苏州大学2020届高考考前指导卷（含附加题及答案解析）

苏州大学2020届高考考前指导卷（含附加题及答案解析）

苏州大学2020届高考考前指导卷 数学 Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎2．已知纯虚数满足，则实数等于 ▲ ．‎ ‎（第3题图）‎ ‎3．某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的400辆汽车的车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计400辆汽车中时速在区间的约有 ▲ 辆．‎ 开始 输出S 结束 i≤10‎ i←3‎ N Y S←S+2i ‎（第6题图）‎ i←i＋2‎ S←4‎ ‎4．函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为 ▲ ．‎ ‎7．展览会会务组安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，采用等可能随机的顺序前往酒店接嘉宾．某与会嘉宾设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．则该嘉宾坐到“3号”车的概率是 ▲ ．‎ ‎8．已知函数，则在点处的切线的斜率为 ‎ ▲ ．‎ ‎9．已知是等比数列前项的和，若公比，则的值是 ▲ ．‎ ‎10．已知，则的值是 ▲ ．‎ ‎（第11题图）‎ ‎11．《九章算术》是我国古代著名数学经典．里面对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦尺，弓形高寸，估算该木材的体积约为 ▲ （立方寸）．‎ ‎（注：1丈尺寸，）‎ ‎12．已知函数若存在互不相等的正实数，满足且，则的最大值为 ▲ ．‎ ‎13．已知点P为正方形ABCD内部一点（包含边界），分别是线段中点．若，且，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎14．已知D是边上一点，且，则的最大值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 的内角的对边分别为，且，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，是上的点，平分，求的面积．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ ‎（第16题图）‎ 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点），平面ABE与棱PD交于点F．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，某公园内有一半圆形人工湖，O为圆心，半径为1千米．为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实事，拟规划在区域种荷花，在区域建小型水上项目．已知．‎ ‎（1）求四边形的面积（用表示）；‎ ‎（2）当四边形的面积最大时，求BD的长（最终结果可保留根号）．‎ ‎（第17题图）‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，左、右顶点分别为．设点，连接交椭圆于点．‎ ‎（第18题图）‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求四边形的面积．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数（其中a为常数）．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数有两个极值点，若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列．‎ ‎（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；‎ ‎（2）设数列是首项为，公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；‎ ‎（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”．‎ 苏州大学2020届高考考前指导卷 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括、、三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，设点在矩阵M对应的变换下得到点，求．‎ ‎．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，求与曲线交点的直角坐标．‎ ‎．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 已知，且满足，求的最小值．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面．‎ ‎（第22题图）‎ ‎（1）求二面角的余弦值；‎ ‎（2）线段上是否存在一点，使得异面直线和所成的角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知非空集合满足．若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质．记具有性质的集合的个数为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的表达式．‎ 苏州大学2020届高考考前指导卷 参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． ‎ ‎1． 2．2 3．280 4． 5．2‎ ‎6．52 7． 8． 9． 10．‎ ‎11．53066 12．4 13． 14．‎ 解答与提示：‎ ‎1．．‎ ‎2． ．因为为纯虚数，所以解得．‎ ‎3．由图可知，时速在区间的频率为，所以时速在区间的频率为，所以时速在区间的车辆约为辆．‎ ‎4．由解得，即函数的定义域为．‎ ‎5．离心率，所以．‎ ‎6．执行第一次循环；执行第二次循环；‎ 执行第三次循环；执行第四次循环，终止循环．‎ 所以．‎ ‎7．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，231，312，321．方案一坐“3号”车可能：132，213，231，所以；方案二坐“3号”车可能：312，321，所以．则该嘉宾坐到“3号”车的概率．‎ ‎8．，所以在处的切线的斜率为．‎ ‎9．．‎ ‎10．因为，解得，所以．‎ ‎11．如图，（寸），则（寸），（寸），设圆O的半径为x（寸），则（寸）．在，由勾股定理可得，解得（寸），则该木材的体积约为（立方寸）．‎ ‎12．函数的图象如右图所示，由题意，，即，因为，所以，令，构造函数，，所以当时，，所以的最大值为4．‎ ‎13．设正方形ABCD的边长为a，以A为原点，所在直线为分别为轴建立平面直角坐标系，则．设，因为，所以，即，设 又因为，，所以，即所以，由P为正方形ABCD内部一点（包含边界），可得，所以，所以．‎ ‎14．法一：设，则，，‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 又，‎ 所以，解得，①‎ 在中，，即，②‎ 由①②可得．‎ 所以，‎ 即，所以，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最大值为．‎ 法二：因为，所以，即，‎ 整理得到，两边平方后有，‎ 所以即，‎ 整理得到，‎ 设，所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，当且仅当时等号成立，‎ 所以的最大值为．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． ‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 解：（1）因为且，所以， 2分 在中，由正弦定理，所以，‎ 所以． 4分 因为，所以，所以，‎ 因为，所以，所以，所以， 6分 因为，所以． 8分 ‎（2）由（1）知，，因为，，‎ 所以的面积， 10分 因为是上的点，平分，‎ 所以， 12分 因为，所以． 14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ 证：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以．‎ ‎ 2分 ‎ 又AB平面PDC，CD平面PDC，‎ 所以平面PDC， 5分 又因为AB平面ABE，平面ABE∩平面PDC，‎ 所以． 7分 ‎（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD． ‎ 因为AF⊥EF，（1）中已证，‎ 所以AB⊥AF， 9分 因为AB⊥AD，由点E在棱PC上（异于点C），‎ 所以F点异于点D，所以，‎ 又平面PAD，所以AB⊥平面PAD， 12分 又AB平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD． 14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 解：（1）由题意，设四边形的面积为，‎ 因为四边形可以分为和两部分，‎ 所以， 3分 因为，所以．‎ 因为，所以．‎ 所以四边形的面积． 6分 ‎（2）由（1），‎ 所以，‎ 令，即，解得或，‎ 因为，所以存在唯一的，使得． 10分 当时，，在单调递增；‎ 当时，，在单调递减，‎ 所以时，， 12分 此时 ‎，‎ 从而（千米）．‎ 答：当四边形的面积最大时，BD的长为千米． 14分 ‎18．（本小题满分16分）‎ 解：（1）因为椭圆的离心率为，短轴长为2，‎ 所以解得，‎ 所以该椭圆的标准方程为． 4分 ‎（2）因为点，‎ 所以直线的方程为，即．‎ 由消去得． 7分 设，则，所以，所以．‎ 连接，取的中点，则， 10分 连接，因为，所以．‎ 又， ‎ 所以，即， ‎ 因为，所以， 13分 所以四边形的面积．‎ ‎ 16分 ‎19．（本小题满分16分）‎ 解：（1）因为，所以． 2分 令，，‎ 当即时，，即，‎ 所以函数单调递增区间为． ‎ 当即或时，．‎ 若，则，所以，即，‎ 所以函数的单调递增区间为． ‎ 若，则，由即，得或；‎ 由，即得．‎ 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为．‎ 综上，当时，函数的单调递增区间为，无减区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 6分 ‎（2）由（1）得，‎ 若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，‎ 由（1）知．则，故， 8分 要使恒成立，只需恒成立．‎ 因为 10分 令，则， 12分 当时，，为减函数，所以． 14分 由题意，要使恒成立，只需满足．‎ 所以实数的取值范围． 16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 解：（1）由，可知， ‎ 故对一切正整数都成立，故是数列． 3分 ‎（2）由题意知，该数列的前项和为，， ‎ 由数列是数列，可知，故公差．‎ 对满足中的每一个正整数都成立，‎ 即对于都成立． 6分 由可得，故的取值范围是． 8分 ‎（3）若是数列，则，‎ 若，则，又由对一切正整数都成立，‎ 可知，即对一切正整数都成立，‎ 由，，故，可得． ‎ 若，则，又由对一切正整数都成立，‎ 可知，即对一切正整数都成立， ‎ 又当时，当时不成立，‎ 故有或解得． ‎ 所以是数列时，与所满足的条件为或 12分 ‎ 下面用反证法证明命题“若且，则不是数列”．‎ 假设是数列，由，可知且中每一项均为正数，‎ 若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知，‎ 若中的每一项都在中，同理可得．　　　　　　 ‎ 若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中，‎ 设是将中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，‎ 不妨设中的最大项在中，设为，则，‎ 则，故，所以，‎ 故总有，与矛盾．故不是数列． 16分 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括、、三小题，请选定其中两题，若多做，则按作答的前两题评分． ‎ ‎．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）‎ 解：依题意，即解得 3分 由逆矩阵公式知，矩阵M的逆矩阵， 7分 所以． 10分 ‎．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 解：直线， ‎ 所以直线的直角坐标方程为． 3分 曲线的普通方程为， 6分 消去y整理得， ‎ 则，所以交点坐标为． 10分 ‎．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 解：由，，‎ 得 ‎． 6分 当且仅当即时等号成立．‎ 故的最小值为6． 10分 ‎【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：设是中点，为正三角形，则．‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以．‎ 又因为，，‎ 所以为正三角形，‎ 所以．‎ 建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，‎ 于是． 2分 ‎（1）设平面的法向量为，‎ 由，得一个法向量为，‎ 平面的一个法向量为，‎ 所以，‎ 又由图可得二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为． 4分 ‎（2）设，则，‎ ‎，， 6分 所以， 8分 解得或，所以存在点为线段的三等分点． 10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 解：（1）当时，具有性质，‎ 对应的分别为，故． 3分 ‎（2）设当时，具有性质的集合的个数为，‎ 则当时，，‎ 其中表示时也具有性质的集合的个数，‎ 下面计算关于的表达式，‎ 此时应有，即，故对分奇偶讨论．‎ ‎①当为偶数时，为奇数，故应该有，‎ 则对每一个，和必然属于集合，‎ 且和，，和共有组数，‎ 每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合，‎ 故对每一个，对应具有性质的集合的个数为，‎ 所以． 5分 ‎②当为奇数时，为偶数，故应该有，‎ 同理， 7分 综上，可得又，‎ 由累加法解得 即 10分