人教A版文科数学课时试题及解析（26）平面向量的应用

人教A版文科数学课时试题及解析（26）平面向量的应用

课时作业(二十六)　[第26讲　平面向量的应用]‎ ‎ [时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为(　　)‎ A．10 N B．0 N ‎ C．5 N D. N ‎2．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是(　　)‎ A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数 C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数 ‎3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A、B、C三点共线(该直线不过原点)，则S200＝(　　)‎ A．100 B．‎101 C．200 D．201‎ ‎4．若向量a＝(2sinα，1)，b＝(2sin2α＋m，cosα)(α∈R)，且a∥b，则m的最小值为________．‎ ‎5．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为(　　)‎ A．5 N B．5 N C．10 N D．5 N ‎6． 设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于(　　)‎ A．2 B. ‎ C. D．1‎ ‎7．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足＋＋＝，＋＋＝，＋＋＝，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为(　　)‎ A．1∶2 B．1∶3 ‎ C．1∶4 D．1∶5‎ ‎8．把圆C：x2＋y2＝按向量a＝(h，－1)平移后得圆C1，若圆C1在不等式x＋y＋1≥0所确定的平面区域内，则h的最小值为(　　)‎ A．1 B．－1 ‎ C. D．－ ‎9．已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则(　　)‎ A．a⊥e B．a⊥(a－e)‎ C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)‎ ‎10．在长江南岸渡口处，江水以‎12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为‎25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．‎ ‎11． 已知两个单位向量a和b的夹角为135°，则当|a＋λb|>1时λ的取值范围是________________．‎ ‎12．在△ABC中，C＝，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λ＋(1－λ)|的最小值是________．‎ ‎13． 已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)‎ 满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为________．‎ ‎14．(10分)已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.用向量的方法证明：AD⊥CE.‎ ‎15．(13分)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．‎ ‎(1)若a与b－‎2c垂直，求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求|b＋c|的最大值；‎ ‎(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.‎ ‎16．(12分)已知P(x，y)，A(－1,0)，向量与m＝(1,1)共线．‎ ‎(1)求y关于x的函数；‎ ‎(2)在直线y＝2x和直线y＝3x上是否分别存在一点B，C，使得满足∠BPC为锐角时x的取值集合为{x|x<－或x>}？若存在，求出这样的B，C的坐标；若不存在，说明理由．‎ 课时作业(二十六)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．C　[解析] 根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为×5＝5(N)．‎ ‎2．A　[解析] 由于a⊥b，则f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x(b2－a2)，而|a|≠|b|，则b2－a2≠0，故函数f(x)是一次函数，且为奇函数．‎ ‎3．A　[解析] 依题意，a1＋a200＝1，S200＝＝100.‎ ‎4．－－1　[解析] 因a＝(2sinα，1)，b＝(2sin2α＋m，cosα)(α∈R)，且a∥b，得 ‎2sinαcosα＝2sin2α＋m，得m＝－2sin2α＋2sinαcosα，‎ ‎＝cos2α＋sin2α－1＝sin－1，m的最小值为－－1.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．B　[解析] |F1|＝|F|·cos60°＝5 N.‎ ‎6．A　[解析] 设向量a，b，c的起点为O，终点分别为A，B，C，由已知条件得，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，则点C在△AOB的外接圆上，当OC经过圆心时，|c|最大，在△AOB中，求得AB＝，由正弦定理得△AOB外接圆的直径是＝2，|c|的最大值是2.‎ ‎7．B　[解析] 由＋＋＝，＋＝－，即＋＝＋，‎ ＋＝，∴＝2，P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1∶3.‎ ‎8．A　[解析] 圆C：x2＋y2＝按向量a＝(h，－1)平移后得圆C1(x－h)2＋(y＋1)2＝，若圆C1在不等式x＋y＋1≥0所确定的平面区域内，≥且h>0，所以h≥1.‎ ‎9．C　[解析] 由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，‎ ‎∴t2－‎2a·e·t＋‎2a·e－1≥0对t∈R恒成立，‎ 即Δ＝4(a·e)2－‎8a·e＋4≤0恒成立．‎ ‎∴(a·e－1)2≤0恒成立，‎ 而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.‎ 即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．‎ ‎10．北偏西30°　[解析] 如图，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为，依题意知，||＝12.5，|O|＝25，由于四边形OADB为平行四边形，则|BD|＝|OA|，又OD⊥BD，‎ ‎∴在Rt△OBD中，∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°.‎ ‎11．(－∞，0)∪(，＋∞)　[解析] |a＋λb|>1，得到a2＋(λb)2＋2λa·b>1，即1＋λ2＋2λ×>1，λ2－λ>0，∴λ∈(－∞，0)∪(，＋∞)．‎ ‎12.　[解析] 以C为原点，CA，CB所在直线为y轴，x轴建立直角坐标系，所以＝(0,1)，＝(2,0)，‎ 即2λ＋(1－λ)＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f(λ)＝2，故最小值为 ，在λ＝时取得．‎ ‎13．3　[解析] 由题意＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)，‎ ‎∴·＝x＋y，·＝y，即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知当x＝0，y＝1时有最大值3.‎ ‎14．[解答] 证明：以C为原点，CA、CB所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．‎ 设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.‎ ‎∴＝，＝.‎ ‎∵·＝－a·a＋·a＝0，∴AD⊥CE.‎ ‎15．[解答] (1)因为a与b－‎2c垂直，‎ 所以a·(b－‎2c)＝a·b－‎2a·c＝0.‎ 所以4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，所以tan(α＋β)＝2.‎ ‎(2)由条件得，b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)．‎ 所以|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β.‎ 又17－15sin2β的最大值为32，所以|b＋c|的最大值为4.‎ ‎(3)证明：由tanαtanβ＝16得，sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)由题设得，存在实数λ，使得(－1－x，－y)＝λ(1,1)，∴x＝－1－λ，y＝－λ，‎ 消去λ得y＝x＋1，‎ ‎∴y关于x的函数为y＝x＋1.‎ ‎(2)假设存在满足条件的点B，C，并设B(a,‎2a)，C(b,3b)，P(x，x＋1)．‎ 则＝(a－x,‎2a－x－1)，＝(b－x,3b－x－1)，‎ 由∠BPC为锐角，得 ·＝(a－x,‎2a－x－1)·(b－x,3b－x－1)>0，‎ 即(x－a)(x－b)＋(x＋1－‎2a)(x＋1－3b)>0，‎ 整理得2x2－(‎3a＋4b－2)x＋(7ab－‎2a－3b＋1)>0，‎ 由x的取值集合为{x|x<－或x>}得 ＝0，＝－7，‎ 解之得a＝2，b＝－1或a＝－，b＝.‎ ‎∴存在B(2,4)，C(－1，－3)或B，‎ C满足题设条件．‎