专题12 选讲部分（第02期）-备战2017高考高三数学（文）全国各地一模金卷分项解析版

专题12 选讲部分（第02期）-备战2017高考高三数学（文）全国各地一模金卷分项解析版

‎【2017辽宁大连双基测试】选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系下，点是曲线（）上的动点，，线段的中点为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若轨迹上点处的切线斜率的取值范围是，求点横坐标的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得，‎ 设，，则，即， ‎ 代入，‎ 得，∴； ‎ ‎（不写累计扣1分）‎ 选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（Ⅰ）若最小值为4，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）不等式解集为． ‎ ‎【解析】（Ⅰ），‎ 解得．‎ ‎（Ⅱ）当时，，；‎ 当时，，， ‎ ‎∴不等式解集为． 学科*网 ‎【2017哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验联考】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线：，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求的极坐标方程和的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）把绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线，与交于，两点，求．‎ ‎【答案】（I）为，为；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ 选修4-5：不等式选讲 已知，，函数的最小值为4．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最小值．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【2017重庆一调】在直角坐标系中，曲线（为参数，），曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，记曲线与的交点为.‎ ‎（Ⅰ）求点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）当曲线与有且只有一个公共点时，与相较于两点，求的值 ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）17.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将 转化为普通方程，解方程组可得 的坐标；（2） 为圆，当有一个公共点时，可求得参数 的值，联立的普通方程，利用根与系数的关系可得的值。‎ 解：（Ⅰ）由曲线可得普通方程. ‎ 由曲线可得直角坐标方程：. ‎ 由得， ‎ ‎（Ⅱ）曲线（为参数，）消去参数可得普通方程：‎ ‎，圆的圆心半径为， ‎ 曲线与有且只有一个公共点，，即， ‎ 设 联立得 ‎ ‎.‎ ‎23. 设的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） ‎ ‎ ‎ 当且仅当时，即等号成立，‎ 的最小值为.‎ ‎【2017江西七校联考】选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心，半径 ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）若，直线l的参数方程为（t为参数），点P的直角坐标为（0，2），直线l交圆C与A，B两点，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 选修 4-5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎(1)若当时，恒有，求的最大值；‎ ‎(2)若不等式有解，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【2017福建莆田质检】在直角坐标系中，圆的方程为.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)写出圆的参数方程和直线的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)设点位圆上的任一点，求点到直线距离的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 圆的参数方程为（为参数）；直线的普通方程为; （Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）已知圆的圆心，半径，很容易得其参数方程；利用普通方程与极坐标的关系可得的普通方程；（2）由点到直线的距离公式，设 ，知直线的普通方程代入公式得 ，求得其取值范围。‎ ‎（Ⅰ）圆的参数方程为 （为参数），‎ 直线的普通方程为.‎ ‎（Ⅱ）点为圆上任一点，可设点，‎ 则点到直线的距离为 ‎ ，‎ 因为，可得，‎ 所以点到直线的距离的取值范围为 .‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)设的最小值为，若的解集包含，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 或; （Ⅱ）.‎ 当时，取得最小值2，即，‎ 因的解集包含，即在上恒成立 记，其在上单调递减，‎ 当时，取得最大值1，所以，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【2017河北唐山一模】已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与交于不同的两点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）以为参数，求线段中点轨迹的参数方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）（为参数，).学*科网 ‎【解析】试题分析：（1）求解曲线 的直角坐标方程，将直线 的参数方程代入，得到关于 的一元二次方程，由题意差别式大小于零，可得 的取值范围；（2）利用参数的几何意义即可求线段 中点轨迹的参数方程。‎ ‎（为参数，)‎ 已知，．‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）是否存在，满足，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由基本不等式的性质可求出 的最小值；（2）根据基本不等式的性质得到 的最大值为，从面判断出结论即可。 ‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 所以的最小值为2．‎ ‎（2）不存在．‎ 因为，‎ 所以，又，所以．‎ 从而有，‎ 因此不存在，满足．‎ ‎【2017广东汕头一模】选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或．学#科网 ‎【解析】试题分析：‎ ‎ 即；‎ ‎（2）将代入圆的方程得.‎ 化简得．‎ 设两点对应的参数分别为，则 ‎∴ ， ‎ ‎ .‎ ‎∴， ‎ ‎∵∴或．‎ 选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求关于的不等式的解集；‎ ‎（2）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎∴的范围是.‎ ‎【2017河北张家口期末】选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为，利用，即可得出； ‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数，，的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，且．求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析. 学科*网 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据函数，可得函数的解析式，进而构造方程，可求出的值；（Ⅱ）若，，要证，即证平方即可得结论.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）解：∵‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）证明：要证，即证．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 即，∴，‎ ‎∴． ‎ ‎【2017甘肃兰州一诊】选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)，以原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为 ‎．‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程与直线的普通方程；‎ ‎(2)设直线截圆的弦长为半径长的倍，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）圆的直角坐标方程为；直线的普通方程为;（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎∴圆心到直线的距离，‎ 解得或．‎ 选修4-5：不等式选讲 已知函数的定义域为．‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若的最大值为，解关于的不等式：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）. 学@科网 ‎【解析】‎ ‎【2017福建泉州3月质检】选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）当时，与相交于两点，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）. 学科&网 ‎【解析】（1）由直线的参数方程（为参数），‎ 消去参数得，，‎ 即直线的普通方程为，‎ 由圆的极坐标方程为，得，‎ 将代入(*)得， ，‎ 即的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入得，，‎ ‎，‎ 设两点对应的参数分别为，‎ 则，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以当时，取得最小值.‎ ‎【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】‎ ‎，‎ 又因为，‎ 所以当时， 取得最大值.‎ 又，‎ 所以当时，取得最小值.‎ 选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若直线与曲线围成一个三角形，求实数的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）.（2） 学@科网 ‎【解析】（1）.‎ 即的范围是.‎ ‎【注：范围正确，不倒扣】‎ 且当时，.‎ ‎【2017贵州黔东南州模拟】选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，点的坐标为，曲线的方程为；以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.‎ ‎(1)求直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若为曲线上任意一点，曲线和曲线相交于两点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数的单调递增区间为.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)设，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【2017陕西咸阳二模】选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程是（为参数，）．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求．‎ ‎【答案】(1) ;(2) . ‎ ‎【解析】试题分析：(1) 利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，(2)根据直线参数方程几何意义得，所以先将直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理得，从而可解得．‎ 试题解析：（I）曲线，即，于是有，化为直角坐标方程为: ‎ ‎（II）方法1: ，即 由的中点为得，有，所以，由 得 ‎ 方法2:设，则，∵，∴，由 得.‎ 方法3: 设，则由是的中点得，，‎ ‎∵，∴，知，∴，由 得. ‎ 方法4:依题意设直线，与联立得，即，由得 ，因为 ，所以.‎ 选修4-5：不等式选讲 已知函数，且的解集为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若都是正实数，且，求证：．‎ ‎【答案】(1) ;(2)详见解析.‎ 方法2: ∵‎ ‎∴由柯西不等式得 ‎ 整理得 当且仅当，即时取等号. 学科*网 ‎【2017广东广州一模】选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线 ‎(Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（I）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎ (Ⅱ) 法1:设曲线上的点为， ‎ 则点到直线的距离为 ‎ ‎ ‎ ‎ 当时， ， ‎ ‎ 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为. ‎ 法2: 设与直线平行的直线为， ‎ ‎ 当直线与圆相切时， 得， ‎ ‎ 解得或(舍去)，‎ ‎ 所以直线的方程为. ‎ ‎ 所以直线与直线的距离为. ‎ 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.‎ 选修4－5：不等式选讲 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 若，求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ) 若R ， 求证：.‎ ‎【答案】（I）；（II）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ 解：‎ ‎(Ⅱ) 因为R ， ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎【2017内蒙呼和浩特一模】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线及曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为（），设与曲线的交点为，求的面积及与交点的极坐标．‎ ‎【答案】（1），；（2） ,. ‎ ‎【解析】试题分析: （1）根据将直线直角坐标方程化为极坐标方程，先根据三角平方关系将曲 ‎∴，‎ ‎∵曲线是半径为的圆，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解方程组得两直线交点的极坐标为 选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析: （1）由绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求它们的并集，（2）恒成立等价于,由绝对值三角不等式可得,再关键绝对值定义解不等式，可得实数的取值范围．‎ 试题解析:（1）当时，，‎ ‎【2017广东广雅、江西南昌二中联考】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（）．‎ ‎（Ⅰ）设为参数，若，求直线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与曲线交于，，设，且，求实数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）． ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由，得，可得直线的参数方程为（为参数）．（Ⅱ）先根据直线参数方程的几何意义化简条件得，即，再由，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（），并将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，最后利用韦达定理代入条件可解得实数的值．‎ 试题解析：（Ⅰ）将，，代入直线的极坐标方程得直角坐标方程，‎ 再将，代入直线的直角坐标方程，得，‎ 所以直线的参数方程为（为参数）．‎ 因为，所以．　‎ 选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式，对任意的实数，恒成立，求实数的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为，再根据解集相等关系得，解得．（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即，根据绝对值三角不等式可得，再利用变量分离转化为对应函数最值问题：，根据基本不等式求最值：，因此，所以实数的最小值为4．‎ 故，所以实数的最小值为4． 学&科网 ‎【2017湖北黄冈3月质检】在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，斜率为.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， (为参数) （Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，按倾斜角写出直线参数方程（2）由直线参数方程几何意义得，将直线参数方程代入抛物线方程，结合韦达定理得，，从而，代入可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，‎ 点的极坐标为：，化为直角坐标为 直线的参数方程为，即 (为参数)‎ ‎（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据绝对值的意义，分类讨论，得到不等式组，求解各个不等式组，取并集得到不等式的解集；（2）把的解集包含,转化为当时,不等式恒成立，利用绝对值不等式的意义，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）当时,,,‎ 上述不等式可化为或或,‎ 解得或或.或或,‎ 原不等式的解集为.‎ ‎（2）的解集包含,当时, 不等式恒成立,‎ 即在上恒成立,,‎ 即,在上恒成立,‎ ‎,的取值范围是.‎ ‎【2017湖北黄冈3月质检】在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，斜率为.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， (为参数) （Ⅱ） 学&科网 直线的参数方程为，即 (为参数)‎ ‎（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，‎ 整理得：，‎ 显然有，则，，‎ ‎，，‎ 所以 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2） 学科*网 原不等式的解集为.‎ ‎（2）的解集包含,当时, 不等式恒成立,‎ 即在上恒成立,,‎ 即,在上恒成立,‎ ‎,的取值范围是.‎