2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第一章 2 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且 p
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．( )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(5)q不是p的必要条件时，“p q”成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
[教材衍化]
1．(选修2－1P12A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________，
是________命题(填“真”或“假”)
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
答案：若x≤y，则x2≤y2 假
2．(选修2－1P12A组T3改编)设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件．
解析：2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
[易错纠偏]
(1)命题的条件与结论不明确；
(2)对充分必要条件判断错误．
1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．
答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
2．条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；
(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．
解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，
(1)因为p是q的充分不必要条件，
所以AB，所以a≥2；
(2)因为p是q的必要不充分条件，
所以BA，所以a<2.
答案：(1)a≥2 (2)a<2
四种命题的相互关系及真假判断
(1)(2020·浙江重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
(2)(2020·温州模拟)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( )
A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0
B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
【解析】 (1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题，故选B.
(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.
【答案】 (1)B (2)D
(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．
(2)判断命题真假的2种方法
①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是( )
A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤b
C．若a≤b，则a2>b2 D．若a≤b，则a2≤b2
解析：选B.根据命题的否命题若“﹁p，则﹁q”知选B.
2．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题
B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题
解析：选B.对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则≤1”，易知为假命题，故选B.
充分条件、必要条件的判断(高频考点)
充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．主要命题角度有：
(1)判断指定条件与结论之间的关系；
(2)与命题的真假性相交汇命题．
角度一 判断指定条件与结论之间的关系
(1)(2019·高考浙江卷)设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)通解：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立，所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.
优解：在同一坐标系内作出函数b＝4－a，b＝的图象，如图，则不等式a＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b＝及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．故选A.
(2)若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.
【答案】 (1)A (2)A
角度二 与命题的真假性相交汇命题
(2020·杭州模拟)下列有关命题的说法正确的是( )
A．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
B．p：A∩B＝A；q：AB，则p是q的充分不必要条件
C．已知数列{an}，若p：对于任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上；q：{an}为等差数列，则p是q的充要条件
D．“x<0”是“ln(1＋x)<0”的必要不充分条件
【解析】 选项A：当x＝－1时，x2－5x－6＝0，所以x＝－1是x2－5x－6＝0的充分条件，故A错．
选项B：因为A∩B＝AAB(如A＝B)，
而AB⇒A∩B＝A，从而p q，q⇒p，
所以p是q的必要不充分条件，故B错．
选项C：因为Pn(n，an)在直线y＝2x＋1上．
所以an＝2n＋1(n∈N*)，
则an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，
又由n的任意性可知数列{an}是公差为2的等差数列，即p⇒q.
但反之则不成立，如：令an＝n，则{an}为等差数列，但点(n，n)不在直线y＝2x＋1上，从而q p.
从而可知p是q的充分不必要条件，故C错．
选项D：利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln(x＋1)<0⇔0
”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D.根据题意，若“3a<3b”，则有a”不一定成立，如a＝－3，b＝1；若“>”，则有|a|<|b|，“3a<3b”不一定成立，如a＝1，b＝－3，故“3a<3b”是“>”的既不充分也不必要条件．
2．(2020·“超级全能生”高考浙江省联考)已知函数f(x)＝sin x，x∈[0，2π)，则“f(x)≥0”是“f(x2)≥0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由f(x)≥0⇒x∈[0，π]，由f(x2)≥0⇒x2∈[0，π]⇒x∈[0，]，
因为[0，]⊆[0，π]，由集合性质可知为必要不充分条件．
充分条件、必要条件的应用
(1)已知p：|x＋1|＞2，q：x＞a，且﹁p是﹁q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a≤－3
C．a≥－1 D．a≥1
(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．
【解析】 (1)由|x＋1|＞2，解得x＞1或x＜－3，
因为﹁p是﹁q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，
从而可得(a，＋∞)是(－∞，－3)∪(1，＋∞)的真子集，
所以a≥1，故选D.
(2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3]．
【答案】 (1)D (2)[0，3]
(变问法)本例(2)条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，
所以P⇒S且S⇒/ P.
所以[－2，10][1－m，1＋m]．
所以或
所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
利用充要条件求参数应关注2点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
[提醒] 含有参数的问题，要注意分类讨论．
(2020·金华一模)已知命题p：实数m满足m2＋12a2<7am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．
解析：由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a0.
由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
可得2－m>m－1>0，解得10”是“ab>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D.特值法：当a＝10，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0 ab＞0；当a＝－2，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，所以ab＞0 a＋b＞0.故“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．
4．(2020·金华市东阳二中高三调研)若“0b”，条件q：“2a>2b－1”，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由条件p：“a>b”，再根据函数y＝2x是增函数，可得2a>2b，所以2a>2b－1，故条件q：“2a>2b－1”成立，故充分性成立．
但由条件q：“2a>2b－1”成立，不能推出条件p：“a>b”成立，例如由20>20－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．故p是q的充分不必要条件，故选A.
6．已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是( )
A．|a|＋|b|≥4
B．|a|≥4
C．|a|≥2且|b|≥2
D．b<－4
解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5.
7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2Rsin A＞2Rsin B，即a＞b；若a＞b，则＞，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C.
9．设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“x＝2”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1)，即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.
10．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：x＝1，q：x2＝x
B．p：|a|>|b|，q：a2>b2
C．p：x>a2＋b2，q：x>2ab
D．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
解析：选D.A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1⇒/ x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|>|b|，根据不等式的性质可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但是ad，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.
11．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．
解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；
逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2.
答案：2
12．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
解析：已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案：m＝－2
13已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，
因为β：|x－1|<1，所以00不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
16．已知p：≤2，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为________．
解析：法一：由≤2，得－2≤x≤10，
所以綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，
设A＝{x|x>10或x<－2}．
1－m≤x≤1＋m(m>0)，
所以綈q对应的集合为{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}，
设B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}．
因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件，所以BA，
所以且不能同时取得等号．
解得m≥9，所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．
法二：因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件，
所以q是p的必要而不充分条件．
即p是q的充分而不必要条件，
因为q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
又由≤2，得－2≤x≤10，
所以p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，
设N＝{x|－2≤x≤10}．
由p是q的充分而不必要条件知NM，
所以且不能同时取等号，解得m≥9.
所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．
答案：[9，＋∞)
17．给出下列命题：
①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；
②“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件；
③“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0”．
其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)
解析：①因为“a＝3”可以推出“A⊆B”，但“A⊆B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；②“x＜0”不能推出“ln(x＋1)＜0”，但“ln(x＋1)＜0”可以推出“x＜0”，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，若其最小正周期为π，则＝π⇒a＝±1，因此“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”，但由“a·b＜0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a·b＜0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.
答案：①②
[综合题组练]
1．设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为＜⇔－＜θ－＜⇔0＜θ＜，
sin θ＜⇔θ∈，k∈Z，
，k∈Z，
所以“＜”是“sin θ＜”的充分而不必要条件．
2．已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2.
答案：m＞2
3．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解：(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)
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