2017-2018学年福建省漳州市平和一中、南靖一中等四校高二下学期第二次(5月)联考数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 福建省平和一中、南靖一中等四校2017-2018学年高二下学期第二次(5月)联考数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先求得集合M，然后进行交集运算即可.‎ 详解：由题意可知：，‎ 则 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2．设，为虚数单位，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先化简复数a，然后结合题意整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由复数的运算法则有：‎ ‎，‎ 为实数，则.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．命题“,总有”的否定是 A. “，总有” B. “，总有”‎ C. “，使得” D. “，使得”‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意否定全称命题即可确定命题的否定.‎ 详解：全称命题的否定为特称命题，‎ 则“,总有”的否定是“，使得”.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．‎ ‎4．“”是“直线与直线垂直”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先由直线垂直的充分必要条件求得实数a的值，然后确定两个命题的关系即可.‎ 详解：直线与直线垂直，‎ 则：，据此可得：或.据此可知：‎ ‎“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查两条直线垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5．若函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是 A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况即可求得最终结果.‎ 详解：当时，，不满足题意；‎ 当时，由题意可知：，‎ 即：，‎ 求解不等式可得的取值范围是或.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查函数零点存在定理，一次函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．‎ ‎《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，有下列3个说法：①得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12.其中说法正确的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可设这五人的橘子个数分别为： ，其和为60，故a=6，由此可知②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12是正确的，故选C ‎7．已知，则的大小关系为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a,b,c的范围，然后比较其大小即可.‎ 详解：由指数函数的性质可知：，，，‎ 且，，据此可知：，‎ 综上可得：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． ‎ ‎8．若定义运算则函数的值域是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意首先确定函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的值域即可.‎ 详解：函数是定义在上的单调递增函数，‎ 函数是定义在上的单调递减函数，‎ 且，结合题中定义的运算可知：‎ ‎，‎ 绘制函数图象如图所示，观察函数图象可知函数的值域为.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ ‎9．函数的图象大致为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意结合函数的解析式确定函数的符号，排除错误选项即可求得最终结果.‎ 详解：构造函数，则，‎ 函数在定义域内单调递增，且，故恒成立，‎ 即当时，，，‎ 则，在区间上恒成立.‎ 结合选项可知ABD错误.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)‎ 从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎10．下列类比推理中，得到的结论正确的是 A. 把与类比，则有 B. 把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于其长宽高的平方和 C. 把与类比，则有 D. 向量，的数量积运算与实数的运算类比，则有 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意逐一考查所给的推理是否正确即可.‎ 详解：逐一考查所给推理的正确性：‎ A. 由多项式的运算法则可知，题中的推理错误；‎ B.长方体的体对角线平方等于其长宽高的平方和，面对角线平方不等于其长宽高的平方和，题中的推理错误；‎ C. 由对数的运算法则可知，题中的推理错误；‎ D. 由平面向量数量积的运算法则可知：，题中的推理正确.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．‎ ‎11．函数的图象上关于轴对称的点共有 A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意将原问题转化为函数图像交点个数的问题，绘制函数图像即可求得最终结果.‎ 详解：函数关于轴对称的函数为，该函数为单调函数，‎ 原问题等价于函数与函数的交点的个数，‎ 绘制函数图像如图所示，观察可知，交点个数为3个，‎ 则函数的图象上关于轴对称的点共有3对.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查等价转化的数学思想，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12．已知，则的最小值等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：将原问题转化为两点之间距离公式的问题，然后数形结合即可求得最终结果.‎ 详解：设点，， ‎ 则点之间距离的平方为，‎ 原问题等价于求解的最小值.‎ 很明显点在曲线上，点在区间上，‎ 函数与函数图像关于对称，‎ 设点到直线的距离为，原问题转化为求解，‎ 由可知：，令可得，‎ 即函数在点处切线的斜率为，切线方程为：，‎ 设为直线与之间的距离，‎ 由平行线之间的距离公式可得，则，‎ 即的最小值等于.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查转化的数学思想，两点之间距离公式，导函数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意结合复数的运算法则得到关于a的方程，解方程即可求得最终结果.‎ 详解：由复数的运算法则有：，‎ 复数在复平面内对应的点位于实轴上，‎ 则：，.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数对应的点的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意首先求得m的值，然后结合奇函数的性质整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：函数为奇函数，则：，即：，‎ 当时，，‎ 函数为奇函数，则.‎ 点睛：本题主要考查奇函数的性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15．二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；观察发现 ‎，三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度，则，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题通过观察维测度与二维测度、二维测度与三维测度之间的关系，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.‎ ‎16．已知定义域为R的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意构造函数，结合函数的单调性求解不等式的解集即可.‎ 详解：构造函数，则，‎ 即函数单调递减，‎ 不等式即，其中，‎ 故不等式为：，结合函数的单调性可得：，‎ 据此可知不等式的解集为.‎ 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设函数 且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1). ‎ ‎ (1)求f(x)的解析式；‎ ‎ (2)在如图所示的直角坐标系中画出的图象．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：(1)由题意可得a＝－1，b＝1，则 ‎(2)结合(1)中函数的解析式绘制函数图像即可.‎ 详解：‎ ‎(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得 解得a＝－1，b＝1，所以 ‎(2)f(x)的图象如图．‎ 点睛：本题主要考查分段函数解析式的求解，分段函数图像的绘制等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．设命题实数满足，其中，命题实数满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）当时，． ． 据此可得的取值范围是． ‎ ‎（2）由题意可知q是p的充分不必要条件， 其中，, 且，故．‎ 详解：（1）当时，由，得． ‎ 由，得，所以． ‎ 由p∧q为真，即p，q均为真命题，‎ 因此的取值范围是． ‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件， ‎ ‎ 由题意可得，, ‎ ‎ 所以，因此且，解得．‎ 点睛：本题主要考查命题的相关结论，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19．已知函数在处取得极值．‎ ‎(1)求，并求函数在点处的切线方程；‎ ‎(2) 求函数的单调区间．‎ ‎【答案】（1），；（2）单调递减区间为和，单调递增区间为 ‎【解析】分析：(1)由题意可得． 结合函数的极值可知． 故函数在点处的切线方程为．‎ ‎(2)由题意可得，利用导函数研究函数的单调性可得的单调递减区间为和，单调递增区间为．‎ 详解：(1)因为，所以． ‎ 因为在 处取得极值，所以，即，‎ 解得．即.‎ 因为，，，‎ 所以函数在点处的切线方程为．‎ ‎(2)由(1) ，‎ 令，即，解得，‎ 所以的单调递增区间为．‎ 令，即，解得或，‎ 所以的单调递减区间为，．‎ 综上，的单调递减区间为和，单调递增区间为．‎ 点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20．“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11 日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用（单位：万元）和利润（单位：十万元）之间的关系，得到下列数据：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎（1）请用相关系数说明与之间是否存在线性相关关系（当时，说明与之间具有线性相关关系）；‎ ‎（2）根据（1）的判断结果，建立与之间的回归方程，并预测当时，对应的利润为多少（精确到0.1）.‎ 附参考公式：回归方程中中和最小二乘估计分别为 ‎，相关系数 参考数据：‎ ‎.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：(1) 由题意得，利用公式求出 ，从而作出判断；(2)利用最小二乘法求出与之间的回归方程，进而进行估计.a 试题解析：‎ ‎（1）由题意得，‎ 又，‎ 所以，‎ 所以与之间具有线性相关关系.‎ ‎（2）因为， ，‎ 所以回归直线方程为，‎ 当时， .‎ 点睛：（1）线性回归方程体现了两个变量之间的相关关系，求得两个变量间的回归关系之后可根据回归方程进行估计，以便为下一步的决策提供参考依据。‎ ‎（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，均值的大小也可为下一步的决策提供参考依据。‎ 点睛：求线性回归直线方程的步骤 ‎（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；‎ ‎（2）求系数：公式有两种形式，即。当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；‎ ‎（3）求： ；‎ ‎（4）写出回归直线方程．‎ ‎21．已知函数（）在处取得极值．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）讨论的零点个数，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由题意可得， 则．据此可知的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）由（1）知在处取得最大值． 分类讨论有：①当时，无零点． ②当时，有一个零点． ③当时，有两个零点．‎ 详解：（1）因为， ‎ 又，即，解得． ‎ 令，即，解得；‎ 令，即，解得． ‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）由（1）知在处取得最大值． ‎ ‎①当即时，，所以无零点． ‎ ‎②当即时，当且仅当时，，‎ 所以有一个零点． ‎ ‎③当即时，，‎ 因为，且，‎ 又在上单调递增，所以在上有且只有一个零点． ‎ 因为，且，‎ 令，则，‎ 所以在上单调递减，所以，所以．‎ 又在上单调递减，所以在上有且只有一个零点．‎ 故当时，有两个零点．‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎22．在极坐标系中，曲线：，曲线： .以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求，的直角坐标方程；‎ ‎（2）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为．曲线的直角坐标方程为: ． ‎ ‎（2）不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参数分别为．联立直线的参数方程与二次曲线的方程可得． ．则．‎ 详解：（1）因为， ‎ 由得， ‎ 所以曲线的直角坐标方程为． ‎ 由得， ‎ 所以曲线的直角坐标方程为: ． ‎ ‎（2）不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参数分别为．‎ 把 代入，‎ 得，即,‎ 则，． ‎ 把 代入，‎ 得，即, 则，．‎ 所以．‎ 点睛：本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（1）当时,解不等式；‎ ‎（2）求证:．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）当时,不等式即.零点分段可得不等式的解集为 ‎ ‎（2）由题意结合绝对值三角不等式即可证得题中的结论.‎ 详解：（1）当时,不等式等价于不等式.‎ 当时,不等式可化为,解得，所以． ‎ 当时,不等式可化为,即，这种情况无解． ‎ 当时,不等式可化为,解得，所以． ‎ 综上,当时,不等式的解集为 ‎ ‎（2）证明: ‎ ‎ ‎ 所以不等式得证．‎ 点睛：绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎