专题24+数列的综合应用-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．
考向一 等差、等比数列的综合应用
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系，
（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；
（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．
典例1 已知等差数列满足=2，前3项和=.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足=，=，求的前n项和.
（2）由（1）得.
设的公比为q，则，从而.
故的前n项和.
典例2 已知等比数列的公比为．
（1）若，求数列的前项和；
（2）证明：对任意，成等差数列．
1．已知等差数列的前项和为，且，在等比数列中，.
（1）求及；
（2）设数列的前项和为，求.
考向二 数列与函数、不等式等的综合应用
1．数列可看做是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．
解决数列与函数综合问题的注意点：
（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．
（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．
（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．
2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；
（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．
在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．
典例3 已知数列{an}满足a1+a2+a3+⋯+an-1+an=n-an(n∈N*)．
（1）求证：数列{an-1}是等比数列;
（2）若n(1-an)≤t(n∈N*)恒成立,求实数的取值范围．
又因为a1=12,所以a1-1=-12，
故数列{an-1}是以-12为首项, 12为公比的等比数列.
（2）由（1）知an-1=-12n，所以n(1-an)=n2n，
令f(n)=n2n，则f(n+1)-f(n)=n+12n+1-n2n=-n+12n+1，
所以当n≥2时,f(n+1)-f(n)<0,故y=f(n)为减函数.
而f(1)=f(2)=12，因为n(1-an)≤t恒成立, 所以t≥12.
所以实数的取值范围为[12,+∞)．
典例4 已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)⋅f(y)且f(1)=12.
（1）当时，求f(n)的表达式；
（2）设an=n⋅f(n)，n∈N*，求证：a1+a2+a3+…+an<2；
（3）设，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值.
∴得
，
∴，即a1+a2+a3+⋯+an-1+an<2.
（3）由（1）可得bn=(9-n)12=9-n2，
∴数列{bn}是一个首项是4，公差为-12的等差数列，
∴当n>9时，bn<0；当n<9时，bn>0；当n=9时，bn=0.
故当n=8或n=9时，Sn取得最大值，为.
2．设公差不为零的等差数列的前项的和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式．
（2）设数列，求证：数列的前项和．
考向三 等差、等比数列的实际应用
1．数列实际应用中的常见模型
①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数，是公差；
②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数，是公比；
③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．
2．解答数列实际应用题的步骤
①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；
②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到实际问题中．
在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．
典例5 某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
（1）从第几年开始获得纯利润?
（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?
故此方案获利6×16+48=144万美元,此时n=6.
②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,
当n=10时,f(n)max=128.
故此方案共获利128+16=144万美元.
比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需六年,第②种方案需要十年,故选择第①种方案.
3．某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A菜的,下星期一会有20%改选B菜;而这星期一选B菜的,下星期一会有30%改选A菜.用an,bn分别表示第n个星期一选A菜的人数和选B菜的人数.
（1）试用an-1(n∈N*且n≥2)表示an,判断数列{an-300}是否为等比数列,并说明理由;
（2）若第1个星期一选A菜的有200名学生,那么第10个星期一选A菜的大约有多少名学生?
考向四 数列中的探索性问题
对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：
（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；
（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值范围，则能得到肯定的结论，即得到存在的结果．
典例6 已知数列{an}满足a1=0，，且对任意m，n∈N*都有．
（1）求a3，a5；
（2）设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*)．
①求数列{bn}的通项公式；
②设数列的前n项和为Sn，是否存在正整数p，q，且1
成立?若存在,试确定n的值,若不存在,请说明理由.
考向五 数列的求和
求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：
（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；
（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.
（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.
常见的裂项方法有：
（4）错位相减法，若数列是等差数列，是等比数列，且公比为，求的前项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和. 在写出与的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出的表达式.
在运用错位相减法求和时需注意：
①合理选取乘数（或乘式）；
②对公比的讨论；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数.
（5）分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
典例7 已知等比数列的前项和为，且满足.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【解析】（1）由题意知，则，又，且成等比数列，则，解得.
则.
（2）由可得，
则，，
两式相减得，
则.
典例8 已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
5．已知等差数列满足；数列满足，，数列为等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
1．已知a，5，b组成公差为d的等差数列，又a，4，b组成等比数列，则公差d=
A．-3 B．3
C．-3或3 D．2或
2．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和
A． B．
C． D．
3．已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则
A．a1d>0,dS4>0 B．a1d<0,dS4<0
C．a1d>0,dS4<0 D．a1d<0,dS4>0
4．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是
A． B．
C．或 D．
5．已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前n项和，则的值为
A．2 B．-2
C．3 D．-3
6．在数列中，，当时，其前项和满足，设，数列的前项和为，则满足的最小正整数是
A．12 B．11
C．10 D．9
7．数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则________．
8．用分期付款的方式购买一件电器,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元及欠款的利息,月利率为1%,则买这件电器实际花费 元.
9．已知正项等比数列满足，，成等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
10．设等比数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的的值.
11．已知各项均不为零的数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=t(Sn-an+1)（为常数，且t≠0，t≠1）．
（1）设bn=an2+Sn·an，若数列{bn}为等比数列，求的值；
（2）在满足（1）的情形下，设cn=4an+1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．
12．已知数列{an}是公差为正数的等差数列,其前n项和为Sn,且a2·a3＝15,S4＝16.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）数列{bn}满足b1＝a1,bn＋1－bn＝1an·an+1.
①求数列{ bn}的通项公式;
②是否存在正整数m,n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
1．（2017新课标全国Ⅲ理科）等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为
A． B．
C．3 D．8
2．（2017北京理科）若等差数列和等比数列满足，，则=___________．
3．（2017天津理科）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
4．（2017山东理科）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2.
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)，…，Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.
变式拓展
1．【解析】（1）设的公差为，由题意知，∴.
∵在等比数列中，，∴的公比为，
∴，即.
（2）由（1）知，，∴.
∴①，
②，
②-①得，
故.
得，
则．
3．【解析】（1）由题意,知对n∈N*有bn=500-an,
所以当n∈N*且n≥2时,an=an-1+310(500-an-1),
所以an=an-1+150,所以an-300=(an-1-300),
所以当a1=300时,数列{an-300}不是等比数列.
当a1≠300时,数列{an-300}是以a1-300为首项,为公比的等比数列.
（2）由（1）,知当a1=200时,an-300=()n-1(a1-300),
所以an=300-,所以a10=300-≈300,
所以第10个星期一选A菜的大约有300名学生.
（2）∵数列{an}为递增数列,∴an=2n,
∴bn===(1n-1n+2),
∴Tn=(1-+-+-+⋯+1n-1n+2)=(1+-1n+1-1n+2)=-2n+32n2+6n+4.
令Tn>,则-2n+32n2+6n+4>12,整理得n2-n-4>0,
解得n>1+172或n<1-172(舍去),
又2<1+172<3,∴存在最小正整数n使得Tn>成立,此时n=3.
5．【解析】（1）由数列是等差数列且，得公差，
∴.
∵=3，=9，∴
∴数列的公比，
∴，∴.
（2）由得
.
考点冲关
1．【答案】C
【解析】由题意可得a+b=10，ab=42，联立解得，或，∴d=8-22=3，或d=2-82=-3，故选C.
2．【答案】A
【解析】由已知得，，又是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．
3．【答案】B
4．【答案】A
【解析】由题意可知，数列1,a1,a2，4成等差数列，设公差为d，
则4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+1=2，a2=1+2d=3.
∵数列1,b1,b2,b3，4成等比数列，设公比为q，
则4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.
则.故选A.
5．【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d,首项为a1，
所以a3=a1+2d,a4=a1+3d.
因为a1、a3、a4成等比数列，所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),解得a1=−4d.
所以，故选A.
6．【答案】C
数列{bn}的前n项和为
.
由Tn⩾6,得,即(n+1)(n+2)⩾27，
令，可得f(x)在[1,+∞)上单调递增，
而f(9)=−18<0,f(10)=4>0，
若，则n⩾10.
则满足Tn⩾6的最小正整数n是10.
7．【答案】
【解析】∵成等比数列，∴，令，则，即，∴，即，∴．
8．【答案】1255
∴买这件电器实际花1255元.
9．【解析】（1）设正项等比数列的公比为（），
由，得，则，
因为，所以．
又因为，，成等差数列，所以，解得，
所以数列的通项公式为 .
（2）依题意得，则
①，
②，
由②①得，
所以数列的前项和为．
10．【解析】（1）因为，，
所以当时，，则；
当时，，，所以，，则.
综上可得，数列的通项公式为或.
（2）当时，，所以，
由，得，所以；
当时，，
故数列为等差数列，所以，
由，得，所以.
综上知，或.
∵ t≠0，t≠1，∴，即.
若数列{bn}为等比数列，则有b22=b1b3，又b1=2t2，b2=t3(2t+1)，b3=t4(2t2+t+1)，
故[t3(2t+1)]2=(2t2)⋅t4(2t2+t+1)，解得t=12，
再将t=12代入bn，得bn=(12)n，由bn+1bn=12，知{bn}为等比数列，∴t=12．
（2）由t=12，知an=(12)n，∴cn=4(12)n+1，
∴，
由不等式恒成立，得恒成立，
设，则，
当n≤4时，dn+1>dn；当n>4时，dn+1<dn，而d4=116，d5=332，∴d4<d5，
∴3k≥332，∴k≥132．
12．【解析】（1）设数列{an}的公差为d,则d＞0.
由a2·a3＝15,S4＝16,得a1+da1+2d=154a1+6d=16，
即b2－b1＝(1－),
b3－b2＝(－),
…
bn－bn－1＝(12n-3－12n-1)(n≥2)，
累加得:bn－b1＝(1－12n-1)＝n-12n-1,
所以bn＝b1＋n-12n-1＝1＋n-12n-1＝3n-22n-1.
b1＝1也符合上式.
故bn＝3n-22n-1,n∈.
当n＋1＝9,即n＝8时,m＝3,符合题意.
所以存在正整数m＝3,n＝8,使得b2,bm,bn成等差数列.
直通高考
1．【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由a2，a3，a6成等比数列可得，即，整理可得，又公差不为，则，故前6项的和为.故选A.
【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
2．【答案】1
【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则
，求得，那么．
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
3．【思路分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列的首项和公差及等比数列的公比，即可写出等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求出数列的前n项和．
联立①②，解得，，由此可得．
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（2）设数列的前项和为，
由，，有，
故，
，
上述两式相减，得
，
即，
所以数列的前项和为．
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．
4．【解析】（Ⅰ）设数列的公比为，由已知.
记梯形的面积为.
由题意，
所以
…+
=…+ ①，
又…+ ②，
①-②得
=
所以
【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
