2016年四川省自贡一中、二中联考高考模拟试卷数学文

2016年四川省自贡一中、二中联考高考模拟试卷数学文

2016 年四川省自贡一中、二中联考高考模拟试卷数学文 一、选择题(共 50 分，每小题 5 分) 1.已知集合 M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则( ) A.M  N B.N=M C.M∩N={2，3} D.M∪N={1，4} 解析：∵M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}={2，3}， ∴N M，M∩N={2，3}，M∪N={1，2，3}. 答案：C. 2.为了得到函数 ()() 3ysinxxR ＝ 的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点 ( ) A.向右平移 3  个单位长度 B.向右平移 6  个单位长度 C.向左平移 3  个单位长度 D.向左平移 6  个单位长度 解析：∵由 y=sinx 到 ，只是横坐标由 x 变为 3x  ， ∴要得到函数 的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平 行移动 个单位长度. 答案：A. 3.命题“  x∈R，f(x)＞0”的否定为( ) A.  x0∈R，f(x0)＞0 B.  x0∈R，f(x0)≤0 C.  x0∈R，f(x0)≤0 D.  x0∈R，f(x0)＞0 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“  x∈R，f(x)＞0”的否定为： x0∈R， f(x0)≤0. 答案：B. 4.若 a＜b＜0，则( ) A.a2＜b2 B.ab＜b2 C. 11 22 ab           ＜ D. 2ba ab ＞ 解析：根据不等式的性质： ∵a＜b＜0，则 a2＞b2，ab＞b2， 11 22 ab           ＞ ， . 答案：D. 5.执行程序框图，如果输入的 t∈[-1，3]，则输出的 s 属于( ) A.[-3，4] B.[-5，2] C.[-4，3] D.[-2，5] 解析：由判断框中的条件为 t＜1，可得： 函数分为两段，即 t＜1 与 t≥1， 又由满足条件时函数的解析式为：s=3t； 不满足条件时，即 t≥1 时，函数的解析式为：s=4t-t2 故分段函数的解析式为： 2 31 41 s t t t t t    ， ＜ ， ， 如果输入的 t∈[-1，3]，画出此分段函数在 t∈[-1，3]时的图象， 则输出的 s 属于[-3，4]. 答案：A. 6.实数 m 是[0，6]上的随机数，则关于 x 的方程 x2-mx+4=0 有实根的概率为( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 解析：根据几何概型计算公式，首先求出方程有实根的 m 的范围，然后用符合题意的基本事 件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率. ∵方程 x2-mx+4=0 有实根， ∴判别式△=m2-16≥0， ∴m≤-4 或 m≥4 时方程有实根， ∵实数 m 是[0，6]上的随机数，区间长度为 6，[4，6]的区间长度为 2， ∴所求的概率为 1 3 2 6P . 答案：B. 7.下列命题中真命题是( ) A.若 m⊥α，m β，则α⊥β B.若 m  α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β C.若 m  α，n  α，m，n 是异面直线，那么 n 与α相交 D.若α∩β=m，n∥m，则 n∥α且 n∥β 解析：A.根据面面垂直的判定定理进行判断，若 m⊥α，m β，则α⊥β； B.根据面面平行的判定定理进行判断，若 m α，n α，m∥β，n∥β，当α与β相交时， 满足α∥β，当α与β不相交时，结论不成立； C.根据直线和平面的位置关系进行判断，若 m α，n α，m，n 是异面直线，那么 n 与α 相交，或 n∥α，故 C 错误； D.根据线面平行的性质进行判断，若α∩β=m，n∥m，则 n∥α且 n∥β错误，有可能 n α 或 n β，故 D 错误. 答案：A 8.过双曲线 22 221xy ab(a＞0，b＞0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线，该直线与双曲线的两 条渐近线的交点分别为 B、C.若 1 2ABBC ，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 解析：直线 l：y=-x+a 与渐近线 l1：bx-ay=0 交于 2 ()a abB a b a b ， ， l 与渐近线 l2：bx+ay=0 交于 2 ()aabC abab   ， ，A(a，0)， ∴ ()ab abAB a b a b  ， ， 22 2222 2( 2 )a ba bBC abab ， ， ∵ ， ∴ 2 22 ab a b a b a b   ，b=2a， ∴c2-a2=4a2， ∴ 2 2 2 5ce a，∴e= 5 . 答案：C. 9.如图：已知，在△OAB 中，点 A 是 BC 的中点，点 D 是将向量 OB 分为 2：1 的一个分点， DC 和 OA 交于点 E，则 AO 与 OE 的比值是( ) A.2 B. 5 4 C. 3 2 D. 6 5 解析：∵O，E，A 三点共线，且 A 是 BC 的中点； ∴设  2OEOAOBOC ＝ ＝ ； 又 3 2OBOD＝ ； ∴ 3 42OEODOC＝ ； ∵C，E，D 三点共线； ∴ 3 =142  ； 解得 4 5＝ ； ∴ 4 5OE OA＝ ； ∴ 5 4 AO OE ＝ . 答案：B. 10.设函数 f(x)=(x-a)2+(lnx2-2a)2，其中 x＞0，a∈R，存在 x0 使得 f(x0)≤ 4 5 成立，则实 数 a 值是( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 1 2 D.1 解析：函数 f(x)可以看作是动点 M(x，lnx2)与动点 N(a，2a)之间距离的平方， 动点 M 在函数 y=2lnx 的图象上，N 在直线 y=2x 的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由 y=2lnx 得， 2'2y x，解得 x=1， ∴曲线上点 M(1，0)到直线 y=2x 的距离最小，最小距离 2 52 5 5d  ＝ ， 则 f(x)≥ 4 5 ， 根据题意，要使 f(x0)≤ 4 5 ，则 f(x0)= 4 5 ，此时 N 恰好为垂足， 由 2 0 2 11 1 2MN aak aa  ＝ ＝ ，解得 a= 1 5 . 答案：A. 二、填空题(共 25 分，每小题 5 分) 11.若向量 a =(sinα，cosα-2sinα)， b =(1，2)，且 ∥ b ，则 tanα= . 解析：根据向量平行列出方程得出 sinα，cosα的关系，得出 tanα. ∵ ∥ ， ∴2sinα-cosα+2sinα=0，即 cosα=4sinα， ∴ 1 4 sinta n c o s  . 答案： 1 4 . 12.已知 x、y 满足 2 2 2 x y xy      ，则 z=x+2y 的最大值为 . 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分). 由 z=x+2y 得 11 22yxz ， 平移直线 11 22yxz  ， 由图象可知当直线 11 22y x z   经过点 B 时，直线 11 22y x z   的截距最大， 此时 z 最大. 由 2 2 x y    ＝ ＝ ，即 B(2，2)， 代入目标函数 z=x+2y 得 z=2×2+2=6. 答案：6. 13.已知正△ABC 的边长为 1，那么△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为 . 解析：∵正△ABC 的边长为 1， ∴正△ABC 的面积 S= 3 4 ， 设△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为 S′ 则 6 16 2 4SS   ， 答案： 6 16 . 14.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1：(x+1)2+(y-6)2=25，圆 C2：(x-17)2+(y-30)2=r2.若圆 C2 上存在一点 P，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A、B，满足 PA=2AB，则半径 r 的取值范围是 . 解析：求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径 r 的取值范围即可. 圆 C1：(x+1)2+(y-6)2=25，圆心(-1，6)；半径为：5. 圆 C2：(x-17)2+(y-30)2=r2.圆心(17，30)；半径为：r. 两圆圆心距为：    2217130630 . 如图： PA=2AB，可得 AB 的最大值为直径， 此时 C2A=20，r＞0.当半径扩大到 55 时，此时圆 C2 上只有一点到 C1 的距离为 25，而且是最 小值，半径再大，没有点满足 PA=2AB. r∈[5，55]. 答案：[5，55]. 15.在平面直角坐标系中，已知 M(-a，0)，N(a，0)，其中 a∈R，若直线 l 上有且只有一点 P，使得|PM|+|PN|=10，则称直线 l 为“黄金直线”，点 P 为“黄金点”.由此定义可判断以 下说法中正确的是 . ①当 a=7 时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当 a=5 时，坐标平面内有无数条黄金直线； ③当 a=3 时，黄金点的轨迹是个椭圆； ④当 a=0 时，坐标平面内有且只有 1 条黄金直线. 解析：①当 a=7 时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线； ②当 a=5 时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段 MN 上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数 条黄金直线，正确； ③当 a=3 时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确； ④当 a=0 时，点 M 与 N 重合为(0，0)，|PM|+|PN|=10=2|PM|，点 P 在以原点为圆心、5 为半 径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线. 答案：①②③. 三、解答题(共 75 分) 16.已知△ABC 为锐角三角形，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且 3 a=2csinA. (1)求角 C. 解析：(1)由 3 a=2csinA，利用正弦定理，结合△ABC 为锐角三角形，a 求角 C. 答案：(1)由正弦定理得 ac sinA sinC ＝ ， 将已知代入得 sinC= 3 2 . 因为△ABC 为锐角三角形，所以 0＜C＜ 2  ， 所以 C= 3  . (2)当 c=2 3 时，求：△ABC 面积的最大值. 解析：(2)当 c=2 3 时，利用余弦定理，结合基本不等式，可得 ab≤12，即可求：△ABC 面积的最大值. 答案：(2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC， 即 12=a2+b2-ab， 又 a2+b2-ab≥2ab-ab=ab 所以 ab≤12. 所以△ABC 的面积 133243SabsinCab ， 当且仅当 a=b，即△ABC 为等边三角形时，△ABC 的面积取到 3 3 . 所以△ABC 面积的最大值为3 3 . 17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a4=5，S9=54. (1)求数列{an}的通项公式与 Sn. 解析：(1)利用等差数列的通项公式即可得出. 答案：(1)依题意知 S9=9a5=54，解得 a5=6，) ∴公差 d=a5-a4=6-5=1，a1=a4-(4-1)d=2. ∴an=2+(n-1)×1=n+1， ∴   21 32122n nn nnSn  ＝ ＝ . (2)若 1 2n n b Sn  ，求数列{bn}的前 n 项和. 解析：(2)由(1)知  2 2211 23211nb nnnn nnn    ＝ ＝ ＝ ，利用“裂项求和”即可得 出. 答案：(2)由(1)知  2 2211 23211nb nnnn nnn    ＝ ＝ ＝ ， 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn， 则 12 1 1 1 1 1()2 2 3 3 4 1 1 1 22 1 2 11 1 1nn nT b b b n n n n               ＝ . 18.已知四边形 ABCD 为平行四边形，BD⊥AD，BD=AD，AB=2，四边形 ABEF 为正方形，且平面 ABEF⊥平面 ABCD. (1)求证：BD⊥平面 ADF. 解析：(1)证明 AF⊥平面 ABCD，得出 AF⊥BD，再由 BD⊥AD 即可得出 BD⊥平面 ADF. 答案：(1)正方形 ABEF 中，AF⊥AB， ∵平面 ABEF⊥平面 ABCD，又 AF  平面 ABEF， 平面 ABEF∩平面 ABCD=AB， ∴AF⊥平面 ABCD； 又∵BD 平面 ABCD， ∴AF⊥BD； 又 BD⊥AD，AF∩AD=A，AF、AD 平面 ADF， ∴BD⊥平面 ADF. (2)若 M 为 CD 中点，证明：在线段 EF 上存在点 N，使得 MN∥平面 ADF，并求出此时三棱锥 N-ADF 的体积. 解析：(2)N 为线段 EF 中点时，MN∥平面 ADF，证明时利用正方形 ABEF 与平行四边形形 ABCD 的性质，得出四边形 NFDM 为平行四边形，从而证得 MN∥DF，MN∥平面 ADF，利用等积法求 出三棱锥 N-ADF 的条件即可. 答案：(2)当 N 为线段 EF 中点时，MN∥平面 ADF； 证明如下：正方形 ABEF 中，NF∥ 1 2 BA 且 NF= BA， 平行四边形形 ABCD 中，MD∥ BA 且 MD= BA. ∴NF∥MD 且 NF=MD， ∴四边形 NFDM 为平行四边形， ∴MN∥DF； 又 DF 平面 ADF，MN  平面 ADF， ∴MN∥平面 ADF，过 D 作 DH⊥AB 于 H， ∵平面 ABEF⊥平面 ABCD， 又 DH 平面 ABCD，平面 ABEF∩平面 ABCD=AB， ∴DH⊥平面 ABEF； 在 Rt△ABD 中，AB=2，BD=AD， ∴DH=1， ∴ 1111 3 1 12323ANFN ADFD ANFVVDH S     三棱锥 三棱锥 . 19.某城市 100 户居民的月平均用电量(单位：度)，以 [160，180)，[180，200)，[200，220)， [220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中 x 的值. 解析：(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1，解 方程可得. 答案：(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1， 解方程可得 x=0.0075， ∴直方图中 x 的值为 0.0075. (2)求月平均用电量的平均数. 解析：(2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240)内，设中 位数为 a，解方程(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5 可得. 答案：(2)月平均用电量的平均数为 x ＝(170×0.002+190×0.0095+210×0.011+230× 0.0125+250×0.0075+270×0.005+290×0.0025)×20=225.6 (3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中， 用分层抽样的方法抽取 11 户居民， ①求月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？ ②如果月平均用电量在[220，240)的用户中有 2 个困难户，从月平均用电量在[220，240) 的用户中任取 2 户，则至少有一个困难户的概率是多少？ 解析：(3)①可得各段的用户分别为 25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数； ②一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可. 答案：(3)月平均用电量为[220，240)的用户有 0.0125×20×100=25 户， 月平均用电量为[240，260)的用户有 0.0075×20×100=15 户， 月平均用电量为[260，280)的用户有 0.005×20×100=10 户， 月平均用电量为[280，300]的用户有 0.0025×20×100=5 户， 抽取比例 111 25151055  ＝ ， 所以月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取 1255 5 ＝ 户. 记这 5 户中 2 个困难户为 D，E，另外 3 户为 A，B，C， 从这 5 户中一次任意取出 2 户的所有可能结果为： AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共 10 种情况， 记 A 表示从取出的 2 户中至少有一个困难户， 则 A 中基本事件为：AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE，共 7 种， 故   7 10PA＝ . 20.已知△ABC 的两个顶点 A，B 的坐标分别是(0， 3 )，(0， 3 )，且 AC，BC 所在直线 的斜率之积等于 3 4 . (1)求顶点 C 的轨迹 M 的方程. 解析：(1)C 点坐标为(x，y)，运用直线的斜率公式，化简整理，可得所求轨迹方程，注意 去除 y 轴上的点. 答案：(1)令 C 点坐标为(x，y)， 则直线 AC 的斜率 1 3yk x  ，直线 BC 的斜率 2 3yk x  ， 因为两直线的斜率之积为 3 4 ，所以有 333 4 yy xx ＝ ， 化简得到 22 143 xy ＝ (x≠0)， 所以轨迹 M 表示焦点在 x 轴上的椭圆，且除去(0， )，(0， 3 )两点. (2)当点 P(1，t)为曲线 M 上点，且点 P 为第一象限点，过点 P 作两条直线与曲线 M 交于 E， F 两点，直线 PE，PF 斜率互为相反数，则直线 EF 斜率是否为定值，若是，求出定值，若不 是，请说明理由. 解析：(2)设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，令直线 PE：  13 2ykx ，联立椭圆方程，运用韦 达定理求得 E 的坐标，同理将 k 换为-k，可得 F 的坐标，再由直线的斜率公式，化简整理， 即可得到定值. 答案：(2)由题意曲线 M 为 (x≠0)，点 P(1， 3 2 )， 设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，令直线 PE： ，联立椭圆方程， 得  2 223 4 8 4 1233 22 0k x k k x k                 ， 则 2 1 2 4123 34P kkxx k   ， 故 2 1 2 4123 34 kkx k   ， 同理 2 2 2 4 12 3 34 kkx k   ，           21 21 2 1 2 1 22 21 21 3311 8 6 2 3 42 2 2 1 24 2 EF k x k xyyk x x x x k k k kk x x k x x k                   ， 故直线 EF 斜率为为定值 1 2 . 21.已知函数 f(x)=x+alnx，     21 2gxfxxbx . (1)讨论函数 f(x)的单调性. 解析：(1)求出   )0(1 axafxx xx ＝ ＝ ＞ ，由此利用导数性质能求出讨论函数 f(x)的单 调性. 答案：(1)∵函数 f(x)=x+alnx， ∴   1 )0(axafxx xx ＝ ＝ ＞ ， 当 a＞0 时，由 x＞0，得 f′(x)≥0； 当 a＜0 时，由 f′(x)＞0，解得 x＞-a；由 f′(x)＜0 时，解得 0＜x＜-a. ∴若 a≥0，则 f(x)在(0，+∞)为单调递增函数； 若 a＜0，则 f(x)在(0，-a)上单调递减，在(-a，+∞)单调递增. (2)若 f(x)在 x=1 处的切线与直线 x+2y=0 垂直，求 a 的值. 解析：(2)由 f(x)在 x=1 处的切线与直线 x+2y=0 垂直，利用导数的几何意义能求出 a 的值. 答案：(2)∵f(x)在 x=1 处的切线与直线 x+2y=0 垂直， ∴由题意知 f'(1)=1+a=2，即 a=1. (3)在(2)的条件下，设 x1，x2(x1＜x2)是函数 g(x)的两个极值点，记 1 2 xt x ，若 b≥13 3 ，t 的取值范围. 解析：(3)由    21 2 1gxlnxxbx ＝ ，得    2 11xbxgx x  ＝ ，令 g'(x)=0，得 x1+x2=b-1，x1x2=1，由此能求出 t 的取值范围. 答案：(3)∵f(x)=x+alnx，     21 2gxfxxbx ， ∴由 ，得 ， 令 g'(x)=0，x2-(b-1)x+1=0，即 x1+x2=b-1，x1x2=1 而     2 212 12 1221 12211009xx xxtbx xxxt   ， 由 x1＜x2，即 0＜t＜1，解上不等式可得：0＜t≤ 1 9 .