四川省棠湖中学2020届高三下学期第三学月考试数学（文）试题

四川省棠湖中学2020届高三下学期第三学月考试数学（文）试题

‎2020年春四川省棠湖中学高三第三学月考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，集合，则等于 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．复数（为虚数单位），则等于 ‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎3．函数的图象大致为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．设，，则的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在平行四边形中，若则 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数为奇函数，且，则 ‎ A．2 B．‎5 ‎C．1 D．3‎ ‎8．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是 A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数满足：当时，，且对任意，都有，则 ‎ A．0 B．‎1 ‎C．-1 D．‎ ‎10．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数在上单调递增，则的取值范围 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为________.‎ ‎14．记等差数列和的前项和分别为和，若，则______.‎ ‎15．函数的值域为_________．‎ ‎16．等腰直角三角形内有一点P，，，，，则面积为______.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）23．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．‎ ‎（I）求出易倒伏玉米茎高的中位数；（II）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：‎ 抗倒伏 易倒伏 矮茎 高茎 ‎（III）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？‎ 附：，‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎18．（12分）在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）若函数图象的一条对称轴方程为且，求的值．‎ ‎19．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱，是的中点．‎ ‎（I）证明：平面；‎ ‎（II）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱 锥的体积．‎ ‎20．（12分）设函数.‎ ‎（I）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；‎ ‎（II）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与 重合）.设的外心为，求证为定值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（I）求和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（I）若，求实数的取值范围；‎ ‎（II）记中的的最大值为，若正实数满足，求的最小值.‎ ‎2020年春四川省棠湖中学高三第三学月考试 文科数学参考答案 ‎1．B 2．D 3．A 4．A 5．D 6．C 7．B 8．D 9．C 10．B 11．B 12．D ‎13．3 14． 15． 16．‎ ‎17解：（1）．‎ ‎（2）‎ 抗倒伏 易倒伏 矮茎 ‎15‎ ‎4‎ 高茎 ‎10‎ ‎16‎ ‎（3）由于，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．‎ ‎18．（1）由题意，根据正弦定理，可得，‎ 又由，所以 ，‎ 可得，即，‎ 又因为，则，可得，∵，∴．‎ ‎（2）由（1）可得 ‎，所以函数的图象的一条对称轴方程为，‎ ‎∴，得，即，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴．‎ ‎19.（1）证明：连接与交于，连接，‎ 因为是菱形，所以为的中点，‎ 又因为为的中点，‎ 所以，因为平面平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）解：取中点，连接，‎ 因为四边形是菱形，，且，‎ 所以，又，‎ 所以平面，又平面，‎ 所以．‎ 同理可证：，又，‎ 所以平面，所以平面平面，‎ 又平面平面，所以点到直线的距离即为点到平面的距离，‎ 过作直线的垂线段，在所有垂线段中长度最大为，‎ 因为为的中点，故点到平面的最大距离为1，‎ 此时，为的中点，即，所以，‎ 所以．‎ ‎20．解：（1）方程，即为令，‎ 则在恒成立，故在上单调递减.‎ ‎，当时，的取值范围是 ‎（2）依题意，当时，恒成立.‎ 令，‎ 则 令，则当时，，函数在上单调递增，‎ ‎，，存在唯一的零点，‎ 且当时，，当时，，‎ 则当时，，当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，从而.‎ 由得，两边取对数得，‎ ‎，，，即实数的取值范围是 ‎21．（1）由题意知：，∴，∴.设的内切圆半径为，‎ 则，‎ 故当面积最大时，最大，即点位于椭圆短轴顶点时，‎ 所以，把代入，解得：，所以椭圆方程为.‎ ‎（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，‎ 代入椭圆方程得.‎ 设，则，‎ 所以的中点坐标为，‎ 所以.‎ 因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，‎ 的垂直平分线方程为，‎ 令，得，即，所以 所以，所以为定值，定值为4.‎ ‎22．（1）的直角坐标方程为：，‎ 将代入的极坐标方程得的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）设，则点到直线的距离，‎ 当时，距离最小，最小值为.‎ ‎23．解：（1）由条件知，则函数图象如下所示：‎ 又，或或解得 ‎（2）由（1）知，，‎ 于是 ‎，‎ 当且仅当时取等号，‎ 故的最小值为.‎