安徽省合肥市新城高升学校2019-2020高二下学期开学考试数学试卷（理）
数学试卷（理）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算:=()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A
2.在的展开式中常数项为-220,则a的值为()
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】B
【解析】Tr+1=··ar,
∵Tr+1为常数项,∴-r=0,
∴r=3.∴·a3=-220,∴a=-1.
故选：B
3.曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()
A.4e2 B.2e2 C.e2 D.e2
【答案】C
【解析】由导数的几何意义,切线的斜率k=y'|x=4=|x=4=e2,
所以切线方程为y-e2=e2(x-4),
令x=0,得y=-e2;令y=0,得x=2.
所以切线与坐标轴所围三角形的面积为S=×2e2=e2.
故选：C
4.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】复数+(1+i)2=+1+2i-3=-i,
因为复数-i对应复平面内的点,故在第二象限.
故选：B
5．如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项,则这个数列的一个通项公式为()
A.an=3n-1 B.an=3n C.an=3n-2n D.an=3n-1+2n-3
【答案】A
【解析】∵a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,∴猜想an=3n-1.
故选：A
6.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是()
A. B. C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪
【答案】A
【解析】f(x)=-x3+2x2,则f'(x)=-3x2+4x,
令f'(x)>0,得-3x2+4x>0,解得0
0,
故当x=-1时,f(x)取极小值.
故选：C
8.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有()
A.45种 B.56种 C.90种 D.120种
【答案】A
【解析】用间接法,不同的选法种数为=45.
故选：A
9.如图,阴影部分的面积为()
A.9 B. C. D.
【答案】B
【解析】由求得两曲线交点为A(-2,-4),B(1,-1).
结合图形可知阴影部分的面积为
S=[-x2-(x-2)]dx=(-x2-x+2)dx=.
故选：B
10.函数f(x)=x3-2x2在区间[-1,5]上()
A.有最大值0,无最小值 B.有最大值0,最小值-
C.有最小值-,无最大值 D.既无最大值也无最小值
【答案】B
【解析】f'(x)=x2-4x=x(x-4).
令f'(x)=0,得x=0或x=4,
∴f(0)=0,f(4)=-,f(-1)=-,f(5)=-,
∴f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(4)=-.
故选：B
11.将A,B,C,D,E这5个字母排成一列,要求A,B,C在排列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻).这样的排列有().
A.12种 B.20种 C.40种 D.60种
【答案】C
【解析】5个不同元素中部分元素A,B,C的排列顺序已定,这种问题有以下两种常用的解法.
方法一(整体法):5个元素无约束条件的全排列为种,由于字母A,B,C排列顺序为“A,B,C”或“C,B,A”,因此,在上述的全排列中恰好符合“A,B,C”或“C,B,A”这一排列方式的排列有×2=40种.故选C.
方法二(插空法):若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”,这时形成4个空当,分两类将字母D,E插入.
第1类,若字母D,E相邻,则有·种排法;第2类,若字母D,E不相邻,则有种排法.
所以有·=20种不同的排列方法.
同理,若字母A,B,C的排列顺序为“C,B,A”,也有20种不同的排列方法.
因此,满足条件的排列有20+20=40种.故选C.
故选：C
12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）
【答案】A
【解析】设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），
则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵exf（x）＞ex+3，∴g（x）＞3，
又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0
故选：A．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设x是纯虚数,y是实数,且2x-1+i=y-(3-y)i,则x+y等于.
【答案】-1-i
【解析】设x=ai(a∈R),由题意得,2ai-1+i=y-(3-y)i,
即-1+(2a+1)i=y-(3-y)i,
∴解得a=-,y=-1.
∴x+y=-1-i.
14.若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为f(x)的定义域为(0,+∞),
又f'(x)=4x-,由f'(x)=0,得x=.
据题意,解得1≤k<.
15.（1+x﹣x2）10展开式中x3的系数为
【答案】0
【解析】（1+x﹣x2）10=[1+（x﹣x2）]10 的展开式的通项公式为Tr+1=（x﹣x2）r．
对于（x﹣x2）r，通项公式为Tm+1=•xr﹣m．（﹣x2）m，
令r+m=3，根据0≤m≤r，r、m为自然数，求得，或．
∴（1+x﹣x2）10展开式中x3项的系数为=﹣90+120=30．
16.已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=
【答案】5
【解析】由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，
即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，
∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3ax2+2bx+c，
由f′（x）=3ax2+2bx+c=0，得2+（﹣1）==1，﹣1×2==﹣2，
即c=﹣6a，2b=﹣3a，
即f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），
则===﹣5，
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知为虚数单位，复数 ，，，且 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）求 ．
【解答】：（1） 由已知 ，得 ，
即 ．
因为 ，所以
解得
（2） 由（）知 ，，
则 ．
18．（12分）
用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝n2，n∈N*.
【解答】：证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，
∴左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k时，等式成立，
即1＋2＋3＋…＋k＋(k－1)＋…＋2＋1＝k2
那么当n＝k＋1时，
1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋k＋(k－1)＋…＋2＋1
＝k2＋(k＋1)＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2
即当n＝k＋1时，等式也成立．
综上(1)(2)知，对任意n∈N*都有等式成立．
19．（12分）
已知，是实数，和是函数的两个极值点．
（1）求和的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点．
【解答】：（1）由题设知，
且，，
解得，．
（2）由（1）知，
∵，
∴的根为，，
于是函数的极值点只可能是或，
当时，；当时，，
故是的极值点．
当或时，，
故不是的极值点．
所以的极值点为．
20．（12分）
已知的展开式中前三项的系数成等差数列.
(1)求n的值;
(2)求展开式中系数最大的项.
【解答】：(1)由题意,得=2×,
即n2-9n+8=0,解得n=8,n=1(舍去).
(2)设第r+1项的系数最大,则
即解得r=2或r=3.
所以系数最大的项为T3=7x5,T4=7.
21．（12分）
已知函数f（x）=（ax2﹣x）lnx﹣ax2+bx（a∈R）．
（1）当a=0时，曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线斜率为﹣1（e=2.718…），求函数f（x）的极值；
（2）当b=1时，讨论函数f（x）的单调性
【解答】：（ 1）当a=0时，f（x）=bx﹣xlnx，f′（x）=b﹣1﹣lnx，
∵f′（e）=﹣1，∴f′（e）=b﹣1﹣lne=b﹣2=﹣1，解得b=1，
∴f（x）=x﹣xlnx，f′（x）=﹣lnx，
由f′（x）＞0得，0＜x＜1，此时函数递增，由f′（x）＜0，得x＞1，此时函数递减，即当x=1时，函数f（x）取得极大值，此时极大值为f（1）=1．
（ 2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）f′（x）=（ax2﹣x）+（2ax﹣1）lnx﹣ax+1=（2ax﹣1）lnx，
①当a≤0时，2ax﹣1＜0，在（0，1）上f′（x）＞0，在（1，+∞）上f′（x）＜0,∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上递减；
②当0＜a＜时，在（0，1）和（，+∞）上f′（x）＞0，在（1，）上f′（x）＜0,∴f（x）在
（0，1）和（，+∞）上单调递增，在（1，）上递减；
③当a=时，在（0，+∞）上f′（x）≥0且仅有f′（1）=0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
④当a＞时，在（0，）和（1，+∞）上f′（x）＞0，在（，1）上f′（x）＜0
∴f（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递增，在（，1）上递减．
22．（12分）
设函数.
（1）求的单调区间和极值；
（2）若关于的方程有3个不同实根，求实数的取值范围.
（3）已知当恒成立，求实数的取值范围.
【解答】：（1）
∴当，
∴的单调递增区间是，单调递减区间是.
当；当.
（2）由（1）可知图象的大致形状及走向（图略），
∴当的图象有3个不同交点，
即当时方程有三解.
（3）
∵上恒成立.
令，由二次函数的性质，上是增函数，
∴∴所求的取值范围是
