专题24+不等关系与一元二次不等式-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过
1．不等关系
了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.
2．一元二次不等式
（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
一、不等关系
1．不等式的概念
（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本
数量关系．
（2）用数学符号“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有
这些不等号的式子，叫做不等式．
2．两个实数大小的比较
（1）作差法：设 a，b R，则 a>b⇔a−b>0，a
0，b>0，则 a>b⇔ ，a < ≥ ≤
∈
1a
b
> 1a
b
<
（1）实数的大小顺序与运算性质的关系
①a>b⇔ ；
②a=b⇔a−b=0；
③ab⇔ ；(双向性)
②传递性：a>b，b>c⇒ ；(单向性)
③可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
④a>b，c>d⇒ ；(单向性)
⑤可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性) a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ ；(单向性)
⑦乘方法则： ；(单向性)
⑧开方法则：a>b>0⇒ (n N，n≥2)．(单向性)
注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无
法传递.
（2）可乘性中，要特别注意“乘数 c”的符号.
4．必记结论
（1）a>b，ab>0⇒ .
（2）a<0
0a b− <
b a<
a c>
a c b d+ > +
ac bd>
( )0 , 1n na b a b n n> > ⇒ > ∈ ≥N
n na b> ∈
1 1
a b
<
1 1
a b
<
（3）a>b>0,0b>0，m>0，则 ； (b−m>0)；
； (b−m>0)．
二、一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的概念
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式称为一元二次不等式，有
三种形式：
（1）一般式： ；
（2）顶点式： ；
（3）两根式： .
2．三个“二次”之间的关系
判别式
的
图象
a b
c d
>
1 1 1
b x a
< <
b b m
a a m
+< +
b b m
a a m
−> −
a a m
b b m
+> +
a a m
b b m
−< −
2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠
2
2 4( ) ( 0)2 4
b ac by a x aa a
−= + + ≠
1 2( )( )( 0)y a x x x x a= − − ≠
2 4b ac∆ = − 0∆ > 0∆ = 0∆ <
2 ( 0)y ax bx c a= + + >
一元二次方程
的
根
有两相异实根 有两相等实根
没有实数根
一元二次不等式
的
解集
一元二次不等式
的
解集
3．一元二次不等式的解法
由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如
下：
（ 1 ） 变 形 ： 将 不 等 式 的 右 边 化 为 零 ， 左 边 化 为 二 次 项 系 数 大 于 零 的 不 等 式 ， 即
或 ；
（2）计算：求出相应的一元二次方程（ ）的根，有三种情况：
；
（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；
（4）求解：利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．
可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.
2 0( 0)ax bx c a+ + = >
1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2 2
bx x a
= = −
2 0( 0)ax bx c a+ + > > 1 2( , ) ( , )x x−∞ +∞ { | }2
bx x a
≠ − R
2 0( 0)ax bx c a+ + < > 1 2( , )x x ∅ ∅
2 0( 0)ax bx c a+ + > > 2 0( 0)ax bx c a+ + < >
2 0( 0)ax bx c a+ + = >
0, 0∆ ,∆ ∆= 0 < >
4．一元二次不等式恒成立问题
（1） 恒成立的充要条件是： 且 ．
（2） 恒成立的充要条件是： 且 ．
（3） 恒成立的充要条件是： 且 ．
（4） 恒成立的充要条件是： 且 ．
（ 5 ） 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 ： 且 或 且
．
（ 6 ） 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 ： 且 或 且
．
2 0( 0)ax bx c a+ + > ≠ 0a > 2 4 0( )b ac x− < ∈R
2 0( 0)ax bx c a+ + ≥ ≠ 0a > 2 4 0( )b ac x− ≤ ∈R
2 0( 0)ax bx c a+ + < ≠ 0a < 2 4 0( )b ac x− < ∈R
2 0( 0)ax bx c a+ + ≤ ≠ 0a < 2 4 0( )b ac x− ≤ ∈R
2 0ax bx c+ + > 0a b= = 0c > 0a >
2 4 0( )b ac x− < ∈R
2 0ax bx c+ + < 0a b= = 0c < 0a <
2 4 0( )b ac x− < ∈R
考向一 比较大小
比较大小的常用方法：
（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．
注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的
形式或者多个因式的积的形式.
（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与 1 的大小，得出结论．
注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.
（3）介值比较法：
①介值比较法的理论根据是：若 a>b,b>c,则 a>c，其中 b 是 a 与 c 的中介值.
②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.
（4）利用单调性比较大小.
（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调
性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.
典例 1 当푝,푞都为正数，且푝 + 푞=1时，试比较代数式(푝푥 + 푞푦)2与푝푥2 +푞푦2的大小.
典例 2 已知 01,所以 < =0.
综上，得 < < .故选 A.
【名师点睛】在用介值法比较时，中介值一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式（或
数），其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等.
1．已知1 < 푎 < 푏,푚 = 푎푏―1,푛 = 푏푎―1,则푚,푛的大小关系为
A．푚 < 푛 B．푚 = 푛
C．푚 > 푛 D．푚,푛的大小关系不确定,与푎,푏的取值
有关
考向二 求范围的问题
求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关
键.
在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或
同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求 n 次方时，一定要注意其成立的
前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误.
求范围的一般思路是：
ba logba 1log
a
b
1log
a
b ba logba 1log
a
b logba ba
logba 1log
a
b ba ba 1log
a
b logba
00 1ba a< < = log log 1b ba b> =
1
a 1log
a
b 1log 1
a
1log
a
b ba logba
（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
（3）结合不等式的传递性进行求解；
（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.
典例 3 已知1 ≤ 푎 ― 푏 ≤ 2,2 ≤ 푎 + 푏 ≤ 4,则4푎 ― 2푏的取值范围是
A．[3,12] B．[5,10]
C．[6,12] D．[3,10]
【答案】B
典例 4 若二次函数 y＝f(x)的图象过原点，且 ， ，求 f(－2)的取
值范围.
)1 2(1 f −≤ ≤ ( )3 1 4f≤ ≤
令 m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，
∴ ，∴ .
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1).
∵ ， ，∴ .
【名师点睛】同向不等式只能相加，不能相减.
2．已知正数푥,푦满足 ，则 的最小值为
A．1 B．
C． D．
考向三 一元二次不等式的解法
1．解不含参数的一元二次不等式的方法：
4
2
m n
m n
+ =
− = −
1
3
m
n
=
=
)1 2(1 f −≤ ≤ ( )3 1 4f≤ ≤ 6 2( ) 10f −≤ ≤
2 0
3 5 0
x y
x y
− ≤
− + ≥
14 2
y
xz − = ⋅
3 2
4
1
16
1
32
（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可
以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.
（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值，完全平方式始终大于
或等于零，不等式的解集易得.
（3）若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.
2．在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不
漏”，一般从如下三个方面进行考虑：
（1）关于不等式类型的讨论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以
确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定
解集的形式；
（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根( >0),一根( =0),无根( <0)；
（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论： .
典例 5 解下列不等式：
（1） .
（2） .
典例 6 解关于푥的不等式 .
【解析】当푎 = 0时，不等式 可化为푥 ― 1 < 0，则푥 ∈ ( ―∞,1).
∆ ∆ ∆
1 2 1 2 1 2, ,x x x x x x> = <
2 2 3 0x x− − + ≥
24 4 1 0x x + ≤+
( )2 1 1 0ax a x− + + >
( )2 1 1 0ax a x− + + >
当푎 ≠ 0时，不等式 可化为 ，则：
当푎 > 1时， ；
当푎 = 1时，푥 ∈ ( ―∞,1) ∪ (1, + ∞)；
当0 < 푎 < 1时， ；
当푎 < 0时， .
3．设函数 ，则不等式 的解集是
A． B．(﹣3，1) ∪ (2，+∞)
C．(﹣1，1) ∪ (3，+∞) D．(﹣∞，﹣3) ∪ (1，3)
考向四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要
注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.
（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，
要注意解集的形式与二次项系数的联系.
（2）若一元二次不等式的解集为 或 ，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函
数图象与 x 轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围.
典例 7 已知不等式 的解集为{푥|푥 > 2或푥 < 1}，
( )2 1 1 0ax a x− + + > ( ) 11 0a x x a
− − >
( )1, 1,x a
∈ −∞ +∞
( ) 1,1 ,x a
∈ −∞ +∞
1 ,1x a
∈
( ) 2 4 6, 0
6, 0
x x xf x
x x
− + ≥= + <
( ) ( )1f x f>
( ) ( )3,1 3,− +∞
R ∅
2 0x bx c+ + >
（1）求푏和푐的值；
（2）求不等式 的解集.
方程 的两根分别是 1 和 ，
所以所求不等式的解集为 .
典例 8 已知关于푥的不等式 .
（1）若不等式的解集为{푥|푥 < ―3或푥 > ―1}，求푘的值；
（2）若不等式的解集为 ，求实数푘的取值范围.
若푘 ≠ 0，则 ，解得 .
综上，实数푘的取值范围为 .
4．若关于푥的不等式 的解集为(푥1,푥2),且푥2 ― 푥1 = 15,则푎 =
2 1 0cx bx+ + ≤
22 3 1 0x x− + = 1
2
1{ | 1}2x x≤ ≤
2 2 3 0kx x k− + <
∅
0
4 4 3 0
k
k k∆
>
= − × ≤
3
3k ≥
3[ , )3
+∞
2 22 8 0x ax a− − <
A． B．
C． D．
考向五 一元二次不等式的应用
对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的
思想求解.
1．分式不等式的解法
若 与 是关于 的多项式，则不等式 (或<0，或 0，或 0)称为分式不等
式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即
;
;
;
.
对于形如 a(或 ≥ ≤
( ) 0 ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( )
f x f xf x f x g xg x g xg x
> < > ⇒ ⇒ ⋅ > > <
或
( ) 0 ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( )
f x f xf x f x g xg x g xg x
> < < ⇒ ⇒ ⋅ < < >
或
( ) ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) 0( )
f x g xf x f x g x f xg xg x
⋅ ≥≥ ⇒ ⇒ ⋅ > = ≠
或
( ) ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) 0( )
f x g xf x f x g x f xg xg x
⋅ ≤≤ ⇒ ⇒ ⋅ < = ≠
或
( )
( )
f x
g x
> ≠
（1）将高次不等式 中的多项式 分解成若干个不可约因式的乘积，根据
实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各
不等式(组)解集的并集．
（2）穿针引线法：
①将不等式化为标准形式，一端为 0，另一端为一次因式(因式中 x 的系数为正)或二次不可约
因式的乘积；
②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；
③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿
而不过(奇过偶不过)；
④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．
典例 9 不等式 的解集为_________.
【答案】
典例 10 解关于 x 的不等式: <0(a∈R).
【解析】原不等式等价于：(x－a)(x－a2)<0，其对应方程的两根为 x1＝a，x2＝a2.
，分情况讨论如下：
①若 a<0 或 a>1，即 a2>a，则所求不等式的解集为 ．
②若 a＝0 或 a＝1，原不等式可化为 x2<0 或(x－1)2<0.此时，所求不等式的解集为 .
③若 0 < ( )f x
( )( )2 3 3 1 0x x x− − + >
( )1, 0,33
−∞
2
x a
x a
−
−
2
2 1 1( )x x a a a a− = − = −
{ }2|x a x a< <
x∈∅
{ }2|x a x a< <
综上所述：当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为 ；
当 a＝0 或 a＝1 时，原不等式的解集为 ；
当 0 ≤ 3{ | }4x x ≥
( )f x m ( )f x a< ( )f x a≤ ⇔ a m> a m≥
( )f x m ( )f x a> ( )f x a≥ ⇔ a m< a m≤
( )f x ( )f x
m ( )f x
m
（4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数. 在不等式恒成立问题的处理中，若
能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式
随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷．
典例 11 已知不等式 .
（1）若对于所有的实数푥不等式恒成立，求푚的取值范围；
（2）若对于푚 ∈ [ ― 2,2]不等式恒成立，求实数푥的取值范围.
.
由①得， ；由②得， ，
取交集得 且 x≠1.
∴x 的取值范围是 .
典例 12 已知函数 .
（1）若对于 x∈R，f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围;
（2）若对于 x∈[1,3]，f(x)<5-m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
( )22 1 1x m x− > −
( )
( )
2 0
2 0
f
f
< ⇔ − <
2
2
2 2 1 0
2 2 3 0
①
②
x x
x x
− − <
− − + <
1 3 1 3
2 2x
− +< < 1 7 1 7,2 2
或x x
− − − +< >
1 7 1 3
2 2x
− + +< <
1 7 1 3{ }2 2|x x
− + +< <
( ) 2 1f x mx mx= − −
记 g(x)= = ,x∈[1,3],易知 ,所以 .
即实数 m 的取值范围为 .
6．若 对一切 x≥4 恒成立,求实数 m 的取值范围.
1．若 ,则下列结论正确的是
A．若 ,则 a2＞b2 B．若 a＞b,c＞d,则 ac＞bd
C．若 a＜b＜0,则 D．若 a＞b＞0,c＜d＜0,则 ＜
2．已知 ，则下列不等式一定成立的是
2
6
1x x− + 2
6
1 3( )2 4x − +
( ) ( )min
63 7g x g= = 6
7m <
( 6, )7
−∞
( )( ) ( )2 1 1 0 0m x mx m− + < <
, , ,a b c d ∈R
a b>
1 1
a b
< a
d
b
c
x y>
A． B．log2(x﹣y)＞0
C．x3＜y3 D．
3．已知全集 = ，集合 ，则
A． B．
C． D．
4．不等式 的解集为퐑，那么
A．푎 < 0,훥 < 0 B．푎 < 0,훥 ≤ 0
C．푎 > 0,훥 ≥ 0 D．푎 > 0,훥 > 0
5．已知푚 = 0.20.1,푛 = log0.12,푝 = 0.10.2,则 m、n、p 的大小关系为
A．n < m < p B．n < p < m
C．p < n < m D．m < p < n
6．如果푎＞푏＞0，푡＞0，设 ， ，那么
A．푀＞푁 B．푀＜푁
C．푀 = 푁 D．푀与푁的大小关系随的变化而变化
7．不等式 ≤0 的解集为
A．(-∞,-3] B．(1,2]
C．(-∞,-3]∪[1,2] D．(-∞,-3]∪(1,2]
1 1
x y
<
1 1
2 2
x y <
U ]4,5(− { } { }2| ln(3 ) , | 2 3 0A x U y x B x x x= ∈ = − = − − ≤
( )UA B =
( 5,3)− ( 5,3) (3,4]−
( 5, 1) (3,4]− − )1,5( −−
( )2 0 0ax bx c a+ + < ≠
aM b
= a tN b t
+= +
2 6
1
x x
x
+ −
−
8．若关于푥的不等式 的解集不是空集，则实数푎的取值范围是
A．[2，＋∞) B．(－∞，－6]
C．[－6,2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)
9．函数 的定义域为___________.
10．若关于푥的不等式 的解集是(1，푚)，则푚 =___________.
11．已知实数푥,푦满足： ―1 ≤ 푥 + 푦 ≤ 1， ―1 ≤ 푥 ― 푦 ≤ 1，则2푥 + 푦的最小值是
___________.
12．若关于 x 的不等式 >0 的解集为 R，则 k 的取值范围为
___________.
13．已知 a>0,b>0,求证: .
14．已知 , ≤3x+y≤ ,求 9x+y 的取值范围.
15．已知不等式푎푥2 +푥 + 푐 > 0的解集为{푥|1 < 푥 < 3}.
2 3x ax a− − ≤ −
( ) ( )2log 2 3 ( 0, 1)f x x x a a= − − > ≠
2 26 0ax x a+− <
( ) ( )2
2
1 1 2
1
k x k x
x x
− + − +
+ +
1 1 1
a b a b
a b a b
++ >+ + + +
1 122 2x y+ ≤− ≤ 1
2
− 1
2
（1）求实数푎,푐的值;
（2）若不等式푎푥2 +2푥 + 4푐 > 0的解集为퐴,不等式3푎푥 + 푐푚 < 0的解集为퐵,且
퐴 ⊆ 퐵,求实数푚的取值范围.
16．已知不等式log2(푎푥2－3푥＋6) > 2的解集是{푥|푥 < 1或푥 > 푏}.
（1）求푎，푏的值；
（2）解不等式 (푐为常数) .
17．设 f(x)＝ax2﹣(a＋1)x＋1.
（1）解关于 x 的不等式 f(x)＞0；
（2）若对任意的 a∈[﹣1，1]，不等式 f(x)＞0 恒成立，求 x 的取值范围.
0c x
ax b
− >+
1 ． （ 2017 天 津 文 科 ） 已 知 奇 函 数 在 上 是 增 函 数 ． 若
，则 ， ， 的大小关系为
A． B．
C． D．
2．（2016 新课标全国Ⅱ文科）已知集合 ，则
A． B．
C． D．
3．（2015 浙江文科）设 ， 是实数，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2015 浙江文科）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个
房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位： ）分别为 ， ， ，且
，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/ ）分别为 ， ， ，且 ．在
不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是
A． B．
C． D．
( )f x R
0.8
2 2
1(log ), (log 4.1), (2 )5a f b f c f= − = = a b c
a b c< < b a c< <
c b a< < c a b< <
{1 2 3},A = , , 2{ | 9}B x x= < A B =
{ 2 101 2 3}, , , , ,− − { 2 101 2}, , , ,− −
{1,2,3} {1 2},
a b 0a b+ > 0ab >
2m x y z
x y z< < 2m a b c a b c< <
ax by cz+ + az by cx+ +
ay bz cx+ + ay bx cz+ +
5．（2015 广东文科）不等式 的解集为 ．（用区间表示）
6．（2016 江苏）函数 y= 的定义域是 .
1．【答案】C
【解析】由题可得， .
因为1 < 푎 < 푏，所以 ，所以 ，
所以 ，即푚 > 푛.故选 C.
2．【答案】C
【解析】因为 ，所以设2푥 + 푦 = 푎(2푥 ― 푦) +푏(푥 ― 3푦)，即
2푥 + 푦 = (2푎 + 푏)푥 ― (푎 + 3푏)푦，则 ，解得 ，即
，
因为 ，所以 ，即
，即 的最小值为 .故选 C.
3．【答案】A
2 3 4 0x x− − + >
23 2x x- -
11 1
1 1
1 bb b
a a b b a b
m a a a
n b b b b
−− −
− − + − −
= = = ⋅
11 1, 1
b
a b
a
b b
−
−
> >
11 1
b
a b
a
b b
−
−
⋅ >
1m
n
>
21 14 2 2
y x y
xz
+
− = ⋅ =
2 2
3 1
a b
a b
+ =
+ = −
7
5
4
5
a
b
=
= −
( ) ( )7 42 2 35 5x y x y x y+ = − − −
2 0
3 5 0
x y
x y
− ≤
− + ≥
( ) ( ) ( )7 4 42 2 3 5 45 5 5x y x y x y+ = − − − ≤ − × − =
21 1
2 16
x y+ ≥
14 2
y
xz − = ⋅
1
16
变式拓展
4．【答案】D
【解析】若 a=0，显然不符合题意；
若 a>0,则 的解为 ―2푎 < 푥 < 4푎,由题意可得푥2 ― 푥1 = 6푎 = 15,则
；
若 a<0,则 的解为4푎 < 푥 < ―2푎,由题意可得푥2 ― 푥1 = ―6푎 = 15,则
.
综上可得， .
5．【答案】B
【解析】不等式 移项得： ，即 ，
可化为： 或 ，解得 ，
则原不等式的解集为 .故选 B.
6．【解析】因为 m<0,所以
2 22 8 0x ax a− − <
5
2a =
2 22 8 0x ax a− − <
5
2a = −
5
2a = ±
3 1 12
x
x
− ≥−
3 1 1 02
x
x
− − ≥−
3
4 02
x
x
−
≤−
3 04
2 0
x
x
− ≥
− <
3 04
2 0
x
x
− ≤
− >
3 24 x≤ <
3{ | 2}4x x≤ <
综上,实数 m 的取值范围是 .
1．【答案】D
【解析】对于 A,例如, 푎 = 1, 푏 = ―2, 1 > ―2,但12 < ( ―2)2, 푎2 < 푏2,排除 A;
对于 B,例如,푎 = ―1, 푏 = ―2, ― 1 > ―2,푐 = ―3, 푑 = ―4, ― 3 > ―4,但푎푐 < 푏푑,排除
B;
对于 C, 例如, 푎 = ―2, 푏 = ―1,但 ,排除 C;
对于 D,若 c＜d＜0,所以 ＜ ,又因为 a＞b＞0,所以 ＜ ，所以 D 正确.选 D.
2．【答案】D
【解析】当푥＞푦时，对于选项 A， ，由于푥푦的正负未知，故选项 A 错
误；
对于选项 B，只有푥 ― 푦 > 1时才成立，故选项 B 错误；
对于选项 C， 单调递增，故当푥＞푦时，푥3 > 푦3，选项 C 错误；
对于选项 D，函数 单调递减，故当푥＞푦时， 成立，故选项 D 正
确.
综上，正确的只有选项 D，故选 D.
3．【答案】D
1
2m < −
1 12
− > −
1
d
1
c
a
d
b
c
1 1 y x
x y xy
−− =
3y x=
1
2
x
y =
1 1
2 2
x y <
考点冲关
4．【答案】A
【解析】由题意知 的解集为퐑,所以푎 < 0,훥 < 0.选 A.
5．【答案】B
【解析】因为푛 = log0.12 < 0, 푚 = 0.20.1 > 0,푝 = 0.10.2 > 0.所以
,所以푚 > 푝>0，所以 n < p < m.故选 B.
6．【答案】A
【解析】∵푎＞푏＞0，푡＞0，∴ ， ，则
， ∴ 푀＞푁.故选 A.
7．【答案】D
【解析】由 ≤0 得 ,解得 或 ,
则不等式 ≤0 的解集是 .故选 D.
8．【答案】D
【解析】因为关于푥的不等式푥2 ― 푎푥 ― 푎 ≤ ―3的解集不是空集，所以
，解得푎 ≤ ―6 或푎 ≥ 2，所以实数푎的取值范围是
.故选 D.
9．【答案】{푥|푥 > 3或푥 < ―1}
【解析】由题意可得푥2 ―2푥 ―3 > 0,所以푥 > 3或푥 < ―1，则函数푓(푥) = log(푥2 ―2푥
―3)(푎 > 0,푎 ≠ 1)的定义域为{푥|푥 > 3或푥 < ―1}.
10．【答案】2
【解析】 ∵ 푎푥2﹣6푥 + 푎2＜0的解集是 (1，푚)，∴푎＞0， 1，푚是相应方程푎푥2
﹣6푥 + 푎2 = 0的两根，
解得푚 = 2.
( )2 0 0ax bx c a+ + < ≠
0.1
0.1 0.1
0.2
0.2 2 0.1 10.1
m
p
−= = × >
0aM b
= > 0a tN b t
+= >+
( )
( ) 0t a ba a tM N b b t b b t
−+− = − = >+ +
2 6
1
x x
x
+ −
−
( )( )( )1 3 2 0
1 0
x x x
x
− + − ≤
− ≠
3x ≤ − 1 2x< ≤
2 6
1
x x
x
+ −
− ( , 3] (1,2]−∞ −
( )2 4 3 0a a∆ = − − ≥
( ] [, 6 , )2−∞ − +∞
11．【答案】-2
【解析】由题意得 , .
而2푥 + 푦=3
2(푥 + 푦)+ 1
2(푥 ― 푦),所以 ,即 ―2 ≤ 2푥 + 푦 ≤ 2,
故2푥 + 푦的最小值是-2.
12．【答案】
【解析】∵关于 x 的不等式 >0 的解集为 R，而 x2+x+1=(푥 + 1
2)
2
+>0，∴(k﹣
13．【解析】构造函数 f(x)= ,则 f(x)= =1- ,当 x>0 时,f(x)单调递增.
∵a>0,b>0，∴a+b+ab>a+b>0，∴ .
则 =f(a+b+ab)>f(a+b)=
푎 + 푏
1 + 푎 + 푏.
即 .
14．【解析】方法一：设 ,则 2a+3b=9,a+b=1,
所以 a=-6,b=7,
由已知不等式,得-3≤-6(2x+y)≤3, ≤7(3x+y)≤ ,
所以 ≤9x+y≤ ,
( )3 3 3
2 2 2x y− ≤ + ≤ ( )1 1 1
2 2 2x y− ≤ − ≤
3 1 3 122 2 2 2x y− − ≤ + ≤ +
[ )1,9
( ) ( )2
2
1 1 2
1
k x k x
x x
− + − +
+ +
1
x
x+ 1
x
x+
1
1 x+
( ) ( )f a b ab f a b+ + > +
( )( )
2 2
1 1 1 1 1 1
a b a b ab a b ab a b ab
a b a b a b ab a b ab
+ + + + + ++ = = >+ + + + + + + + + +
1 1 1
a b a b
a b a b
++ >+ + + +
( ) ( )2 3 9a x y b x y x y+ + + = +
7
2
− 7
2
13
2
− 13
2
即 9x+y 的取值范围为[ , ].
方法二： ①， ≤3x+y≤ ②，
①×(-1)+②,得 ,故-6≤6x≤6 ③；
②+③,得 ≤9x+y≤ ,即 9x+y 的取值范围为[ , ].
퐴 = (2,6).
又3푎푥 + 푐푚 < 0,即为푥 + 푚 > 0,解得푥 > ―푚,所以퐵 = ( ― 푚, + ∞).
因为퐴 ⊆ 퐵,所以 ―푚 ≤ 2,即 .
所以实数푚的取值范围是 .
16．【解析】（1）由log2(푎푥2－3푥＋6) > 2，可得푎푥2－3푥＋2 > 0，即 1 和 b 为方程
푎푥2－3푥＋2 = 0的两根，
所以 ，即푎 = 1,푏 = 2.
（2）原不等式可化为(푐 ― 푥)(푥 + 2) > 0，则方程(푐 ― 푥)(푥 + 2) = 0的两根为 c 和-
2，
当푐 = ―2时，所求不等式的解集为 ；
当 时，所求不等式的解集为{푥| ― 2 < 푥 < 푐}；
当 时，所求不等式的解集为{푥|푐 < 푥 < ―2}.
13
2
− 13
2
1 122 2x y+ ≤− ≤ 1
2
− 1
2
1 1x− ≤ ≤
13
2
− 13
2
13
2
− 13
2
2m ≥ −
[ )2,− +∞
31
2
b a
b a
+ =
=
∅
2c > −
2c < −
当 0＜a＜1 时，1＜ ，可得 x＜1 或 x＞
综上可得，a＝0 时，解集为{x|x＜1}；
a＜0 时，解集为{x| ＜x＜1}；
a＝1 时，解集为{x| ，x≠1}；
a＞1 时，解集为{x|x＞1 或 x＜ }；
0＜a＜1 时，解集为{x|x＜1 或 x＞ }.
（2）对任意的 a∈[﹣1，1]，不等式 f(x)＞0 恒成立，即为 ，
即 ，对任意的 恒成立.
设 g(a)＝a(x2﹣1)﹣x＋1， .
则 ，且 g(1)＞0，
即 ，且 ，
即(x﹣1)(x＋2)＜0，且 x(x﹣1)＞0，
解得﹣2＜x＜1，且 x＞1 或 x＜0.
可得 .
故 x 的取值范围是 .
1
a
1
a
1
a
x∈R
1
a
1
a
2 1( ) 1 0ax a x +− + >
2( )1 1 0a x x +− >− ,1[ ]1a∈ −
,1[ ]1a∈ −
( )1 0g − >
2( )1 1 0x x− +− >− 2 1( 1 0)x x− − + >
2 0x− < <
( )2,0−
1．【答案】C
【解析】由题意可得 ，且 ，
，所以 ，
结合函数的单调性，可得 ，即 ，即
．故选 C．
【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函
数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大
小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等
式．
2．【答案】D
【解析】由 得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故选 D.
3．【答案】D
【解析】若 ，则 ，但是 ；
若 ，则 ，但是 ，
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
4．【答案】B
2 2
1( log ) (log 5)5a f f= − = 2 2log 5 log 4.1 2> >
0.81 2 2< < 0.8
2 2log 5 log 4.1 2> >
0.8
2 2(log 5) (log 4.1) (2 )f f f> > a b c> >
c b a< <
2 9x < 3 3x− < < { | 3 3}B x x= − < <
{1,2,3}A = {1,2}A B =
2, 1a b= = − 0a b+ > 0ab <
2, 1a b= − = − 0ab > 0a b+ <
0a b+ > 0ab >
直通高考
5．【答案】
【解析】 ，即 ，即 ，则 ，
故不等式 的解集为 .
6．【答案】
【解析】要使函数式有意义，必有 ，即 ，解得 ．故
答案为 .
( 4,1)−
2 3 4 0x x− − + > 2 3 4 0x x+ − < ( 1)( 4) 0x x− + < 4 1x− < <
2 3 4 0x x− − + > ( 4,1)−
[ 3,1]−
23 2 0x x− − ≥ 2 2 3 0x x+ − ≤ 3 1x− ≤ ≤
[ 3,1]−
