数学（理）卷·2017届重庆市第一中学高三上学期一诊模拟考试（2017

数学（理）卷·2017届重庆市第一中学高三上学期一诊模拟考试（2017

重庆一中学2017届高三上学期一诊模拟考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数满足，则复数在复平面上对应的点与点间的距离为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知集合为实数集，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，则的最小正周期为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知双曲线的离心率为，且点到其渐近线的距离为，则的实轴长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.设，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.若随机变量，则有如下结论（ ）‎ ‎，一班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分，方差为，理论上说在分到分之间的人数约为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.（原创）定义在上的奇函数关于点对称，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.（原创）将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.（原创）的展开式中，的系数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.（原创）过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，若直线到圆相切，则点的轨迹方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.（原创）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.中，为边的中点，则 ．‎ ‎14.已知实数满足，则的最大值为 ．‎ ‎15.（原创）中，角所对的边分别为，且，‎ 则的取值范围是 ．‎ ‎16.（原创）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知的展开式中各项的二项式系数和为，第二项的系数为.‎ ‎（1）求， （2）求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ ‎ （原创）在中，角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）证明：成等比数列；‎ ‎（2）若的外接圆半径为，且，求的周长.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎ 为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示.‎ 节排器等级及利润如表格表示，其中，‎ ‎（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；‎ ‎（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则 ‎ ①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；‎ ‎②从长期来看，骰子哪种型号的节排器平均利润较大？‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎ （原创）已知椭圆的左右焦点分别为，且为抛物线的焦点，的准线被和圆截得的弦长分别为和.‎ ‎（1）求和的方程；‎ ‎（2）直线过且与不相交，直线过且与平行，若交于,交交于，且在轴上方，求四边形的面积的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎（原创）设函数.‎ ‎（1）若函数的图象与直线相切，求的值；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（原创）在直角坐标系中，直线为参数，与圆相交于点，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线与圆的极坐标方程；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ （原创）设函数.‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BDBCA 6-10:BCDAB 11、A 12：A 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.(1)；‎ ‎（2），错位相减法.‎ ‎18.（1）证明，则，‎ 所以，所以成等比数列；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 所以的周长为.‎ ‎19.（1）；‎ ‎（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，‎ 二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，‎ 则二级品数所有可能的取值为，且，‎ 所以,‎ ‎,‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以数学期望（或）.‎ ‎②由题意知，甲型号节排器的利润的平均值，‎ 乙型号节排器的利润的平均值，‎ ‎，又，‎ 所以投资乙型号节排器的平均利润率较大.‎ ‎20.（1）由得，‎ 所以和的方程分别为.‎ ‎（2）由题意，的斜率不为，设，‎ 由，得，得，‎ 由，得，‎ ‎，‎ 与间的距离为，由椭圆的对称性，为平行四边形，‎ ‎,‎ 设，.‎ ‎21.（1），设切点为，‎ 则切线为，即，‎ 又切线为，所以，‎ 消，得，设，‎ 易得为减函数，且，所以 ‎（2）令，所以，‎ 当时，，函数在为单调递增；‎ 当时，，函数在为单调递减；‎ 所以，‎ 当时，即时，，‎ 即，故时，在上单调递增，‎ 所以时，，即，所以， ①‎ 因为，所以，‎ 所以，即， ②‎ ‎①+②得：，‎ 故当时，‎ ‎22.（1）直线的极坐标方程为，圆的极坐标方程为；‎ ‎（2），代入，得，‎ 显然，‎ 所以的最大值为.‎ ‎23.（1）当时，‎ ‎，‎ 当且仅当时，取等号.‎ ‎（2）时，‎ ‎，所以.‎