2011年数学文（全国新课标）高考试题

2011年数学文（全国新课标）高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）‎ 数学（供文科考生使用）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M，则P的子集共有（ ）‎ ‎（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个 ‎（2）复数 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）椭圆的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 ‎ （A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040‎ ‎（6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）‎ ‎（A） （） （B） （C） （D）‎ ‎（7）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为 ‎（9）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为 ‎（A）18 （B）24 （C） 36 （D） 48‎ ‎（10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）设函数，则 ‎（A）在单调递增，其图象关于直线对称 ‎（B）在单调递增，其图象关于直线对称 ‎（C）在单调递减，其图象关于直线对称 ‎（D）在单调递减，其图象关于直线对称 ‎（12）已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有 ‎（A）10个 （B）9个 （C）8个 （D）1个 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎（13）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_____________．‎ ‎（14）若变量x，y满足约束条件，则的最小值是_________．‎ ‎（15） 中，，则的面积为_________．‎ ‎（16）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知等比数列中，，公比．‎ ‎（I）为的前n项和，证明：‎ ‎（II）设，求数列的通项公式．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：‎ A配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ B配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎10‎ ‎（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为 估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．‎ ‎（I）求圆C的方程；‎ ‎（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求a的值．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（I）求a，b的值；‎ ‎（II）证明：当x>0，且时，．‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根．‎ ‎（I）证明：C，B，D，E四点共圆；‎ ‎（II）若，且求C，B，D，E所在圆的半径．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数，其中．‎ ‎（I）当a=1时，求不等式的解集．‎ ‎（II）若不等式的解集为｛x|，求a的值．‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试卷参考答案 一、选择题 ‎（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A ‎（7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A 二、填空题 ‎（13）1 （14）-6 （15） （16）‎ 三、解答题 ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）因为 所以 ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的通项公式为 ‎(18)解：‎ ‎（Ⅰ）因为， 由余弦定理得 ‎ 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD ‎（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E．已知PD底面ABCD，则PDBC．由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD．‎ 故BC平面PBD，BCDE．‎ 则DE平面PBC．‎ 由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，‎ 根据BE·PB=PD·BD，得DE=，‎ 即棱锥D—PBC的高为 ‎（19）解 ‎（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．‎ 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42‎ ‎（Ⅱ）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.‎ 用B配方生产的产品平均一件的利润为 ‎（元）‎ ‎(20）解：‎ ‎ （Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（‎ 故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.‎ 则圆C的半径为 所以圆C的方程为 ‎（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：‎ 消去y，得到方程 由已知可得，判别式 因此，从而 ‎ ①‎ 由于OA⊥OB，可得 又所以 ‎ ②‎ 由①，②得，满足故 ‎（21）解：‎ ‎ （Ⅰ）‎ ‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 ‎ 解得，．‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ‎ ‎ 考虑函数，则 所以当时，故 当时，‎ 当时，‎ 从而当 ‎（22）解：‎ ‎（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， ‎ ‎ AD×AB=mn=AE×AC， ‎ ‎ 即.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB ‎ ‎ 因此∠ADE=∠ACB ‎ ‎ 所以C，B，D，E四点共圆．‎ ‎ （Ⅱ）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.‎ 故 AD=2，AB=12.‎ 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.‎ 由于∠A=900，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.‎ 故C，B，D，E四点所在圆的半径为5‎ ‎（23）解：‎ ‎（I）设P(x，y)，则由条件知M().由于M点在C1上，所以 ‎ 即 ‎ ‎ 从而的参数方程为 ‎ （为参数）‎ ‎ （Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．‎ 射线与的交点的极径为，‎ ‎ 射线与的交点的极径为．‎ ‎ 所以.‎ ‎（24）解：‎ ‎ （Ⅰ）当时，可化为 ‎．‎ ‎ 由此可得 或．‎ ‎ 故不等式的解集为 或．‎ ‎ (Ⅱ) 由 得 ‎ ‎ ‎ 此不等式化为不等式组 ‎ 或 ‎ 即 或 ‎ 因为，所以不等式组的解集为 ‎ 由题设可得= ，故