数学理(B)卷·2018届河北省唐山市五校高三4月联考(2018

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数学理(B)卷·2018届河北省唐山市五校高三4月联考(2018

‎2018年唐山市五校高三联考 理科数学试卷 B卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知,,则 A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数满足,则的虚部是 ‎ A.-1 B. 1 C.-2 D.2 ‎ ‎3.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最大边长为 A. B. C. D. ‎ ‎4.设,则的大小顺序是 A. B. C. D.‎ ‎5.如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成,那么图形中的向量的数量积 A.8 B. C. D.7‎ ‎6.执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为 A. B. C. D. ‎ ‎7. 若,则 A. B.1 C. D.1或 ‎8.若满足则下列不等式恒成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎9.函数 ()的部分图象如图所示,则=‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎10.如图,是抛物线()的焦点,直线过点且与抛物线及其准线交于 ‎,, 三点,若,,则抛物线的标准方程是 A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎11.‎ A.2个 B.1个 C. 0个 D. 3个 ‎12. 已知四面体ABCD的四个顶点都在半径为3的球面上,AB是球的直径,且ABCD,BC=3,CD=2,则四面体ABCD的体积为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 已知随机变量,若,则 .‎ ‎14. 若 (其中),则的展开式中的系数为 .‎ ‎15. 已知点P(3,0),在⊙O:上随机取一点,则的概率为 .‎ ‎16. 已知不等式 恒成立,则的最大值为_______.‎ 三、解答题:共70分. ‎ ‎17.(12分)‎ 数列的前n项和为若,点在直线上.‎ ‎(Ⅰ)求证:数列是等差数列;‎ ‎ (Ⅱ)若数列满足,求数列的前n项和.‎ ‎18.(12分)‎ 某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用 (单位:万元)和产品营业额 (单位:万元)的统计折线图.‎ ‎(Ⅰ)根据折线图可以判断,可用线性回归模型拟合宣传费用与产品营业额的关系,请用相关系数加以说明;‎ ‎(Ⅱ)建立产品营业额关于宣传费用的归方程;‎ ‎(Ⅲ)若某段时间内产品利润与宣传费和营业额的关系为 应投入宣传费多少万元才能使利润最大,并求最大利润. ‎ 参考数据:,,,,‎ 参考公式:相关系数,,‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ‎(计算结果保留两位小数)‎ ‎19.(12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若,分别为,的中点,平面,‎ 求直线与平面所成角的大小.‎ ‎20.(12分)‎ 已知点F(1,0),圆E:,点P是圆E上任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.‎ ‎(Ⅰ)求动点Q的轨迹Γ的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与圆O:相切,并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、B.当=,且满足时,求△AOB面积S的取值范围.‎ ‎21.(12分)‎ 函数,‎ ‎(Ⅰ)求函数在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若时,有成立,求的取值范围.‎ 选考题:共10分.请考生在第(22),(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),以该直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设点,直线与曲线相交于,两点,,求实数的值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知为正数,函数 ‎(Ⅰ)求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若的最小值为,且,求证:‎ ‎2018年唐山市五校高三联考 理科数学试卷答案 一.选择题(每题5分,共60分)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎(B)‎ A B B D C C B D A A A B 二、填空题:(每小题5分,共20分.)‎ ‎13. 0.8 14.60 15. 16. ‎ 三、解答题: ‎ ‎17.(12分)数列的前n项和为若,点在直线上.‎ ‎([来]I)求证:数列是等差数列;‎ ‎(II)若数列满足,求数列的前n项和.‎ 解:(I)上,‎ 同除以 ……2分 数列是以3为首项,1为公差的等差数列. ……4分 ‎ (II)由(I)可知, ‎ 当n=1时,a1=3,当 ‎ 经检验,当n=1时也成立, ……6分 ‎ ……8分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……10分 即 ……12分 ‎18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形, ‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若,分别为,的中点,平面,求点B到平面的距离.‎ 解:(Ⅰ)连接,交于点,‎ ‎∵底面是正方形,∴,且为的中点,‎ 又∵,,∴平面---------2分 由于平面,故,又∵,故;…………4分 ‎(Ⅱ)设的中点为,连接,,//,‎ ‎∴为平行四边形,,‎ ‎∵平面,∴平面,‎ ‎∴,的中点为,‎ ‎∴, ……6分 由平面,又可得,‎ 又∵,,∴平面,‎ ‎∴,又∵,∴平面, ……8分 ‎ 由题意,,,两两垂直,以为坐标原点,‎ 向量,, 的方向为,,轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, ‎ 则,,,,, ‎ ‎,, ……10分 而为平面的一个法向量,‎ 设直线与平面所成角为,,‎ ‎∴直线与平面所成角为. ……12分 ‎19.(12分)‎ 某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用 (单位:万元)和产品营业额 (单位:万元)的统计折线图. ‎ ‎(Ⅰ)根据折线图可以判断,可用线性回归模型拟合宣传费用与产品营业额的关系,请用相关系数加以说明;‎ ‎(Ⅱ)建立产品营业额关于宣传费用的归方程;‎ ‎(Ⅲ)若某段时间内产品利润与宣传费和营业额的关系为,应投入宣传费多少万元才能使利润最大,并求最大利润. ‎ 参考数据:,,,,‎ 参考公式:相关系数,,‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ‎.(计算结果保留两位小数)‎ ‎(Ⅰ)由折线图中数据和参考数据得:,,‎ 因为与的相关系数近似为0.99,说明与的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合与的关系. ……4分 ‎(Ⅱ),3, ‎ 所以关于的回归方程为. ……8分 ‎(Ⅲ)由,可得时,.‎ 所以投入宣传费3万元时,可获得最大利润55.4万元. ……12分 ‎20.(12分)‎ 已知点F(1,0),圆E:,点P是圆E上任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.‎ ‎(Ⅰ)求动点Q的轨迹Γ的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与圆O:相切,并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、B.当=,且满足时,求△AOB面积S的取值范围.‎ ‎(Ⅰ)连接QF,∵|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=(|EF|=2),‎ ‎∴点的轨迹是以E(-1,0) 、F(1,0)为焦点,长轴长的椭圆,‎ 即动点Q的轨迹Γ的方程为; ……4分 ‎(Ⅱ)依题结合图形知的斜率不可能为零,所以设直线的方程为().‎ ‎∵直线即与圆O:相切,‎ ‎∴得. ……5分 又∵点A、B的坐标(,)、(,)满足:‎ 消去整理得,‎ 由韦达定理得,.‎ 其判别式, ……7分 ‎∵==‎ ‎∈[,].……9分 ‎. ……10分 ‎∵,且∈[,].‎ ‎∴∈[,]. ……12分 ‎21.(12分)‎ 函数,‎ ‎(Ⅰ)求函数在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若时,有成立,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ) ∴‎ 又所以在点处在切线方程为 ……4分 ‎ (Ⅱ)由于函数定义域为 所以 ……6分 令 则,可得当时,,当时,‎ 所以 ……8分 令,则,‎ 可得当时,,当时,‎ 所以 ……10分 因此,由得, ……12分 ‎ ‎ 选考题:共10分.请考生在第(22),(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),以该直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设点,直线与曲线相交于,两点,,求实数的值.‎ 解:(1), ‎ 故曲线的普通方程为. ……2分 直线的直角坐标方程为.……4分 ‎(2)直线的参数方程可以写为(为参数). ……5分 设,两点对应的参数分别为,,‎ 将直线的参数方程代入曲线的普通方程,‎ 可以得到, ……7分 所以 ……9分 或,‎ 解得或或. ……10分 ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知为正数,函数 ‎(Ⅰ)求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若的最小值为,且,求证:‎ 解析:(Ⅰ)‎ 等价于或或,‎ 解得或或 ……3分 所以不等式的解集为. ……5分 ‎(Ⅱ)因为,所以,即.‎ 法1:∵,,‎ ‎∴ ……7分 ‎∴,……9分 ‎∴.当且仅当时等号成立 ……10分 法2:由柯西不等式得:‎ ‎, ……7分 ‎∴ ……9分 ‎∴,当且仅当时等号成立……10分
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