专题5-3+平面向量的数量积及其应用(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)

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专题5-3+平面向量的数量积及其应用(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)

第03节 平面向量的数量积及其应用 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 平面向量的数量积 ‎①理解平面向量数量积的概念及其意义,了解平面向量的数量积与向量投影的关系。‎ ‎②掌握平面向量数量积的坐标运算,掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。‎ ‎③会用坐标表示平面向量的平行与垂直。‎ ‎2013•浙江文17;理7,17;‎ ‎2014•浙江文9;理8;‎ ‎2015•浙江文13;理15;‎ ‎2016·浙江文理15;‎ ‎2017•浙江10,15.‎ ‎1.以考查向量的数量积、夹角、模为主,基本稳定为选择题或填空题,难度中等以下; ‎ ‎2.与三角函数、解析几何等相结合,以工具的形式进行考查.‎ ‎3.备考重点:‎ ‎ (1) 理解数量积的概念是基础,掌握数量积的两种运算的方法是关键;‎ ‎(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时,注意运用数形结合的数学思想,通过建立平面直角坐标系,利用坐标运算解题.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1.平面向量的数量积及其运算 一、两个向量的夹角 ‎1.定义 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.‎ ‎2.范围 向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时,夹角θ=0°;a与b反向时,夹角θ=180°.‎ ‎3.向量垂直 如果向量a与b的夹角是90°,则a与b垂直,记作a⊥b.‎ 二、平面向量数量积 ‎1.已知两个非零向量a与b,则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,其中θ是a与b的夹角.‎ 规定0·a=0.‎ 当a⊥b时,θ=90°,这时a·b=0.‎ ‎2.a·b的几何意义:‎ 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.‎ 三、向量数量积的性质 ‎1.如果e是单位向量,则a·e=e·a.‎ ‎2.a⊥ba·b=0.‎ ‎3.a·a=|a|2,.‎ ‎4.cos θ=.(θ为a与b的夹角)‎ ‎5.|a·b|≤|a||b|.‎ 四、数量积的运算律 ‎1.交换律:a·b=b·a.‎ ‎2.分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.‎ ‎3.对λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).‎ 五、数量积的坐标运算 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则:‎ ‎1.a·b=a1b1+a2b2.‎ ‎2.a⊥ba1b1+a2b2=0.‎ ‎3.|a|=.‎ ‎4.cos θ==.(θ为a与b的夹角)‎ 对点练习:‎ ‎【2017北京,理6】设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的 ‎ (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若,使,即两向量反向,夹角是,那么T,若,那么两向量的夹角为 ,并不一定反向,即不一定存在负数,使得,所以是充分不必要条件,故选A.‎ ‎2.向量的夹角与向量的模 ‎1. a·a=|a|2,.‎ ‎2.cos θ=.(θ为a与b的夹角)‎ ‎3.|a·b|≤|a||b|.‎ 对点练习:‎ ‎【2017浙江高三模拟】设,,是非零向量.若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D.‎ ‎ 3.平面向量垂直的条件 a⊥ba·b=0a1b1+a2b2=0.‎ 对点练习:‎ ‎【2017浙江嘉兴、杭州、宁波效实五校联考】在中, , ,则的最小值为______ , 又若,则________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ,所以当时, 取最小值;因为,所以 ,由.‎ ‎【考点深度剖析】‎ 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点,往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体,考查数量积、夹角、垂直的条件等问题;也易同三角函数、解析几何等知识相结合,以工具的形式出现.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 平面向量数量积的运算 ‎【1-1】已知向量,,则( )‎ A.2 B.-2 C.-3 D.4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【1-2】已知向量与的夹角为60°,,,则在方向上的投影为( )‎ A. B.2 C. D.3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因向量,的夹角为,,,,则在方向上的投影为,故应选A.‎ ‎【1-3】【2017天津,理13】在中,,,.若,,且,则的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.平面向量数量积的计算方法 ‎①已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a||b|cosθ求解;‎ ‎②已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.‎ ‎(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算. ‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【变式二】已知向量,则在方向上的投影为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为,所以,则,则在方向上的投影既是在方向上的投影为.‎ ‎【变式三】在矩形中,,点在边上,若,则的值为( )‎ A.0 B. C.-4 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点2 向量的夹角与向量的模 ‎【2-1】已知向量,,则与夹角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】因为向量,,两式相加和相减可得,和;由数量积的定义式知,. 故应选B.‎ ‎【2-2】已知向量的夹角为,且,,则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】∵,∴,‎ 又∵的夹角为,且,∴,解得或(舍去),‎ 即.‎ ‎【2-3】【2017山东,理12】已知是互相垂直的单位向量,若与的夹角为,则实数的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【领悟技法】‎ 利用向量夹角公式、模公式,可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由,得,所以,解得.‎ ‎【变式二】△ABC中,△ABC的面积夹角的取值范围是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三角形面积公式及已知知,所以①,由知,,所以,代入①得,,所以,所以 ‎,所以的夹角为,其取值范围为,故选B.‎ ‎【变式三】已知,,且与的夹角为锐角,则的取值范围是 .‎ ‎【答案】且 考点3平面向量垂直的条件 ‎【3-1】【2016高考山东理数】已知非零向量m,n满足4│m│=3│n│,cos=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )‎ ‎(A)4 (B)–4 (C) (D)–‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由,可设,又,所以 ‎ 所以,故选B.‎ ‎【3-2】【2017安徽阜阳二模】已知,则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ‎【3-3】【2017湖南娄底二模】已知, , ,若向量满足 ‎,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易知,由得,所以或,由此可得的取值范围是.‎ ‎【领悟技法】‎ 利用平面向量垂直的充要条件,可将有关垂直问题转化为向量的数量积来解决.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2016·全国卷Ⅰ】设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=________.‎ ‎【答案】- ‎【变式二】【2016高考新课标2】已知向量,且,则( )‎ ‎(A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量,由得,解得,故选D.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例:已知向量 ‎ (1)若为锐角,求的范围;‎ ‎ (2)当时,求的值.‎ 易错分析:从出发解出的值,忽视剔除同向的情况.‎ 正确解析:(1)利用向量夹角公式即可得出,注意去掉同方向情况;‎ ‎(2)利用向量垂直与数量积的关系即可得出.‎ 试题解析:(1)若为锐角,则且不同向 温馨提醒:‎ ‎(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时,表示两向量的有向线段所形成的角,若起点不同,应通过移动,使其起点相同,再观察夹角.‎ ‎ (2)两向量夹角的范围为[0,π],特别当两向量共线且同向时,其夹角为0,共线且反向时,其夹角为π.‎ ‎ (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时,一定要注意两向量夹角的范围.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好,隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.‎ 向量的几何表示,三角形、平行四边形法则,使向量具备形的特征,而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征,因此,向量融数与形于一身,具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此,在应用向量解决问题或解答向量问题时,要注意恰当地运用数形结合思想,将复杂问题简单化、将抽象问题具体化,达到事半功倍的效果.‎ ‎【典例】在平面四边形中,点,分别是边,的中点,且,,.若,则 .‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】解法一(配凑):由题意得,,‎ 从而,平方整理得.‎ 不妨设,,从而,,.‎ 由题意,从而,‎ ‎⑤④得,即.‎ ‎ ‎
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