】33：代数式求值．‎ ‎【分析】根据输出的结果确定出x的所有可能值即可．‎ ‎【解答】解：当3x﹣2=127时，x=43，‎ 当3x﹣2=43时，x=15，‎ 当3x﹣2=15时，x=，不是整数；‎ 所以输入的最小正整数为15，‎ 故答案为：15．‎ ‎【点评】此题考查了代数式求值，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10个小题，共78分，请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内。)‎ ‎15．（6分）计算：﹣12018+（）﹣2﹣|﹣2|﹣2sin60°．‎ ‎【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简得出答案．‎ 26‎ ‎【解答】解：原式=﹣1+2﹣（2﹣）﹣2×‎ ‎=﹣1+2﹣2+﹣‎ ‎=﹣1．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎16．（6分）先化简再求值（﹣y）÷﹣（x﹣2y）（x+y），其中x=﹣1，y=2．‎ ‎【考点】6D：分式的化简求值；4B：多项式乘多项式．‎ ‎【分析】原式利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．‎ ‎【解答】解：原式=（﹣）÷﹣（x2+xy﹣2xy﹣2y2）‎ ‎=•（x+y）﹣x2+xy+2y2‎ ‎=﹣xy﹣x2+xy+2y2‎ ‎=﹣x2+2y2，‎ 当x=﹣1、y=2时，‎ 原式=﹣（﹣1）2+2×22‎ ‎=﹣1+8‎ ‎=7．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．‎ ‎　‎ ‎17．（6分）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎【考点】KD：全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE即可；‎ ‎【解答】解：结论：DF=AE．‎ 理由：∵AB∥CD，‎ 26‎ ‎∴∠C=∠B，‎ ‎∵CE=BF，‎ ‎∴CF=BE，∵CD=AB，‎ ‎∴△CDF≌△BAE，‎ ‎∴DF=AE．‎ ‎【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）‎ ‎【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．‎ ‎【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求差即可．‎ ‎【解答】解：∵EC∥AD，‎ ‎∴∠A=30°，∠CBD=45°，CD=200，‎ ‎∵CD⊥AB于点D．‎ ‎∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，‎ ‎∴AD=，‎ 在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=45°‎ ‎∴DB=CD=200，‎ ‎∴AB=AD﹣DB=200﹣200，‎ 答：A、B两点间的距离为200﹣200米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△‎ 26‎ ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．‎ ‎　‎ ‎19．（7分）列方程（组）解应用题：‎ 为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？‎ ‎【考点】B7：分式方程的应用．‎ ‎【分析】设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，利用购买笔记本电脑和购买台式电脑的台数和列方程+=120，然后解分式方程即可．‎ ‎【解答】解：设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，‎ 根据题意得+=120，‎ 解得x=2400，‎ 经检验x=2400是原方程的解，‎ 当x=2400时，1.5x=3600．‎ 答：笔记本电脑和台式电脑的单价分别为3600元和2400元．‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的应用：列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．‎ ‎　‎ ‎20．（7分）如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y=kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5．‎ ‎（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；‎ ‎（2）直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．‎ 26‎ ‎【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标，由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出反比例函数的表达式，再由点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；‎ ‎（2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式△＜0可得出两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式＞kx+b的解集．‎ ‎【解答】解：（1）∵BD=OC，OC：OA=2：5，点A（5，0），点B（0，3），‎ ‎∴OA=5，OC=BD=2，OB=3，‎ 又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，‎ ‎∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．‎ ‎∵点D（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴a=﹣2×3=﹣6，‎ ‎∴反比例函数的表达式为y=﹣．‎ 将A（5，0）、B（0，﹣2）代入y=kx+b，‎ ‎，解得：，‎ ‎∴一次函数的表达式为y=x﹣2．‎ ‎（2）将y=x﹣2代入y=﹣，整理得：x2﹣2x+6=0，‎ ‎∵△=（﹣2）2﹣4××6=﹣＜0，‎ ‎∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．‎ 观察图形，可知：当x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，‎ ‎∴不等式＞kx+b的解集为x＜0．‎ 26‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及根的判别式，解题的关键是：（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标找出点C、D的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线）‎ ‎（1）依据折线统计图，得到下面的表格：‎ 射击次序（次）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 甲的成绩（环）‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎7‎ a ‎10‎ ‎8‎ 乙的成绩（环）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ b ‎10‎ 其中a=　8　，b=　7　；‎ ‎（2）甲成绩的众数是　8　环，乙成绩的中位数是　7　环；‎ ‎（3）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？‎ ‎（4）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率．‎ 26‎ ‎【考点】X6：列表法与树状图法；VD：折线统计图；W4：中位数；W5：众数；W7：方差．‎ ‎【分析】（1）根据折线统计图即可得；‎ ‎（2）根据众数的定义可得；‎ ‎（3）求出甲乙两人成绩的方差，方差小者成绩稳定；‎ ‎（4）列表得出所有等可能结果，从中找到一男一女的结果数，利用概率公式计算可得．‎ ‎【解答】解：（1）由折线统计图知a=8、b=7，‎ 故答案为：8、7；‎ ‎（2）甲射击成绩次数最多的是8环、乙射击成绩次数最多的是7环，‎ 甲成绩的众数是8环、乙成绩的众数为7环；‎ ‎（3）甲成绩的平均数为=8（环），‎ 所以甲成绩的方差为×[（6﹣8）2+2×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+2×（9﹣8）2+（10﹣8）2]=1.2（环2），‎ 乙成绩的平均数为=8（环），‎ 所以乙成绩的方差为×[（6﹣8）2+4×（7﹣8）2+（8﹣8）2+2×（9﹣8）2+2×（10﹣8）2]=1.8（环2），‎ 故甲成绩更稳定；‎ ‎（4）用A、B表示男生，用a、b表示女生，列表得：‎ ‎ ‎ A B a b A ‎ ‎ AB Aa ‎ Ab B BA ‎ ‎ Ba Bb a aA aB ‎ ‎ ab b bA bB ba ‎ ‎ ‎∵共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种情况，‎ ‎∴恰好选到1男1女的概率为=．‎ ‎【点评】‎ 26‎ 本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．也考查了概率公式．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．‎ ‎（1）求∠DAF的度数；‎ ‎（2）求证：AE2=EF•ED；‎ ‎（3）求证：AD是⊙O的切线．‎ ‎【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MD：切线的判定．‎ ‎【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；‎ ‎（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；‎ ‎（3）连接AO，求出∠OAD=90°即可．‎ ‎【解答】（1）解：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠D=∠CBD，‎ ‎∵AB=AC，∠BAC=36°，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=×（180°﹣∠BAC）=72°，‎ ‎∴∠AFB=∠ACB=72°，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=72°=36°，‎ ‎∴∠D=∠CBD=36°，‎ ‎∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，‎ ‎∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，‎ ‎∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；‎ 26‎ ‎（2）证明：∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，‎ ‎∴∠FAC=36°=∠D，‎ ‎∵∠AED=∠AEF，‎ ‎∴△AEF∽△DEA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AE2=EF×ED；‎ ‎（3）证明：连接OA、OF，‎ ‎∵∠ABF=36°，‎ ‎∴∠AOF=2∠ABF=72°，‎ ‎∵OA=OF，‎ ‎∴∠OAF=∠OFA=×（180°﹣∠AOF）=54°，‎ 由（1）知∠ADF=36°，‎ ‎∴∠OAD=36°+54°=90°，‎ 即OA⊥AD，‎ ‎∵OA为半径，‎ ‎∴AD是⊙O的切线．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）问题情境：‎ 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB=2cm，AC=4cm．‎ 操作发现：‎ ‎（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠‎ 26‎ BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是　菱形　．‎ ‎（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC'，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论．‎ 实践探究：‎ ‎（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．‎ ‎【考点】LO：四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）先判断出∠ACD=∠BAC，进而判断出∠BAC=∠AC'D，进而判断出∠CAC'=∠AC'D，即可的结论；‎ ‎（2）先判断出∠CAC'=90°，再判断出AG⊥CC'，CF=C'F，进而判断出四边形ACGC'是平行四边形，即可得出结论；‎ ‎（3）先判断出∠ACB=30°，进而求出BH，AH，即可求出CH，C'H，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）在如图1中，‎ ‎∵AC是矩形ABCD的对角线，‎ ‎∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，‎ ‎∴∠ACD=∠BAC，‎ 在如图2中，由旋转知，AC'=AC，∠AC'D=∠ACD，‎ ‎∴∠BAC=∠AC'D，‎ ‎∵∠CAC'=∠BAC，‎ ‎∴∠CAC'=∠AC'D，‎ ‎∴AC∥C'E，‎ ‎∵AC'∥CE，‎ 26‎ ‎∴四边形ACEC'是平行四边形，‎ ‎∵AC=AC'，‎ ‎∴▱ACEC'是菱形，‎ 故答案为：菱形；‎ ‎（2）在图1中，∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠CAD=∠ACB，∠B=90°，‎ ‎∴∠BAC+∠ACB=90°‎ 在图3中，由旋转知，∠DAC'=∠DAC，‎ ‎∴∠ACB=∠DAC'，‎ ‎∴∠BAC+∠DAC'=90°，‎ ‎∵点D，A，B在同一条直线上，‎ ‎∴∠CAC'=90°，‎ 由旋转知，AC=AC'，‎ ‎∵点F是CC'的中点，‎ ‎∴AG⊥CC'，CF=C'F，‎ ‎∵AF=FG，‎ ‎∴四边形ACGC'是平行四边形，‎ ‎∵AG⊥CC'，‎ ‎∴▱ACGC'是菱形，‎ ‎∵∠CAC'=90°，‎ ‎∴菱形ACGC'是正方形；‎ ‎（3）在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，‎ ‎∴BC'=AC=4，BD=BC=2，sin∠ACB==，‎ ‎∴∠ACB=30°，‎ 由（2）结合平移知，∠CHC'=90°，‎ 在Rt△BCH中，∠ACB=30°，‎ 26‎ ‎∴BH=BC•sin30°=，‎ ‎∴C'H=BC'﹣BH=4﹣，‎ 在Rt△ABH中，AH=AB=1，‎ ‎∴CH=AC﹣AH=4﹣1=3，‎ 在Rt△CHC'中，tan∠C′CH==．‎ ‎【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，判断出∠CAC'=90°是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．‎ ‎（1）求此抛物线的表达式；‎ ‎（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；‎ ‎（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）根据题意可以求得a、b的值，从而可以求得抛物线的表达式；‎ ‎（2）根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；‎ ‎（3）根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），‎ ‎∴，得，‎ 26‎ ‎∴此抛物线的表达式是y=x2+4x﹣5；‎ ‎（2）∵抛物线y=x2+4x﹣5交y轴于点A，‎ ‎∴点A的坐标为（0，﹣5），‎ ‎∵AD∥x轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，‎ ‎∴点E的纵坐标是5，点E到AD的距离是10，‎ 当y=﹣5时，﹣5=x2+4x﹣5，得x=0或x=﹣4，‎ ‎∴点D的坐标为（﹣4，﹣5），‎ ‎∴AD=4，‎ ‎∴△EAD的面积是：=20；‎ ‎（3）设点P的坐标为（p，p2+4p﹣5），如右图所示，‎ 设过点A（0，﹣5），点B（﹣5，0）的直线AB的函数解析式为y=mx+n，‎ ‎，得，‎ 即直线AB的函数解析式为y=﹣x﹣5，‎ 当x=p时，y=﹣p﹣5，‎ ‎∵OB=5，‎ ‎∴△ABP的面积是：S==，‎ ‎∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点，‎ ‎∴﹣5＜p＜0，‎ ‎∴当p=﹣时，S取得最大值，此时S=，点p的坐标是（，﹣），‎ 即点p的坐标是（，﹣）时，△ABP的面积最大，此时△ABP的面积是．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．‎ ‎　‎ 26‎