北京市第十三中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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北京市第十三中学2019—2020年度第一学期期中考试 高一数学试题 第Ⅰ卷 一．选择题 ‎1.设集合,,则中元素的个数为( )‎ A. 0 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合,再求,最后数出中元素的个数即可.‎ ‎【详解】解:因为集合,,‎ 所以,‎ 所以,‎ 则中元素的个数为个.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,以及集合中元素的个数,是基础题.‎ ‎2.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.‎ ‎【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A选项正确.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎3.下列四组函数,表示同一函数的是( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项验证所给函数的定义域和对应法则,然后判断是否为同一函数.‎ ‎【详解】解: 选项A.:的定义域为 ,的定义域为 ‎,对应法则不同,不是同一函数.‎ 选项B.:定义域为,定义域为,‎ 定义域不同,不是同一函数.‎ 选项C: 定义域为,定义域为.‎ ‎,定义域相同,对应法则也相同,是同一函数.‎ 选项D:定义域,‎ 定义域为,定义域不同,不是同一函数.‎ 故选:C ‎【点睛】本题重点考查了函数是否为同一函数的判断,关键是要求定义域相同,解析式相等,是基础题.‎ ‎4.条件p:是条件q:的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等式与不等式的性质,利用充分条件与必要条件的定义进行判断.‎ 详解】解:证充分性:若,则,则 ,则充分性不成立.‎ 证必要性: 若q: ,则,则,则必要性不成立.‎ 故条件是条件q:的既不充分也不必要条件.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查充分条件必要条件的判断,根据不等式的关系式是解决本题的关键.‎ ‎5.已知集合,,若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合,根据得出,即可判断出关于参数的不等式,得出它的取值范围.‎ ‎【详解】解: ,‎ 又因为: ,若,‎ 所以,则 所以实数的取值范围是: .‎ 故选:B ‎【点睛】本题考点是集合关系中的参数取值问题,考查了集合的化筒,集合的包含关系,解题的关键是熟练掌握集合包含关系的定义,由此得到参数所满足的不等式,本题考查了推理判断的能力.‎ ‎6.已知偶函数的定义域为，当时，是增函数，，，‎ 的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为定义域上的偶函数，可得，再由时，是增函数，且，得到，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数为定义域上的偶函数，可得，‎ 又由当时，是增函数，且，‎ 所以，即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练利用函数的奇偶性转化，以及利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.函数的零点个数是( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和两种情况求函数的零点,并且验证即可.‎ ‎【详解】解: ,‎ 当 时, 无解,则不存在零点.‎ 当 时, ,解得,‎ ‎(舍去),则零点为.‎ 综上所述: 的零点个数是.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查分段函数的零点个数,分情况讨论是解题的关键.‎ ‎8.已知函数,若,则等于( )‎ A. 2 B. C. D. 2或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数,根据的取值范围,分别列出方程求出即可.‎ ‎【详解】解:因为函数,‎ 当 时, ,解得.‎ 当 时, ,解得 故a等于2或.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查分段函数的应用,考查分类讨论思想,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎9.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税元(叫做税率),则每年销售量将减少万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】，的最小值为，选A.‎ ‎10.定义，已知为函数的两个零点，若存在整数n满足，则的值（ ）‎ A. 一定大于 B. 一定小于 C. 一定等于 D. 一定小于 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为函数的两个零点可得：，.令，得到.即：，将变形为，从而可得.问题得解．‎ ‎【详解】由题可得：.‎ 又为函数的两个零点，‎ 所以，.‎ 将函数图像往上平移时，开口大小保持不变，如图 当函数图像往上平移时，变大，‎ 即：当时，越大，‎ 又由二次函数的对称性得：当时，最大 令，则：，就是．‎ 又 ‎=‎ 由已知得，所以一定小于，‎ 所以一定小于.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷 二､填空题 ‎11.函数的定义域是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次方根是被开方数大于等于,列式求定义域即可.‎ ‎【详解】解: 的定义域:‎ ‎,解得 ,‎ 故函数的定义域为:.‎ 故答案: ‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域,是基础题.‎ ‎12.已知函数;则等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据自变量所在的区间,代入对应的解析式求值即可.‎ ‎【详解】解: 因为函数,‎ 则.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值,看清楚自变量所在的区间是解题的关键.‎ ‎13.已知,则函数的最小值等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意判断,再利用基本不等式求的最小值,最后验证即可.‎ ‎【详解】解: 已知,‎ 则,‎ 所以 ‎,‎ 当且仅当,即时,等号成立.‎ 所以函数的最小值为.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值,需要注意”一定二正三相等”.‎ ‎14.已知函数,‎ ‎①函数的值域是______．‎ ‎②若函数在上不是单调函数,则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①先求定义域,再将二次函数化为顶点式,即可求出值域. ②有题意求出二次函数的对称轴,因为函数在上不是单调函数,则对称轴在区间内,即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】解: ①,定义域为,开口向下,‎ ‎,‎ 所以函数的值域是.‎ ‎②因为,‎ 对称轴为,‎ 若函数在上不是单调函数,‎ 则,故实数的取值范围是.‎ 故答案为: ①;②‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的值域和二次函数的单调性求参数,属于基础题.‎ ‎15.已知实数满足,,则______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①当时,可设是方程的两根,利用根与系数的关系求解即可.,‎ ‎②当时,解得,分别代入即可.‎ ‎【详解】解:因为,,‎ ‎①当时,可设是方程的两根,‎ ‎,‎ ‎②当时,解得,‎ 所以当时, ,‎ 当时, .‎ 综上所述: 的值为或.‎ 故答案为: 或 ‎【点睛】本题考查一元二次方程求解和一元二次方程根与系数的关系,属于基础题.‎ ‎16.若方程在内恰有一个根,则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当,函数是一次函数, 的解为,显不在区间内,所以时不成立.当时,若一元二次方程在内恰有一个根,当时的解为,不在区间内;当利用零点零点存在性定理则有,求解不等式即可得出结论.‎ ‎【详解】解:令.‎ 当时,,‎ 的根为,显不在区间内,所以时不成立.‎ 当时,若一元二次方程在内恰有一个根,‎ 则有以下两种情况：‎ ‎①有两个相等的实数根,‎ 则,,‎ 此时的解为,不在区间内,‎ 所以时不成立；‎ ‎②有两个不相等的实数根,‎ 且有一个根在内,则,‎ 则,‎ 解得.‎ 综上可知,实数a的取值范围是:.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的意义,考查零点的存在性定理,是基础题.‎ ‎17.函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．‎ ‎①当时，y的取值范围是______；‎ ‎②如果对任意 (b <0)，都有，那么b的最大值是______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．‎ ‎②当x≥0时，设抛物线的方程为y=ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y=1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．‎ ‎【详解】由图象可知，当时，函数在上的最小值，‎ ‎ 当时，函数在上的最小值，‎ ‎ 所以当，函数值域为；‎ ‎ 当时，函数，当时，函数，‎ 当时，或，‎ 又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，‎ 所以对于任意，要使得，则，或，‎ 则实数的最大值是．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和函数的图象的应用，意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键：一是从已知函数图象过特殊点，列出关于参数的方程，从而求出参数的值；二是利用特殊点法来判断图象．本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象．总之，有关函数的图象判断题，利用“特殊点”与“函数的性质”，即可轻松破解．‎ ‎18.能够说明“若对任意的都成立,则函数在是减函数”为假命题的一个函数是______．(答案不唯一)‎ ‎【答案】(答案不唯一)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意找出满足若对任意的都成立的函数,再判断其在不是减函数即可.‎ ‎【详解】解:令,‎ 则对任意的,都成立.‎ 在单调递减,在单调递增.‎ 故函数在是减函数不成立.‎ 故是符合题意的一个函数.‎ 故答案为: (答案不唯一)‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的概念与性质,和命题及其关系.‎ ‎19.对于函数()的定义域中任意,()有如下结论:‎ ‎①;②;③‎ 上述结论中正确结论的序号是______．‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式易得①错误,通过举出反例证明②错误,利用作差法比较大小,得到故③正确.由此可得正确答案.‎ ‎【详解】解: 对于①,,,‎ 显然,故①不正确;‎ 对于②,取,则,‎ 可得,故②不正确;‎ 对于③,,‎ ‎ ,‎ 且,,‎ ‎,‎ ‎,故③正确.‎ 故答案为: ③‎ ‎【点睛】本题以一个具体函数为例,要验证几个等式和不等式是否成立,着重考查了函数的解析式和简单性质等知识,属于基础题.‎ ‎20.已知函数,a,b均为正数且,则的最小值等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据a,b均为正数且,可得, ,根据均值不等式得出,利用换元法令得到,根单调性得出最小值即可.‎ ‎【详解】解:因为a,b均为正数且,‎ 所以,则,‎ 因为a,b均为正数且,‎ 所以,则 令,则,‎ 在单调递减,‎ 所以 所以.‎ 故的最小值等于.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查均值不等式以及函数单调性最小值,是基础题.‎ 三､解答题 ‎21.已知函数的定义城为A,集合 ‎(1)求集合;‎ ‎(2)若全集,,求;‎ ‎(3)若是的充分条件,求的取值范围．‎ ‎【答案】(1);(2);(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分母不能为0,偶次方根式的被开方数不能负值.‎ ‎(2)一个集合的补集是在全集而不在这个集合中的元素组成的集合,两个集合的交集是两个集合的公共元素组成的集合;‎ ‎(3)依题意得是的子集,即集合的元素都在集合中,由此确定的范围.‎ ‎【详解】解: (1)要使函数有意义,‎ 则,即 所以函数的定义域为.‎ 所以集合 ‎(2)因为全集,, ,‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎(3)由(1)得,‎ 若是的充分条件,即,‎ ‎①当时, ,‎ 即 ‎②当时, ,‎ ‎,‎ 综上所述: 的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查交集、补集及子集的概念,求范围的问题往往通过解不等式或不等式组实现.‎ ‎22.已知函数 ‎(1)判断函数的奇偶性,并说明理由:‎ ‎(2)证明:函数在上单调递增;‎ ‎(3)求函数,的值域．‎ ‎【答案】（1）证明见解析;（2）证明见解析;（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出函数的定义域看其是否关于原点对称,然后判定与的关系,根据函数奇偶性的定义进行判定;‎ ‎（2）在区间上任取两个数且,然后计算,通过化简变形判定其符号,根据函数单调性的定义进行判定即可;‎ ‎（3）根据奇函数性质可得函数在上的单调性,从而求出函数的值域.‎ ‎【详解】解: （1）证明:定义域为;‎ ‎,‎ 为奇函数.‎ ‎（2）证明:对任意的,且,‎ ‎,‎ ‎,‎ 在上单调递增.‎ ‎（3）为奇函数且在上是增函数,‎ 则在上是增函数,‎ 在上是增函数,‎ ‎,即,‎ 所以函数,的值域为 ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定,以及函数的单调性的判定和利用单调性求函数值域,属于中档题.‎ ‎23.已知函数,其中a,．‎ ‎(1)当,时,求函数的零点;‎ ‎(2)当时,解关于x的不等式;‎ ‎(3)如果函数的图象恒在直线的上方,证明:．‎ ‎【答案】(1) 或;(2)当时,解集为,当时解集为,当时,解集为;(3)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将,代入函数得 ,,令,解方程即可求得函数的零点;‎ ‎(2)将代入函数得 ,令解得或,分、、三种情况讨论解集即可.‎ ‎(3)根据函数的图象恒在直线的上方,得对任意的恒成立,即对任意的恒成立, 则函数图象与轴无交点,,即,又因为,所以,.‎ ‎【详解】解: (1)因为函数,‎ 当,时, ‎ ‎,则,解得或.‎ 所以函数的零点为或;‎ ‎(2)当时, ,‎ 令解得或,‎ ‎①当时, 的解集为 ‎②当时, 的解集为,‎ ‎③当时, 的解集为.‎ ‎(3)如果函数的图象恒在直线的上方,‎ 则对任意的恒成立, ‎ 即对任意的恒成立 ‎,即 又因为,所以,.‎ 所以函数的图象恒在直线的上方, 成立.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程,考查零点的求法,考查不等式恒成立的条件,考查分类讨论思想和计算能力,属于综合题.‎