数学理卷·2018届湖南省衡阳八中高二上学期六科联赛（2016-12）

数学理卷·2018届湖南省衡阳八中高二上学期六科联赛（2016-12）

衡阳市八中2016年高二上期六科联赛试题 数 学 (理)‎ 命题人 方岭生 审题人 刘一坚 一、选择题 （本大题共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）‎ ‎1．双曲线的两条渐近线夹角是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．已知向量a＝（0,2,1），b＝（－1,1，－2），则a与b的夹角为（ ）‎ A．0° B．45° C．90° D．180°‎ ‎3．已知向量，且与互相垂直，则的值是 A. B. C. D.‎ ‎4．下列命题的逆命题为真命题的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎5．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6．已知函数f(x)=x2+2x+m(m∈R)的最小值为-1,则 =（ ）‎ A.2 B. C.6 D.7‎ ‎7．已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则，两点的最短距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．极坐标方程和参数方程为参数）所表示的图形分别是（ ）‎ A．圆与直线 B.圆与椭圆 C.直线与圆 D.直线与椭圆 ‎9．参数方程表示的曲线不经过点（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于，两点，则的值等于（ ）‎ A．5 B．‎4 C．3 D．2‎ ‎11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12．已知定义在上的函数和分别满足，，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ 二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若，，且与互相垂直，则的值是_____‎ ‎14．已知命题：“，有成立”，则为_______.‎ ‎15．函数在时取得极值，则实数_______.‎ ‎16．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则|的最小值为________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解题时必须写出必要的计算或推理过程）‎ ‎17．（10分）设实数满足，其中；实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18．（10分）在极坐标系中，已知圆的方程是，直线的方程是．‎ ‎（1）以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线与圆相交所得的弦长．‎ ‎19.（12分）如图，三棱柱ABC-A1B‎1C1中，BC⊥侧面AA‎1C1C，AC=BC=1，CC1=2， ∠CAA1= ，D、E分别为AA1、A‎1C的中点．‎ 19、 求证：A‎1C⊥平面ABC；‎ 20、 ‎（2）求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知函数的图象与直线相切于点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间．‎ ‎21.（13分）以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的四条边与共有个交点，且这个交点恰好把圆周六等分.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与相切，且与椭圆相交于两点，求的最大值.‎ ‎22．（13分）已知函数．‎ ‎（1）若是定义域上不单调的函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若在定义域上有两个极值点，证明：．‎ 衡阳市八中2016年高二上期六科联赛试题 数学（理）参考答案 ‎1．B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意可知，双曲线的渐近线方程是，其倾斜角为，故两渐近线的夹角是，故选B.‎ 考点：1.双曲线的标准方程；2.两直线的夹角.‎ ‎2．C ‎【解析】‎ 试题分析：，所以与的夹角为，故选C.‎ 考点：空间向量的运算 ‎3．D ‎【解析】‎ 试题分析：，由与互相垂直可得 考点：向量坐标运算 ‎4．B ‎【解析】‎ 试题分析：A．“若，则”的逆命题为“若，则”，错误；B．“若，则”的逆命题为“若，则”正确；C．“若，则” 的逆命题为“若，则”，如，，但；D．“若，则”的逆命题为“若，则”，如时，，但不一定成立 考点：命题真假性的判断 ‎5．D ‎【解析】‎ 试题分析：，故选D.‎ 考点：1、导数的几何意义；2、三角形的面积.‎ ‎6．B ‎【解析】‎ 试题分析：,当时， ,，.故选B．‎ 考点：求定积分.‎ ‎7．B ‎【解析】‎ 试题分析：∵点是平面内的直线上的动点，‎ ‎∴可设点由空间两点之间的距离公式，得 令 当时，的最小值为 ‎∴当时，的最小值为，即，两点的最短距离是 故选B 考点：空间两点之间的距离公式 ‎8．D ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由，为直线；‎ 而为参数），消参可得；为椭圆。 ‎ 考点：极坐标，参数方程化普通方程.‎ ‎9．A ‎【解析】‎ 试题分析：因,故应选A.‎ 考点：参数方程的理解和运用.‎ ‎10．C ‎【解析】‎ 试题分析：设,则过分别作的垂线,垂足分别为,延长 交于点,在中,,由抛物线的定义可知,则,解之得,故应选C.‎ 考点：抛物线的定义及几何性质的运用.‎ ‎11．C ‎【解析】‎ 试题分析：由椭圆方程可知三点构成的直角三角形只能以为直角，所以点到轴的距离为为通径的一半，即 考点：椭圆方程及性质 ‎12．D ‎【解析】‎ 试题分析：，所以，，，设，，由于，恒成立，所以单调递减，所以，，故有，即，因此,故选D.‎ 考点：导数的运算及利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属于中档题.解答本题首先对求导，求出，进而得到函数的解析式，对于的应用，应考虑构造函数，求导即可得到其单调性，从而有，整理即可得到结论，考查考生的发散思维能力和创新能力.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，解得：.‎ 考点：空间向量的运算 ‎14．成立 ‎【解析】‎ 试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以原命题的否定为“成立”.‎ 考点:全称命题及其否定．‎ ‎15．.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，求出函数的导函数，解可得到的值.‎ 考点：导数的应用.‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由椭圆方程可知，两焦点坐标，由椭圆定义可得 ‎，结合三角形三边关系可知，所以，最大值为 考点：椭圆方程及定义的应用 ‎17．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）若,求出成立的等价,利用∧为真,即可求实数的取值范围；(2)根据是的充分不必要条件,建立条件关系即可求实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ 解：（1）当时，若命题为真，则；若命题为真，则， ‎ ‎∵∧为真，即都为真，‎ ‎∴，即实数的取值范围是.‎ ‎（2）若q是p的充分不必要条件，则，所以，实数的取值范围是.‎ 考点：集合的运算，充要条件.‎ ‎18．（1），；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据转化即可；（2）首先求得圆心到直线的距离，然后利用弦长公式求解即可．‎ 试题解析：（1）由，得，则，‎ 故圆的极坐标方程化为直角坐标方程为；‎ 由，得，即，则，‎ 故直线的极坐标方程化为直角坐标方程为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）因为圆心到直线的距离为，‎ 所以直线与圆相交所得的弦长．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、点到直线的距离；3、弦长公式．‎ ‎19．（1）通过余弦定理来证明AC⊥A‎1C，以及结合题目中的BC⊥A‎1C来得到证明。‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：（1）证明：∵BC⊥侧面AA‎1C1C，A‎1C在面AA‎1C1C内，∴BC⊥A‎1C． 2分 在△AA‎1C中，AC=1，AA1=C‎1C=2，∠CAA1=，‎ 由余弦定理得A‎1C2=AC2+‎-2AC•AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos=3， ‎ ‎∴A‎1C= ∴AC2+A‎1C2=AA12 ∴AC⊥A‎1C 5分 ‎∴A‎1C⊥平面ABC． 6分 ‎（2）由（Ⅰ）知，CA，CA1，CB两两垂直 ‎∴如图，以C为空间坐标系的原点，分别以CA，CA1，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(0，，0) ‎ 由此可得D(，，0)，E(0，，0)，=（，，-1），=(0，，-1)．‎ 设平面BDE的法向量为=(x，y，z)，则有令z=1，则x=0，y=‎ ‎∴=(0，，1) 9分 ‎∵A‎1C⊥平面ABC ∴=(0，，0)是平面ABC的一个法向量 10分 ‎∴ ‎ ‎∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为． 12分 考点：二面角的平面角以及线面垂直 点评：主要是考查了空间中线面位置关系，以及二面角的平面角的求解的综合运用，属于中档题。‎ ‎20．（1）；（2）的单调递增区间为和，单调递减区间为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可得两个等式,由此建立关于的二元一次方程组,可解得的值；（2）由导数与单调性的关系可知的解为函数的单调递增区间,的解为函数的单调递减区间.‎ 试题解析：（1）‎ 由题意知 解得 ‎（2）由（1）知，‎ 所以，解得 ‎，解得 的单调递增区间为和，单调递减区间为．‎ 考点：导数的几何意义；导数与函数的单调性.‎ ‎【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义;导数与函数的单调性.求函数的切线方程的注意事项（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．（2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．曲线的切线方程是导数的几何意义的应用.‎ ‎21．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意得，，从而得到的值，由此能求出椭圆方程；（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程可求出，当当直线的斜率存在时，可设直线的方程，利用根的判别式，韦达定理，弦长公式，结合已知条件能求出的最大值.‎ 试题解析：（1）如图，依题意，, 因为,所以, 得，故椭圆的方程为 .‎ ‎ ‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，此时.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为, 因为直线与相切，所以，即, 由消去，整理得,‎ ‎, 由，得，设，则, ‎ 所以，所以 ‎, 当且仅当, 即时，取得最大值.综上所述，最大值为.‎ 考点：1.椭圆的简单性质；2.直线与椭圆的综合；3.基本不等式.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查的是圆的方程，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想，函数与方程思想，分类与整合思想，属于中档题，解决本题的最重要的思想就是数形结合思想，通过图形分析出其满足的几何关系，再通过韦达定理进行计算，即可求解，因此正确的利用圆的性质，椭圆的性质是解决问题的关键.‎ ‎22．（1）；（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1），令，当时，在单调递减，当时，，方程有两个不相等的正根，不妨设，则当时，，当时，，这时不是单调函数．综上，的取值范围是．（2）由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值，且， 令，则当时，，在单调递减，所以，即． ‎ 试题解析：解：（1）． ‎ 令，当时，在单调递减． ‎ 当时，，方程有两个不相等的正根，‎ 不妨设，则当时，，当时，，这时不是单调函数．‎ 综上，的取值范围是 ‎ ‎（2）由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值，‎ 且，‎ ‎，‎ ‎． ‎ 令，‎ 则当时，，在单调递减，‎ 所以，即 考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的极值.‎