2018-2019学年四川省成都市外国语学校高二12月月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年四川省成都市外国语学校高二12月月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 四川省成都市外国语学校2018-2019学年高二12月月考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设 ，则“”是“”的 ‎ A． 必要但不充分条件 B． 充分但不必要条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据 由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），从而得到结论．‎ 解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），‎ 故a＞1是＜1 的充分不必要条件，‎ 故选 B．‎ 考点：不等关系与不等式；充要条件．‎ ‎2．过点 且平行于直线 的直线方程为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设要求的直线的方程为x﹣2y+m=0，再根据所求的直线过点P（﹣1，3），代入求得m的值，可得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：设平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为x﹣2y+m=0，再根据所求的直线过点P（﹣1，3），可得﹣1﹣6+m=0，求得m=7，故要求的直线的方程为 x﹣2y+7=0.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查用待定系数法求直线的方程，属于基础题．‎ ‎3．命题：“若，则”的逆否命题是 A． 若，则 B． 若，则 C． 若且，则 D． 若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据逆否命题的写法得到，逆否命题是将原命题的条件和结论互换位置，并且都进行否定，故得到逆否命题是若，则.‎ 故答案为：D。‎ ‎4．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 ，， 人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选.‎ 考点：分层抽样.‎ ‎5．若直线 与直线 互相垂直，则实数 的值等于 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：当a="0" 时，其中有一条直线的斜率不存在，经检验不满足条件，当a≠0 时，两直线的斜率都存在，由斜率之积等于﹣1，可求a．‎ 解：当a="0" 时，两直线分别为 x+2y=0，和x=1，显然不满足垂直条件；‎ 当a≠0 时，两直线的斜率分别为﹣和，由斜率之积等于﹣1得：﹣•=﹣1‎ 解得a=1‎ 故选：C．‎ 点评：本题考查两条直线垂直的条件，注意当直线的斜率不存在时，要单独检验，体现了分类讨论的数学思想．‎ ‎6．阅读上图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）.‎ A． 123 B． 38 C． 11 D． 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据程序框图，第一圈，是，；第二圈，是，；第三圈，否，输出，选C.‎ 考点：算法程序框图的功能识别 ‎7．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=，即b=a，由双曲线的几何性质可得c=a，进而由离心率公式计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，双曲线的标准方程为，则其焦点在x轴上，那么其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=，即b=a，则c=,其离心率e=；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单几何性质，解决问题的关键是由双曲线的标准方程分析出其焦点的位置．‎ ‎8．若一个样本容量为 的样本的平均数为 ，方差为 ．现样本中又加入一个新数据 ，此时样本容量为 ，平均数为 ，方差为 ，则 ‎ A． ， B． ， C． ， D． ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解．‎ ‎【详解】‎ 解：∵某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2，.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数和方差的计算公式的应用，是基础题．‎ ‎9．已知直线 ，若圆上恰好存在两个点 ，，他们到直线 的距离为 ，则称该圆为“完美型”圆．则下列圆中是“完美型”圆的是 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，算出到直线l距离等于1的两条平行线方程为3x+4y﹣7=0或3x+4y﹣17=0，当圆与这两条直线共有2个公共点时满足该圆为“完美型”圆．由此对A、B、C、D各项中的圆分别加以判断，可得本题答案．‎ ‎【详解】‎ 解：设直线l'：3x+4y+m=0，l'与l的距离等于1则，解之得m=﹣7或﹣17，即l'的方程为3x+4y﹣7=0或3x+4y﹣17=0,可得当圆与3x+4y﹣7=0、3x+4y﹣17=0恰好有2个公共点时，满足该圆为“完美型”圆．‎ 对于A，因为原点到直线l'的距离d=或，两条直线都与x2+y2=1相离,故x2+y2=1上不存在点，使点到直线l：3x+4y﹣12=0的距离为1，故A不符合题意.‎ 对于B，因为原点到直线l'的距离d=或，两条直线都与x2+y2=16相交，故x2+y2=16上不存在4个点，使点到直线l：3x+4y﹣12=0的距离为1，故B不符合题意.‎ 对于C，因为点（4，4）到直线l'的距离d=或，两条直线都与（x﹣4）2+（y﹣4）2=4相离,故（x﹣4）2+（y﹣4）2=4上不存在点，使点到直线l：3x+4y﹣12=0的距离为1，故C不符合题意.‎ 对于D，因为点（4，4）到直线l'的距离d=或，所以两条直线中3x+4y﹣7=0与（x﹣4）2+（y﹣4）2=16相离，而3x+4y﹣17=0（x﹣4）2+（y﹣4）2=16相交,故（x﹣4）2+（y﹣4）2=16上恰好存在两个点P、Q，使点到直线l：3x+4y﹣12=0的距离为1，故D符合题意.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．‎ ‎10．已知 与 之间的一组数据：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y m ‎3‎ ‎5.5‎ ‎7‎ 已求得关于 与 的线性回归方程为，则 的值为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴这组数据的样本中心点是(,)，‎ ‎∵关于y与x的线性回归方程yˆ=2.1x+0.85，‎ ‎∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，‎ ‎∴m的值为0.5.‎ 故选D.‎ ‎11．已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 的直线交抛物线与 ， 两点，若线段 的中点的纵坐标为 ，则该抛物线的准线方程为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵y2=2px的焦点坐标为,‎ ‎∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.‎ ‎12．抛物线 的焦点为 ，已知点 ， 为抛物线上的两个动点，且满足 ．过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最大值为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由抛物线定义得,由余弦定理得,所以，因此，选A.‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别如下图所示。‎ 甲 ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ 乙 ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ 从数据上看， ________________机床的性能较好（填“甲”或者“乙”）.‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由平均数和方差的公式计算两组数据平均数和方差，然后通过比较平均数和方差的大小得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：设甲机床的平均数为（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5,乙机床的平均数为（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，S甲2= [3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.65，S乙2== [2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76，＜，S甲2＞S乙2，∴出次品较少的是乙，稳定性较好的也是乙.‎ 故答案为：乙 ‎【点睛】‎ 本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题目．‎ ‎14．已知函数 ，若命题“，”是假命题，则实数 的取值范围为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定是特称命题，通过特称命题是真命题，求出a的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数f（x）=a2x﹣2a+1，若命题“∀x∈[0，1]，f（x）＞0”是假命题，∴“∃x∈[0，1]，f（x）≤0”是真命题，所以f（0）≤0或f（1）≥0，解得：a≥．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的真假的应用，根据命题成立的条件，先求出命题为真命题时的取值范围是解决本题的关键.‎ ‎15．直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则 的取值范围是________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆心到直线y=kx+3的距离为d，则，利用勾股定理，结合|MN|≤2，即可求出k的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：设圆心到直线y=kx+3的距离为d，则，由且得或．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆相交的性质，利用点到直线的距离公式，弦长公式，属于基础题．‎ ‎16．已知椭圆 ：，点 ， 分别是椭圆 的左顶点和左焦点，点 是 ： 上的动点，若 是常数，则椭圆 的离心率为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设F（﹣c，0），由c2=a2﹣b2可求c，P（x1，y1），令=，则有（x1+a）2+y12=λ[（x1+c）2+y12]比较两边可得c，a的关系，结合椭圆的离心率公式，解方程可得可求．‎ ‎【详解】‎ 解：设F（﹣c，0），c2=a2﹣b2，A（﹣a，0），P（x1，y1），‎ 使得是常数，设=，则有（x1+a）2+y12=λ[（c+x1）2+y12]（x，λ是常数），‎ 即b2+2ax1+a2=λ（b2+2cx1+c2），‎ 比较两边，b2+a2=λ（b2+c2），a=λc，‎ 故cb2+ca2=a（b2+c2），即ca2﹣c3+ca2=a3，‎ 即e3﹣2e+1=0，‎ ‎∴（e﹣1）（e2+e﹣1）=0，‎ ‎∴e=1或e=，‎ ‎∵0＜e＜1，∴e=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，主要考查椭圆的离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知圆 ：，直线 被圆所截得的弦的中点为 ．‎ ‎（1）求直线 的方程；‎ ‎（2）若直线 与圆 相交，求 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线l1的斜率为则k，由题意可得圆心C（3，2），又弦的中点为P（5，3），可求得kPC=，由k•kPC=﹣1可求k，从而可求直线l1的方程；‎ ‎（2）若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，圆心到直线l2的距离小于半径，从而可求得b的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 因为圆 的方程化标准方程为：，所以圆心 ，半径 ．设直线 的斜率为 ，则 ．所以直线 的方程为： 即 ．‎ ‎（2） 因为圆的半径 ，所以要使直线 与圆 相交则须有：，所以 于是 的取值范围是：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线和圆的方程的应用，着重考查通过圆心到直线间的距离与圆的半径的大小判断二者的位置关系，属于中档题．‎ ‎18．已知命题 方程 有两个不相等的负实根，‎ 命题 不等式 的解集为 ，‎ ‎（1）若为真命题，求 的取值范围．‎ ‎（2）若 为真命题， 为假命题，求 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若命题p为真命题，可得，解得m．若命题q为真命题，m>0时△＜0，解得m．若 为真命题， 为假命题，可得p与q必然一真一假，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 若为真命题，即 不等式 的解集非空，故 或，取并集即或.‎ ‎（2）令 ，若命题 真，则有 , 解得 ．若命题 真，由（1）得 ．‎ 根据 为真命题， 为假命题，可得命题 和命题 一个为真，另一个为假．当命题 为真、命题 为假时，．当命题 为假、命题 为真时，．‎ 综上可得， 的取值范围为 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎19．第 届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日 21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．‎ ‎　‎ 第31届里约 第30届伦敦 第29届北京 第28届雅典 第27届悉尼 中国 ‎26‎ ‎38‎ ‎51‎ ‎32‎ ‎28‎ 俄罗斯 ‎19‎ ‎24‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎32‎ ‎（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；‎ ‎（2）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和 （从第 届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间 （时间代号）变化的数据：‎ 届 ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ 时间代号(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 金牌数之和(y枚)‎ ‎28‎ ‎60‎ ‎111‎ ‎149‎ ‎175‎ 作出散点图如下：‎ ‎ ‎ ‎ ①由图中可以看出，金牌数之和 与时间代号 之间存在线性相关关系，请求出 关于 的线性回归方程；‎ ‎ ②利用①中的回归方程，预测2020年第32届奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数．‎ ‎ 参考数据：，，．‎ ‎ 附：对于一组数据 ，，，，其回归直线的斜率的最小二乘估计为．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）①.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，画出茎叶图，通过茎叶图得出概率结论；‎ ‎（2）①计算线性回归方程的系数、，写出线性回归方程，‎ ‎②利用回归方程计算x=6时的值再减去175即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下,‎ 通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散； ‎ ‎（2）①计算===38.3，‎ 所以=﹣=104.6﹣38.3×3=﹣10.3；‎ 所以金牌数之和y关于时间x的线性回归方程为=38.3x﹣10.3‎ ‎②由①知，当x=6时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值 ‎=38.3×6﹣10.3=219.5，故预测2020年第32届奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数219.5﹣175=44.5≈45枚．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了茎叶图的应用问题，是基础题目．‎ ‎20．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产 车皮甲种肥料和生产 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ ‎ 现有A种原料 吨，B种原料 吨，C种原料 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产 车皮甲种肥料，产生的利润为 万元；生产 车皮乙种肥料，产生的利润为 万元．分别用 ， 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎（1）用 ， 列出满足生产条件的数学关系式，并在答题卷相应位置画出相应的平面区域；‎ ‎（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能够产生最大的利润?并求出最大利润．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）生产甲种肥料 车皮、乙种肥料 车皮时利润最大，且最大利润为 万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域．‎ ‎（Ⅱ）设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 由已知，， 满足的数学关系式为 ‎ 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：‎ ‎（2） 设利润为 万元，则目标函数为 ．‎ 考虑 ，将它变形为 ，这是斜率为 ，随 变化的一族平行直线． 为直线在 轴上的截距，当 取最大值时， 的值最大．又因为 ， 满足约束条件，所以由图2可知，当直线 经过可行域上的点 时，截距 最大，即 最大．‎ 解方程组 得点 的坐标为 ．‎ 所以 ．‎ 答：生产甲种肥料 车皮、乙种肥料 车皮时利润最大，且最大利润为 ‎ 万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域，利用平移法是解决本题的关键．‎ ‎21．已知椭圆 的焦距为 ，且过点 ，右焦点为 ．设 ， 是 上的两个动点，线段 的中点 的横坐标为 ，线段 的中垂线交椭圆 于 ， 两点．‎ ‎ （1）求椭圆 的方程；‎ ‎（2）设点纵坐标为m，求直线的方程，并求 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；‎ ‎（2）分类讨论，求出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，结合向量的数量积，在椭圆的内部，利用换元法，即可求的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 因为椭圆 的焦距为 ，且过点K ，所以,，所以，于是 ，，所以椭圆 的方程为 ．‎ ‎（2） 由题意，当直线 垂直于 轴时，直线 方程为 ，此时 ，，得 ．‎ 当直线 不垂直于 轴时，设直线 的斜率为 ，，，，由线段 的中点 的横坐标为 ，得 ，则 ，故 ．此时，直线 斜率为 ， 的直线方程为 ，即 ．联立 消去 ，整理得 ．设 ，，所以 ，，‎ 于是 ‎ 由于 在椭圆的内部，故 ，令 ，，‎ 则 ．又 ，所以 ．综上， 的取值范围为 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎22．如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点为的左焦点.椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点， 为上一动点，且在之间移动.‎ ‎（1）当取最小值时，求和的方程；‎ ‎（2）若的边长恰好是三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）的面积最大值为．此时．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆的性质可得，故可得，故而可求得和的方程；（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，联立抛物线与椭圆的方程可得，得代入抛物线方程得，可得，可得直线与抛物线的方程，联立得，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值.‎ 试题解析：（1）因为，则，所以取最小值时，‎ 此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，‎ 由得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，‎ 于是，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以．此时抛物线方程为， ，则直线的方程为．联立，得或（舍去），于是．所以，‎ 设到直线的距离为，则，当时， ，所以的面积最大值为．此时．‎