2017-2018学年江苏省苏州市高二下学期6月学业质量阳光指标调研数学理试题(Word版)

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2017-2018学年江苏省苏州市高二下学期6月学业质量阳光指标调研数学理试题(Word版)

‎2017-2018学年江苏省苏州市高二下学期学业质量阳光指标调研数学理试题 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.‎ ‎1.已知复数(为虚数单位),则 .‎ ‎2.双曲线的离心率为 .‎ ‎3.函数的极值点为,则 .‎ ‎4.“”是“”的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)‎ ‎5.现有5个人排成一排,则甲恰在正中间的排法有 种.(用数字作答)‎ ‎6.抛物线上位于第一象限内的一点到焦点的距离是3,则该点坐标是 .‎ ‎7.若离散型随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 则的数学期望 .‎ ‎8.若(为正整数且),则 .‎ ‎9.已知,则的值是 .‎ ‎10.已知圆的圆心在直线上,且经过,两点,则圆的标准方程是 .‎ ‎11.如图,在体积为的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥,剩余部分的体积为,则 .‎ ‎12.若函数在其定义域上单调递减,则称函数是“函数”.已知是“函数”,则实数的取值范围是 .‎ ‎13.过曲线上的点向圆:作两条切线,,切点为,,且,若这样的点有且只有两个,则实数的取值范围是 .‎ ‎14.已知,函数,,若存在一条直线与曲线和均相切,则使不等式恒成立的最小整数的值是 .‎ 二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.如图,在三棱锥中,是正三角形,,分别为,的中点,.‎ 求证:(1)平面;‎ ‎(2).‎ ‎16.某公司年会举行抽奖活动,每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下:一只盒子里装有大小相同的6个小球,其中3个白球,2个红球,1个黑球,抽奖时从中一次摸出3个小球,若所得的小球同色,则获得一等奖,奖金为300元;若所得的小球颜色互不相同,则获得二等奖,奖金为200元;若所得的小球恰有2个同色,则获得三等奖,奖金为100元.‎ ‎(1)求小张在这次活动中获得的奖金数的概率分布及数学期望;‎ ‎(2)若每个人获奖与否互不影响,求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.‎ ‎17.已知,.‎ ‎(1)当时,求展开式中的常数项;‎ ‎(2)若二项式的展开式中含有的项,当取最小值时,展开式中含的正整数次幂的项的系数之和为10,求实数的值.‎ ‎18.如图,在正三棱柱中,底面的边长为2,侧棱长为4,是线段上一点,是线段的中点,为的中点.以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎(1)若,求直线和平面所成角的正弦值;‎ ‎(2)若二面角的正弦值为,求的长.‎ ‎19.如图,在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,焦点到相应准线的距离为,,分别为椭圆的左顶点和下顶点,为椭圆上位于第一象限内的一点,交轴于点,交轴于点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若,求的值;‎ ‎(3)求证:四边形的面积为定值.‎ ‎20.已知函数,为的导函数,其中.‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)若方程有三个互不相同的根0,,,其中.‎ ‎①是否存在实数,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎②若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.‎ 苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷 高二数学(理科附加)‎ A组(选修4-2:矩阵与变换)‎ A1‎ 若圆:在矩阵对应的变换下变成椭圆:.‎ ‎(1)求,的值;‎ ‎(2)求矩阵的逆矩阵.‎ A2‎ 已知,为矩阵的两个特征向量.‎ ‎(1)求矩阵;‎ ‎(2)若,求.‎ B组(选修4-4:坐标系与参数方程)‎ B1‎ 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为.‎ ‎(1)分别写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线与圆相切,求实数的值.‎ B2‎ 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(其中为参数,).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程是,等边的顶点都在上,且点,,依逆时针次序排列,点的极角为.‎ ‎(1)求点,,的直角坐标;‎ ‎(2)设为上任意一点,求点到直线距离的取值范围.‎ 苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷 高二数学(理科)参考答案 一、填空题 ‎1. 2. 2 3. 4. 必要不充分 5. 24 6. ‎ ‎7. 8. 6 9. 100 10. 11. ‎ ‎12. 13. 14. 3‎ 二、解答题 ‎15.证:(1)因为,分别为,的中点,‎ 所以,‎ 又平面,平面,‎ 所以平面.‎ ‎(2)连结,因为,又,所以.‎ 又,为的中点,所以,‎ 又,所以平面.‎ 因为平面,所以.‎ ‎16.解:(1)小张在这次活动中获得的奖金数的所有可能取值为100,200,300.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎(或)‎ 所以奖金数的概率分布为 ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ 奖金数的数学期望(元).‎ ‎(2)设3个人中获二等奖的人数为,则,‎ 所以,‎ 设该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖为事件,‎ 则.‎ 答:该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为.‎ ‎17.解:二项式的展开式通项为 ‎,‎ ‎(1)当,时,的展开式的常数项为.‎ ‎(2)令,则,所以的最小值为6,‎ 当时,二项式的展开式通项为 ‎,‎ 则展开式中含的正整数次幂的项为,,,它们的系数之和为 ‎,‎ 即,解得或.‎ ‎18.解:根据题意得,,,‎ 所以,,‎ ‎(1)当是线段的中点时,,,‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则,得,‎ 即,取,得,‎ 设和平面所成角为,‎ 则,‎ 所以和平面所成角的正弦值为.‎ ‎(2)设,则,,‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则,得,‎ 即,取,得,‎ 显然是平面的一个法向量,‎ 设二面角的大小为,则,‎ 所以,‎ 解得或3,所以的长为1或3.‎ ‎19.解:(1)设右焦点,因为椭圆的离心率为,所以,①‎ 又因为右焦点到右准线的距离为,所以,②‎ 由①②得,,,,‎ 所以椭圆的标准方程是.‎ ‎(2)因为,所以,直线的方程为,‎ 由,得,解得(舍)或,‎ 可得,‎ 直线的方程为,令,得,‎ 所以.‎ ‎(3)设,则,即.‎ 直线的方程为,令,得.‎ 直线的方程为,令,得.‎ 所以四边形的面积 为定值.‎ ‎20.解:(1)当时,,‎ 令,得或,‎ 所以的单调增区间为和;‎ 令,得,‎ 所以的单调减区间为.‎ ‎(2)①由题意知,是方程的两个实根,‎ 所以,得.‎ 且,,,‎ 由成立得,,‎ 化简得,‎ 代入得,即,‎ 解得,因为,所以这样的实数不存在.‎ ‎②因为对任意的,恒成立.‎ 由,,且,‎ ‎1.当时,有,所以对,,‎ 所以,解得.‎ 所以.‎ ‎2.当时,有,‎ ‎,其判别式.‎ 由,得或,‎ 此时存在极大值点,且.‎ 由题得,‎ 将代入化简得,解得.‎ 因此.‎ 综上,的取值范围是.‎ 理科附加题 A1‎ 解:设点为圆:上任意一点,经过矩阵变换后对应点为,‎ 则,所以,代入椭圆方程得,‎ 又圆方程为,故,即,‎ 又,,所以,.‎ ‎(2)设,则,‎ 即,所以,解得,所以.‎ A2‎ 解:(1)设矩阵的特征向量对应的特征值为,特征向量对应的特征值为,‎ 则由,得,即,‎ 可解得,,,,所以.‎ ‎(2)因为,‎ 所以.‎ B1‎ 解:(1)直线的直角坐标系方程是,‎ 圆的直角坐标方程是.‎ ‎(2)由(1)知圆心为,半径,‎ 设圆心到直线的距离为,因为直线与圆相切,‎ 所以,解得.‎ B2‎ 解:(1)由,可得点的直角坐标,‎ 由已知,点的极坐标为,可得点的直角坐标为,‎ 点的极坐标为,可得点的直角坐标为.‎ ‎(2)直线的方程为,‎ 设点,则点到直线的距离 ‎(其中,),‎ 因为,所以,所以,‎ 所以.‎
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