数学理卷·2018届北京市第四中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届北京市第四中学高三上学期期中考试（2017

北京四中2018届上学期高三年级期中考试 数学（理）‎ ‎（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．已知集合，，那么等于 A． B． C． D．‎ ‎2．若，则 A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量满足，，则 ‎ A. B. 1 C. D.‎ ‎4．设，，，则 A． B． C． D．‎ ‎5．已知，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．函数的图象如图所示，则的解析式可以为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 第6题图 ‎7．实数满足若的最大值为 ‎，最小值为，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎8．设函数的定义域为，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，()．若为上的“型增函数”，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 若函数，则等于___________.‎ ‎10. 在平面直角坐标系中，点，，若向量，则实数 ‎___________.‎ ‎11. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，且导函数有最小值，则___________，___________. ‎ 第11题图 ‎12. 已知正数满足，则的最小值是___________.‎ ‎13.已知函数（其中为自然对数的底数，且），若，则实数的取值范围是___________.‎ ‎14．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数 组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，. 现有如下命题：‎ ‎①设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“”；‎ ‎②若函数，则有最大值和最小值；‎ ‎③若函数，的定义域相同，且,，则；‎ ‎④若函数有最大值，则.‎ 其中的真命题有___________. （写出所有真命题的序号）‎ 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知集合, ,.‎ ‎（Ⅰ）求； ‎ ‎（Ⅱ）已知，，若是的充分不必要条件，求的取值范围.‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 在锐角中，内角所对的边长分别为，已知，‎ ‎，的面积.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎17.（本小题满分13分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期与单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值.‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知函数 (为实常数).‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数在上的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎20.（本小题满分14分） ‎ 设是定义在D上的函数，若对D中的任意两数（），恒有 ‎，则称为定义在D上的C函数．‎ ‎（Ⅰ）试判断函数是否为定义域上的C函数，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若函数是R上的奇函数，试证明不是R上的C函数； ‎ ‎（Ⅲ）设是定义在D上的函数，若对任何实数以及D中的任意两数（），恒有，则称为定义在D上的π函数. 已知是R上的π函数，m是给定的正整数，设，且，记. 对于满足条件的任意函数，试求的最大值.‎ 北京四中2017-2018学年第一学期高三期中考试 理科数学答案 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B C C B A C C B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 答案 ‎3‎ ‎4‎ 题号 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎9‎ ‎①③④‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知集合, ,.‎ ‎（1）求（∁；‎ ‎（2）已知p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求的取值范围.‎ 解：（1）, ,.…..….…3分 ‎∁, …....……..….…6分 ‎（∁. …....……..….…8分 ‎ (2) p是q的充分不必要条件，则， …....……..….…11分 所以a≥7，即的取值范围是....……..….…13分 ‎16. 在锐角△ABC中，内角所对的边长分别为，，，△ABC的面积.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求sinC的值.‎ 解：（I）由， …....……..….…2分 可得，. ……………..….….4分 ‎（II）由锐角△ABC中可得.…………...…….....6分 由余弦定理可得：， …….. ….…….9分 由正弦定理：， ………....…….10分 即 ..............13分 ‎17.已知函数,.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期与单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值.‎ 解：...............2分 ‎（Ⅰ）的最小正周期为.............4分 令，解得，‎ 所以函数的单调增区间为...............6分 ‎（Ⅱ）因为，所以，所以，..............8分 于是，所以...............11分 当且仅当时取最小值 当且仅当，即时最大值...............13分 ‎18.已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，试问曲线与直线y=2x-3是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为，．................2分 又曲线在点处的切线与直线垂直，‎ 所以，即．................5分 ‎（Ⅱ）当时，，．‎ 令．‎ ‎．................7分 当时，，在单调递减；‎ 当时，，在单调递增．................10分 又，所以在恒负．‎ 因此，曲线与直线仅有一个公共点，公共点为 ‎．................13分 ‎19.已知函数(为实常数).‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在x=1处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数在[1,e]上的单调性；‎ ‎（III）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 解:(1)时，，，所求切线方程为y=1. …………3分 ‎ ⑵,[1,e].‎ ‎ 当即时，‎ ‎ [1,e]，，此时，在[1,e]上单调增；‎ ‎ 当即时，‎ ‎ 时，，上单调减；‎ ‎ 时，，在上单调增；‎ ‎ 当即时，‎ ‎ ，，此时，在上单调减；…………8分 ‎⑶方法一：当时，在上单调增，的最小值为,‎ 当时，在上单调减，在上单调增,‎ 的最小值为.‎ ‎，.‎ 当时，在上单调减，的最小值为 ‎,.‎ 综上，………14分 方法二：不等式，可化为．‎ ‎∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，‎ 因而（）‎ 令（），又，‎ 当时，，，‎ 从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，‎ 故的最小值为，所以a的取值范围是．………14分 ‎20.（本小题共14分）‎ 设是定义在D上的函数，若对D中的任意两数（），恒有，则称为定义在D上的C函数．‎ ‎（Ⅰ）试判断函数是否为定义域上的C函数，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若函数是R上的奇函数，试证明不是R上的C函数；‎ ‎（Ⅲ）设是定义在D上的函数，若对任何实数以及D中的任意两数（），恒有，则称为定义在D上的函数. 已知是R上的π函数，m是给定的正整数，设，且，记. 对于满足条件的任意函数，试求的最大值.‎ 解：（Ⅰ）是Ｃ函数，　　　 ……………2分 证明如下：‎ 对任意实数（），‎ 有 ‎.‎ 即.‎ ‎∴是Ｃ函数.　　　　 ……4分 ‎（Ⅱ）假设是R上的Ｃ函数，取，.‎ 则有.‎ 是奇函数，‎ ‎∴，.‎ ‎∴. ()‎ 同理,取，可证.与()式矛盾.‎ ‎∴不是R上的Ｃ函数．　　　…………………9分 ‎（Ⅲ）对任意，取，，.‎ 是R上的函数，，且 ‎∴.‎ 那么.‎ 可证是函数，且使得都成立，此时．‎ 综上所述，的最大值为．　　　…………………………14分