2017-2018学年河南省鹤壁市高二下学期期末考试（文科）数学试题（解析版）

2017-2018学年河南省鹤壁市高二下学期期末考试（文科）数学试题（解析版）

‎2017-2018学年河南省鹤壁市高二下学期期末考试（文科）数学试题 一、单选题 ‎1．若，则复数的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简可得结论.‎ 详解：由，‎ 得，‎ 则复数的共轭复数为，故选C.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2．李华在检查自己的学习笔记时， 发现“集合”这一节的知识结构图漏掉了“集合的含义”，他添加这一部分的最合适位置是（ ）‎ A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据结构图的含义，知识结构图是用图形直观地再现出知识之间的关联，由集合的含义是集合的一种，从而得出正确答案．‎ 详解：这是“集合”的知识结构图，所以“集合”是最高级别的，而“集合的含义”应该属于“集合”这个框的下级分支，与“集合间的基本关系”“集合的运算”是同一级别，所以添加在②的位置比较合适.‎ 故选：B 点睛：本题考查了知识结构图的应用问题，解题的关键是理解知识结构图的作用及知识之间的上下位关系，是基础题．‎ ‎3．已知复数（是虚数单位，），则（ ）‎ A. B. C. 0 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由复数的运算法则可得：，‎ 结合题意可得：，即：，‎ 据此可得：.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4．将曲线上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，得到的曲线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先设曲线上一点，对应变换后曲线上一点，根据变换规律得到与的关系，利用“逆代法”可得结果.‎ 详解：设曲线上一点，‎ 对应变换后曲线上一点，‎ 则，可得，故选A.‎ 点睛：本题主要考查坐标变换公式以及“逆代法”求轨迹方程，属于简单题. 利用“逆代法”解题的关键是求出并将代入.‎ ‎5．用反证法证明命题“若都是正数，则三数中至少有一个不小于2”，提出的假设是（ ）‎ A. 不全是正数 B. 至少有一个小于2‎ C. 都是负数 D. 都小于2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据反证法的思路可知，将结论变为否定来加以证明，即“若都是正数，则三数中至少有一个不小于”，提出的假设为都小于2，选D.‎ ‎【考点】反证法 点评：本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．‎ ‎6．下列推理过程不是演绎推理的是（ ）‎ ‎①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除；‎ ‎②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为棱长的立方；‎ ‎③在数列中，，由此归纳出的通项公式；‎ ‎④由“三角形内角和为”得到结论:直角三角形内角和为.‎ A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：①，④具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理，②选项属于类比推理；③选项属于归纳推理；只有①④符合题意.‎ 详解：①，④，具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理；‎ ‎②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方形的体积为棱长的立方，属于类比推理；③在数列中，，由此归纳出的通项公式，属于归纳推理，‎ 即不是演绎推理的是②③，故选C.‎ 点睛：本题主要考查归纳推理、类比推理、演绎推理的定义与性质，属于简单题. 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，根据三种推理的定义可知，归纳推理与类比推理都是合情推理，不等当作结论与定理应用，如果应用必须加以证明.‎ ‎7．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是（ ）‎ A. 11小时 B. 13小时 C. 15小时 D. 17小时 ‎【答案】B ‎【解析】经到的时间为小时，经、到时间为小时；经到时间为小时；经到时间为小时，故到三道工序都完成的最短时间就为小时，则经到时间为小时，即组装该产品所需要的最短时间是小时，故选B.‎ ‎8．在下列命题中，正确命题是（ ）‎ A. 若是虚数，则 B. 若复数满足，则 C. 若在复数集中分解因式，则有 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】分析：令可排除；令当且可排除，从而可得结果.‎ 详解：当时，，排斥选项；当时，，，排除选项；‎ 当且时成立，不成立，排除选项,故选C.‎ 点睛：本题主要考查复数的概念与性质、排除法解选择题，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.‎ ‎9．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（ ）‎ A. 两个分类变量关系较强 B. 两个分类变量关系较弱 C. 两个分类变量无关系 ^‎ D. 两个分类变量关系难以判断 ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.‎ 详解：从等高条形图中可以看出2，在中的比重明显大于中的比重，所以两个分类变量的关系较强.‎ 故选：A 点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.‎ ‎10．参数方程 表示的轨迹为（ ）‎ A. 双曲线的一支，且过点 B. 抛物线的一部分，且过点 C. 双曲线的一支，且过点 D. 抛物线的一部分，且过点 ‎【答案】B ‎【解析】分析：将参数方程化为普通方程，然后再对进行判断.‎ 详解：，‎ ‎，是抛物线，‎ 排除选项，‎ 当时，，‎ 排除选项，故选B.‎ 点睛：本题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题.‎ ‎11．下列有关线性回归分析的六个命题：‎ ‎①线性回归直线必过样本数据的中心点；‎ ‎②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；‎ ‎③当相关性系数时，两个变量正相关；‎ ‎④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1；‎ ‎⑤残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；‎ ‎⑥甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好.‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据线性回归方程的几何体特征及残差，相关指数的概论，逐一分析四个选项的正误，可得结论.‎ 详解：①线性回归直线必过样本数据中心点，故①正确；‎ ‎②回归直线方程在散点图中可能不经过任意样本数据点，故②错误； ‎ ‎③当相关性系数时，则两个变量正相关，故③正确；‎ ‎④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1或，故④错误；‎ ‎⑤残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，故⑤错误；‎ ‎⑥甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好，故⑥错误，‎ 真命题的个数为，故选B.‎ 点睛：本题以命题的真假判断为截体，考查了相关关系，回归分析、残差、相关指数等知识点，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，难度不大，属于基础题.‎ ‎12．我国古代著名的数学著作有10部算书，被称为“算经十书”.某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣.一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”； 丁:“丙比乙多”，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同）.甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是（ ）‎ A. 乙甲丙丁 B. 甲丁乙丙 C. 丙甲丁乙 D. 甲丙乙丁 ‎【答案】D ‎【解析】分析：分别假设说真话的是甲、乙、丙、丁，仔细分析四个人的话，从而可得结论.‎ 详解：假设甲说的是真话，则另外三人说的都是假话，‎ 从而得到：“乙比丁少”；“甲比丙少”； “丙比丁少”； “丙比乙少”，‎ 甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是甲丙乙丁，符合题意，‎ 假设乙说的是真话，则另外三人说的都是假话，‎ 从而得到“丙比乙少”，不合题意；‎ 假设丙说的是真话，则另外三人说的都是假话，‎ 从而得到“丙比丁多”，不合题意；‎ 假设丁说的是真话，则另外三人说的都是假话，‎ 从而得到“丙比丁少”，不合题意，故选D.‎ 点睛：本题主要考查推理案例，属于难题. 推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.‎ 二、填空题 ‎13．曲线上的点到直线的最大距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：在曲线上任取一点，则点到直线的距离为 ‎，从而可得结果.‎ 详解：在曲线上任取一点，‎ 则点到直线的距离为，‎ 所以，曲线上的点到直线的最大距离为，故答案为.‎ 点睛：求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .‎ ‎14．若复数满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，取最大值时，就是圆上的点到原点的距离的最大值，结合原的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果.‎ 详解：依题意，设复数，‎ 因为，所以有，‎ 由复数的几何意义，可知对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，‎ 因为表示圆周上的点到原点的距离，‎ 所以的最大值为，所以答案为2.‎ 点睛：该题考查的是有关复数z的模的问题，利用复数的几何意义，结合题中的条件，最后将其转化为圆上的点到某个点的距离的最值问题，等于圆心到对应点的距离加半径，从而求得结果.‎ ‎15．我国古代数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为__________．‎ ‎（参考数据:）‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】分析：模拟执行程序，列出循环过程中与的数值，满足判断框的条件即可结束循环.‎ 详解：模拟执行程序，可得，‎ 不满足条件；‎ 不满足条件，‎ 满足条件，退出循环，输出的值为，,故答案为.‎ 点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎16．如图1，线段的长度为，在线段上取两个点，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：‎ 记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：‎ ‎①数列是等比赞列；‎ ‎②数列是递增数列； ‎ ‎③存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有；‎ ‎④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有.‎ 其中真命题的序号是__________． (请写出所有真命题的序号）.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】分析：求出数列是的前四项，可得到①错，②对；利用等比数列求和公式求出，利用不等式恒成立可判断③错，④对.‎ 详解：由图可知，‎ ‎，‎ 不是等比数列，①错误；‎ 是递增数列，②正确；‎ ‎ ，‎ 对于③，，要使恒成立，‎ 只需，无最小值，③错误；‎ 对于④，，要使恒成立，‎ 只需，即的最大值为，④正确，‎ 真命题是②④，故答案为②④.‎ 点睛：本题考查等比数列的求和公式，不等式恒成立问题以及归纳推理的应用，属于难题.‎ 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ 三、解答题 ‎17．已知复数，.‎ ‎（1）若为纯虚数，求实数的值；‎ ‎（2）在复平面内，若对应的点在第四象限，对应的点在第一象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 实数的取值范围为:.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意得到关于x的方程组，求解方程组可得.‎ ‎（2）对应的点在第四象限，则，对应的点在第一象限，则，据此可得的取值范围为：.‎ 详解：（1）∵为纯虚数，∴，解得；‎ ‎（2）∵对应的点在第四象限，∴，解得：，‎ ‎∵对应的点在第一象限，∴，解得：，‎ 综上，实数的取值范围为：.‎ 点睛：这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.‎ ‎18．2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕，为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到列联表.‎ ‎ ‎ ‎（1）将列联表补充完整；‎ ‎（2）判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？‎ 附：，‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为喜爱足球运动与性别有关.‎ ‎【解析】分析：（1）根据表格中数据可将列联表补充完整；（2）根据列联表中数据，利用公式可得，与临界值比较从而可得结果.‎ 详解：（1）补充列联表如下：‎ ‎（2）由列联表知 所以可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为喜爱足球运动与性别有关.‎ 点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎19．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），与交于两点.‎ ‎（1）求的直角坐标方程和的普通方程；‎ ‎（2）若成等比数列，求的值.‎ ‎【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的方程为通方程为；（2）.‎ ‎【解析】分析：第一问首先将等式两边同时乘以，之后借助于，从而将极坐标方程转化为平面直角坐标方程，对于参数方程向普通方程转化，就是消参即可；第二问将直线的参数方程代入抛物线的方程，得到关于t的一元二次方程，借助韦达定理求得两根和与两根积，利用题的条件,,成等比数列以及直线的参数方程中参数的几何意义，得到a所满足的等量关系式，从而求解.‎ 详解：（1）由，两边同乘，得 化为普通方程为 将消去参数，得直线的普通方程为 ‎（2）把代入，整理得 ‎ ，，‎ 由 ，得或，，，‎ ‎,,成等比数列，‎ 由的几何意义得，即 ‎ ，即，解得 又，‎ 点睛：该题考查的是坐标系与参数方程的有关问题，涉及的考点有极坐标方程与直角坐标方程的转换，参数方程与普通方程的转化，还有直线与曲线相交有关线段的长度借用直线的参数方程中参数的几何意义来完成，这样可以简化解题步骤，并且还容易理解，再者，该题需要保证直线与抛物线有两个交点，此时判别式大于零就显得尤为重要.‎ ‎20．某共享单车企业在城市就“一天中一辆单车的平均成本与租用单车数量之间的关系”进行了调查，并将相关数据统计如下表：‎ 根据以上数据，研究人员设计了两种不同的回归分析模型，得到两个拟合函数：‎ 模型甲：，模型乙：.‎ ‎（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：‎ ‎①完成下表（计算结果精确到0.1元）（备注：，称为相应于点的残差）；‎ ‎②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.‎ ‎（2）这家企业在4城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎并供不应求，于是该企业决定增加单车投放量.根据市场调查，市场投放量达到1万辆时，平均每辆单车一天能收入7.2元；市场投放量达到1.2万辆时，平均每辆单车一天能收入6.8元.若按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，问该企业投放量选择1万辆还是1.2万辆能获得更多利润？请说明理由.（利润收入成本）‎ ‎【答案】（1）模型甲的拟合效果更好；（2）选择投放1.2万辆能获得更多利润.‎ ‎【解析】分析：（1）根据所给回归方程，计算出残差可完成表格；②由表格中数据可得 ，，因为，故模型甲的拟合效果更好；（2）由（1）模型甲可知，每辆车的成本为（元），一天获得的总利润为元〉，由（1）模型甲可知，每辆车的成本为(元)，一天获得的总利润为(元)，从而可得结果.‎ 详解：（1）①经计算，可得下表：‎ ‎② ，，‎ 因为，故模型甲的拟合效果更好.‎ ‎（2）若投放量为1万辆，由（1）模型甲可知，每辆车的成本为（元），‎ 这样一天获得的总利润为元〉，‎ 若投放量为1.2万辆，由（1）模型甲可知，每辆车的成本为(元)，‎ 这样一天获得的总利润为(元)，‎ 因为，所以选择投放1.2万辆能获得更多利润.‎ 点睛：本题主要考查残差的概念与应用，以及利用回归模型估计总体，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，考查综合运用所学知识解决实际问题能力，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎21．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为(为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线.‎ ‎（1）求和的极坐标方程；‎ ‎（2）设点是与的—个交点(异于原点），点是与的交点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）先消参得到普通方程，再利用极坐标公式求出和的极坐标方程.(2)先利用极坐标求出|OA|、|OB|，再求出，再求函数的最大值得解.‎ 详解：（1）曲线的一般方程为， ‎ 由得，‎ 化简得的极坐标方程为； ‎ 因为的一般方程为， ‎ 极坐标方程为，即. ‎ ‎（2）设，则 ， ‎ ‎ ，‎ 由射线与相交，则不妨设，‎ 则，所以当即时，取最大值， ‎ 此时.‎ 点睛：(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生参数方程极坐标和三角基础知识的掌握能力及基本的运算推理能力.(2)求三角函数的值域时，要注意的范围，由射线与相交，则不妨设.如果不考虑的范围，解答就会出错.始终注意一个原则，函数的问题，定义域优先.‎ ‎22．已知圆有以下性质：‎ ‎①过圆上一点的圆的切线方程是.‎ ‎②若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即.‎ ‎（1）类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程 (不要求证明)；‎ ‎（2）若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于两点，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）切线方程是；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）根据类比推理可得结果；（2）设由（1）得过椭圆上点的切线的方程是，同理，又过两点的直线是唯一的，直线的方程是，，又，从而可得结果.‎ 详解：（1）过椭圆上一点的的切线方程是 ‎（2）设 由（1）得过椭圆上点的切线的方程是，‎ ‎∵直线过点，‎ ‎∴‎ 同理 又过两点的直线是唯一的，‎ ‎∴直线的方程是.‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴为定值.‎ 点睛：本题主要考查类比推理、圆锥曲线的切线，圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎