新疆伊犁哈萨克自治州伊宁市第八中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

新疆伊犁哈萨克自治州伊宁市第八中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

数学考试试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是　　‎ A. B. ‎60 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由利用余弦定理可得，结合的范围即可得的值．‎ ‎【详解】中，，‎ 可得：，‎ 由余弦定理可得：，‎ ‎，‎ ‎，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎2.在等差数列中， ，则等于（ ）‎ A. 3 B. ‎6 ‎C. 4 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前项和，再利用等差数列求和公式和等差中项的知识求解.‎ ‎【详解】由题得，，又，则，解得：.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列求和公式，以及等差中项，属于基础题.‎ ‎3.已知中，，，，则等于( )‎ A. 60° B. 120° C. 30°或150° D. 60°或120°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理求解出的值，由边角关系、内角范围和特殊角的三角函数值求出.‎ 详解】由正弦定理可得，，‎ 又，，或.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及边角关系的应用，解三角形题的时候注意内角的取值范围，属于基础题.‎ ‎4.数列的一个通项公式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别观察各项的符号、绝对值即可得出．‎ ‎【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式． ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．‎ ‎5.若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于等比数列的首项为，末项为，公比为，则根据其通项公式得到为，故可知项数为4，选B.‎ 考点：等比数列的通项公式 点评：解决的关键是利用等比数列的通项公式，以及首项和公比来得到数列的项数，属于基础题．‎ ‎6.若，，，则与的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. 与有关 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差法判断即可.‎ ‎【详解】，所以 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于基础题.‎ ‎7.在R上的定义运算：则满足的解集为（ ）‎ A. (0，2) B. (-2，1) C. D. (-1，2)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据运算：将，转化为，再利用一元二次不等式的解法求解.‎ ‎【详解】因为运算：‎ 所以，‎ 即，‎ 解得.‎ 所以的解集为：(-2，1).‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题 ‎8.在中，若，则的形状是( )‎ A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.‎ ‎【详解】因为在中，满足，‎ 由正弦定理知，代入上式得，‎ 又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，‎ 所以为钝角三角形，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9. 设正数x ,y满足x + 4y =40 ,则 lgx +lgy的最大值是( )‎ A. 40 B. ‎10 ‎C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】，所以 故选D ‎10.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知的不等式组画出满足条件的可行域，根据图形情况分类讨论，可求出a的取值范围．‎ ‎【详解】解：满足约束条件的可行域如下图示 由图可知，若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，‎ 则a的取值范围是：5≤a＜7‎ 故选C．‎ ‎【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．‎ ‎11.已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为 A. 或5 B. 或‎5 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】设等比数列的公比为q,‎ ‎∵9S3=S6,‎ ‎∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6,‎ ‎∴8=q3,即q=2,‎ ‎∴an=2n-1,‎ ‎∴=,‎ ‎∴数列是首项为1,公比为的等比数列,‎ 故数列的前5项和为=.‎ 故选C.‎ ‎12.在中，分别是角对边.且，若的面积.则的最小值为（ ）‎ A. 56 B. ‎48 ‎C. 36 D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理将，转化为，由，以及两角和的正弦公式将等式展开化简，求得角，再由余弦定理，三角形的面积公式和基本不等式，求得的最小值.‎ ‎【详解】由题得，，，‎ ‎，整理得，在中，，则，则有，故，由的面积，可得，由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，故，则的最小值为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，以及基本不等式，考查计算求解能力.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知是等比数列，且，，那么________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等比数列性质化简方程，再根据平方性质得结果.‎ ‎【详解】∵是等比数列，且，，∴，‎ 即，则．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列性质，考查基本求解能力.‎ ‎14.锐角中，角所对的边分别为，若，则角 等于________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的面积公式，可得，即得.‎ ‎【详解】三角形面积，已知，解得.‎ 又是锐角三角形，则.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎15.数列的前n项和，则_________‎ ‎【答案】4n ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可知，当时，，当时，，由此即得.‎ ‎【详解】由题，当时，.‎ 当时，，首项也满足通项，故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用求数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎16.若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为________‎ ‎【答案】6；‎ ‎【解析】‎ 如图所示，当直线过C(4,2)时，x+y有最大值，最大值为6.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.解不等式（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）[3，4]（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用一元二次不等式的解法求解即得；（2）移项通分，再两边同时乘以，计算求解即得.‎ ‎【详解】（1）‎ 解得：.‎ ‎（2）且 解得：或.‎ ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式和分式不等式，属于基础题.‎ ‎18.设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ ‎【答案】（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣1 2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式 ‎（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ 解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列 ‎∴设其公比为q，q＞0‎ ‎∵a3=a2+4，a1=2‎ ‎∴2×q2="2×q+4" 解得q=2或q=﹣1‎ ‎∵q＞0‎ ‎∴q="2" ‎ ‎∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n ‎（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 ‎∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1‎ ‎∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2‎ 点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．‎ ‎19.如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．‎ ‎（1）求渔船甲的速度；‎ ‎（2）求值．‎ ‎【答案】（1）14海里/小时； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴V甲海里/小时 ；‎ ‎（2）在中，‎ 由正弦定理得 ‎∴‎ ‎∴.‎ 点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.‎ ‎20.在 中，内角的对边分别为 .已知 ‎ ‎（1） 求的值 ‎（2） 若 ，求的面积.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）正弦定理得边化角整理可得，化简即得答案．‎ ‎（2）由（1）知，结合题意由余弦定理可解得 ，，从而计算出面积．‎ ‎【详解】（1）由正弦定理得，‎ 所以 ‎ 即 ‎ 即有，即 ‎ 所以 ‎（2）由（1）知，即，‎ 又因为 ，所以由余弦定理得：‎ ‎，即，解得,‎ 所以，又因为，所以 ，‎ 故的面积为=.‎ ‎【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．‎ ‎21.设函数若对于恒成立，求m的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知函数的对称轴是，在上是单调函数，分为和两种情况进行讨论，结合函数的单调性进行求解即得.‎ ‎【详解】当时，函数的对称轴是，在上是单调函数.‎ 当时，在上是单调递增，此时要使恒成立，只要即可，即，解得，故.‎ 当时，在上是单调递减，此时要使恒成立，只要即可，即，解得，故.‎ 综上，m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查在恒成立情况下求参数的取值范围，考查函数单调性，属于中档题.‎ ‎22.数列{}的前项和.已知＞0，=.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设,求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）求出bn，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3‎ 两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，‎ 即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），‎ ‎∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，‎ ‎∵a12+‎2a1＝‎4a1+3，‎ ‎∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，‎ 则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，‎ ‎∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：‎ ‎（Ⅱ）∵an＝2n+1，‎ ‎∴bn（），‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．‎