九年级数学上册第二章一元二次方程2用配方法求解一元二次方程第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程教学课件新版北师大版

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2.2 用配方法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 2 课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1. 会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程 ;. （重点） 2. 能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程 . （难点） 学习目标 问题： 用配方法解一元二次方程（二次项系数为 1 ）的步骤是什么？ 步骤：（ 1 ） 将常数项移到方程的右边 , 使方程的左边只含二 次项和一次项 ; （ 2 ）两边都加上一次项系数一半的平方 . （ 3 ） 直接用开平方法求出它的解 . 导入新课 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程 一 问题 1 ： 观察下面两个是一元二次方程的联系和区别： ① x 2 + 6 x + 8 = 0 ; ② 3 x 2 +18 x +24 = 0 . 问题 2 ： 用配方法来解 x 2 + 6 x + 8 = 0 . 解： 移项，得 x 2 + 6 x = - 8 , 配方，得 （ x + 3 ） 2 = 1 . 开平方 , 得 x + 3 = ± 1 . 解得 x 1 = - 2 , x 2 = - 4 . 想一想怎么来解 3 x 2 +18 x +24 = 0 . 讲授新课 例 1 ： 用配方法解方程： 3 x 2 +18 x +24 = 0 . 解： 方程两边同时除以 3, 得 x 2 + 6 x + 8 = 0 . 移项，得 x 2 + 6 x = - 8 , 配方 , 得 （ x + 3 ） 2 = 1 . 开平方 , 得 x + 3 = ± 1 . 解得 x 1 = - 2 , x 2 = - 4 . 在使用配方法过程中若二次项的系数不为 1 时，需要将二次项系数化为 1 后，再根据配方法步骤进行求解 . 结论 例 2 ： 解方程： 3 x 2 + 8 x - 3 = 0 . 解： 两边同除以 3, 得 x 2 + x - 1=0 . 配方 , 得 x 2 + x + ( ) 2 - ( ) 2 - 1 = 0 , （ x + ） 2 - =0 . 移项 , 得 x + = ± , 即 x + = 或 x + = . 所以 x 1 = , x 2 = -3 . 例 3 ： 一个小球从地面上以 15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系： h= 15 t - 5 t 2 . 小球何时能达到 10m 高？ 解： 将 h = 10 代入方程式中 . 15 t - 5 t 2 = 10 . 两边同时除以 -5, 得 t 2 - 3 t = - 2 , 配方 , 得 t 2 - 3 t + ( ) 2 = ( ) 2 - 2 , （ t - ） 2 = 移项 , 得 （ t - ） 2 = 即 t - = , 或 t - = . 所以 t 1 = 2 , t 2 = 1 . ① 二次项系数要化为 1 ；②在二次项系数化为 1 时，常数项也要除以二次项系数；③配方时，两边同时加上一次项系数一半的平方 . 注意 即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10m 高 . 配方法的应用 二 典例精析 例 4 . 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k 2 － 4 k ＋ 5 的值必定大于零 . 解： k 2 － 4 k ＋ 5= k 2 － 4 k ＋ 4 ＋ 1 = （ k － 2 ） 2 ＋ 1 因为（ k － 2 ） 2 ≥0 ，所以（ k － 2 ） 2 ＋ 1≥1. 所以 k 2 － 4 k ＋ 5 的值必定大于零 . 1. 方程 2 x 2 - 3 m - x + m 2 +2=0 有一根为 x = 0 ，则 m 的值为（ ） A. 1 B.1 C.1 或 2 D.1 或 - 2 2. 应用配方法求最值 . (1) 2 x 2 - 4 x +5 的最小值； (2) -3 x 2 + 5 x +1 的最大值 . 练一练 C 解：（ 1 ） 2 x 2 - 4 x +5 = 2( x - 1) 2 +3 当 x =1 时有最小值 3 （ 2 ） - 3 x 2 + 12 x - 16 = - 3( x - 2) 2 - 4 当 x =2 时有最大值 -4 归纳总结 配方法的应用 类别 解题策略 1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负） 对于一个关于 x 的二次多项式通过配方成 a ( x+m ) 2 ＋ n 的形式后， ( x+m ) 2 ≥0 ， n 为常数， 当 a ＞ 0 时，可知其 最小值； 当 a ＜ 0 时，可知其 最大值 . 2 .完全平方式中的配方 如：已知 x 2 － 2 mx ＋ 16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于 16 ，即 m 2 =16 ， m= ± 4 . 3 .利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是 配方成多个完全平方式得其和为 0 ，再根据非负数的和为 0 ，各项均为 0 ，从而求解 . 如： a 2 ＋ b 2 － 4 b ＋ 4=0, 则 a 2 ＋ ( b － 2) 2 =0, 即 a =0 ， b =2. 1. 用配方法解方程： x 2 + x = 0 . 解： 方程两边同时除以 , 得 x 2 - 5 x + = 0 . 移项，得 x 2 - 5 x = - , 配方 , 得 x 2 - 5 x + （ ） 2 = （ ） 2 - . 即 （ x + ） 2 = . 当堂练习 两边开平方 , 得 x - = ± 即 x - = 或 x - = 所以 x 1 = x 2 = 2. 用配方法解方程： 3 x 2 - 4 x + 1 = 0 . 解： 方程两边同时除以 3 , 得 x 2 - x + = 0 . 移项，得 x 2 - x = - , 配方 , 得 x 2 - x + （ ） 2 = （ ） 2 - . 即 （ x - ） 2 = 两边开平方 , 得 x - = ± 即 x - = 或 x - = 所以 x 1 = 1 x 2 = 3. 若 ，求 ( xy ) z 的值 . 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 4. 已知 a,b,c 为△ ABC 的三边长，且 试判断 △ ABC 的形状 . 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ ABC 为等边三角形 . 课堂小结 配方法 方法 在方程两边都配上 步骤 一移常数项； 二配方 [ 配上 ] ； 三写成 （ x + n ) 2 = p ( p ≥0); 四直接开平方法解方程 . 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为 x 2 + px + q =0 的形式 . 应用 求代数式的最值或证明