2020高中数学 第一章二项式定理

2020高中数学 第一章二项式定理

‎1.3.1　‎二项式定理 学习目标：1.能用计数原理证明二项式定理．(一般)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．‎ ‎(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．‎ ‎(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．‎ ‎(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．‎ ‎2．二项展开式的通项公式 ‎(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.‎ 思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？‎ ‎[提示]　二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．‎ 思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？‎ ‎[提示]　不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　)‎ ‎(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　)‎ ‎(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　)‎ ‎(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　)‎ ‎[解析]　(1)×　因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．‎ ‎(2)×　因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．‎ ‎(3)×　因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．‎ ‎(4)√　因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于(　　)‎ ‎ 【导学号：95032072】‎ A．9　　　　　　　　 B．10‎ 7‎ C．11 D．12‎ B　[由二项式定理的公式特征可知n＝10.]‎ ‎3．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数为(　　)‎ A．C B．C(－2)5‎ C．C D．C(－2)6‎ C　[由题意可知：Tk＋1＝Cy8－k(－2x)k＝C·(－2)kxky8－k 当k＝5时，二项式系数为C.]‎ ‎4．化简：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝________. ‎ ‎【导学号：95032073】‎ x4　[(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1‎ ‎＝[(x－1)＋1]4＝x4]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 二项式定理的正用和逆用 ‎　(1)求的展开式．‎ ‎(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.‎ ‎[思路探究]　(1)解答本题先将看成a，－看成b，利用二项式定理展开，也可以先将化简后再展开．(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．‎ ‎[解]　(1)法一：＝C()4－C()3·＋C()2·－C·＋C＝x2－2x＋－＋.‎ 法二：＝＝(2x－1)4‎ ‎＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)‎ ‎＝x2－2x＋－＋.‎ ‎(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.‎ 7‎ ‎[规律方法] 　二项式定理的双向功能 ‎(1)正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．‎ ‎(2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)求二项式的展开式；‎ ‎(2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋5(x－2)．‎ ‎[解]　(1) ‎＝C(3)4＋C(3)3＋C(3)2＋C(3)＋C ‎＝81x2－108x＋54－＋.‎ ‎(2)原式＝C(x－2)5＋C(x－2)4＋C(x－2)3＋C(x－2)2＋C(x－2)＋C(x－2)0－1‎ ‎＝[(x－2)＋1]5－1＝(x－1)5－1.‎ 二项展开式通项的应用 ‎　已知二项式 ‎(1)求展开式第4项的二项式系数，‎ ‎(2)求展开式第4项的系数，‎ ‎(3)求第4项. ‎ ‎【导学号：95032074】‎ ‎[思路探究]　利用二项式定理的展开式中某一项 ‎[解]　由已知得的展开式的通项是 Tk＋1＝C(2)6－k＝C26－k(－1)k·x (k＝0,1,2，…，6)‎ ‎(1)展开式第4项的二项式系数为C＝20.‎ ‎(2)展开式第4项的系数为C·23·(－1)3＝－160.‎ 7‎ ‎(3)展开式的第4项为T4＝－160x.‎ ‎[规律方法]　(1)二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．‎ ‎(2)第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.‎ ‎(1)求n的值；‎ ‎(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．‎ ‎[解]　(1)因为T3＝C()n－2＝‎4Cx，T2＝C()n－1＝－‎2Cx，依题意得‎4C＋‎2C＝162，所以‎2C＋C＝81，所以n2＝81，n＝9.‎ ‎(2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝C()9－k＝(－2)kCx，所以＝3，k＝1，‎ 所以第二项为含x3的项：‎ T2＝－‎2Cx3＝－18x3.‎ 二项式系数为C＝9.‎ 求展开式中的特定项 ‎[探究问题]‎ ‎1．如何求展开式中的常数项．‎ ‎[提示]　利用二项展开式的通项Cx4－k·＝Cx4－2k求解，令4－2k＝0，则k＝2，所以展开式中的常数项为C＝＝6.‎ ‎2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？‎ ‎[提示]　(a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．‎ 7‎ ‎3．如何求(2x＋1)3展开式中含x的项？‎ ‎[提示]　(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋中的x与分别与(2x＋1)3展开式中常数项C＝1及x2项C22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C＋·C(2x)2＝x＋12x＝13x.即(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.‎ ‎　已知在的展开式中，第6项为常数项．‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求含x2项的系数；‎ ‎(3)求展开式中所有的有理项. ‎ ‎【导学号：95032075】‎ ‎[思路探究]　→ ‎→→→ ‎→→ ‎→ ‎[解]　通项公式为：‎ Tr＋1＝Cx (－3)rx＝C(－3)rx.‎ ‎(1)∵第6项为常数项，‎ ‎∴r＝5时，有＝0，即n＝10.‎ ‎(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，‎ ‎∴所求的系数为C(－3)2＝405.‎ ‎(3)由题意得，令＝k(k∈Z)，‎ 则10－2r＝3k，即r＝5－k.‎ ‎∵r∈Z，∴k应为偶数，‎ k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，‎ 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.‎ 即405x2，－61 236,295 245x－2.‎ 7‎ ‎[规律方法]‎ ‎1．求二项展开式的特定项的常见题型 ‎(1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；‎ ‎(2)求含xk的项(或xpyq的项)；‎ ‎(3)求常数项；‎ ‎(4)求有理项．‎ ‎2．求二项展开式的特定项的常用方法 ‎(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；‎ ‎(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；‎ ‎(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．‎ ‎(2)若展开式的常数项为60，则常数a的值为________．‎ ‎(1)207　(2)4　[(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，‎ ‎∴其系数为C＋C(－1)＝207.‎ ‎(2)的展开式的通项是Tk＋1＝Cx6－k·‎ ‎(－)kx－2k＝Cx6－3k(－)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是Ca，‎ 根据已知得Ca＝60，解得a＝4.]‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．(x－)10展开式中x6项的二项式系数为(　　)‎ A．－C　　　　　　　 B．C C．－‎4C D．‎4C B　[含x6项为展开式中第五项，所以二项式系数为C.]‎ ‎2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)‎ ‎ 【导学号：95032076】‎ A．80 B．40‎ C．20 D．10‎ B　[(1＋2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rC·xr，‎ 7‎ 令r＝2，得22×C＝4×10＝40，故选B.]‎ ‎3．在的展开式中，中间项是________．‎ ‎－160x3　[由n＝6知中间一项是第4项，‎ 因为T4＝C(2x2)3·＝C·(－1)3·23·x3，‎ 所以T4＝－160x3.]‎ ‎4．在的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．‎ ‎84　－　[Tk＋1＝C·(x2)9－k·＝·C·x18－3k，当k＝3时，T4＝·C·x9＝－x9，所以第4项的二项式系数为C＝84，项的系数为－.]‎ ‎5．求的展开式的第三项的系数和常数项. ‎ ‎【导学号：95032077】‎ ‎[解]　T3＝C(x3)3＝C·x5，所以第三项的系数为C·＝.‎ 通项Tk＋1＝C(x3)5－k＝·Cx15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝C(x3)2·＝.‎ 7‎