内蒙古包头市第四中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题
包头四中2018-2019学年第二学期期中考试
高二年级数学（文科）试题
满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为,,所以
故选A.
2. 设p：x<3，q：-1
0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_______
【答案】
【解析】
记右焦点为，由题意，是中点，是 中点，因此 且 ，又E是切点，即 ，所以,由双曲线的定义知，所以 ，解得 ．
故答案为
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
16.设函数，若是的极大值点，则a取值范围为_______________.
【答案】
【解析】
试题分析：的定义域为，由，得，所以.①若，由，得，当时，，此时
单调递增，当时，，此时单调递减，所以是的极大值点；②若，由，得或.因为是的极大值点，所以，解得，综合①②：的取值范围是，故答案为.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值.
三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.
17.已知函数，其中，当时，求不等式的解集.
【答案】
【解析】
【分析】
代入,再分段求解绝对值不等式即可.
【详解】当时,.
当时,由得,解得；
当时,无解；
当时,由得,解得；所以的解集为.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,属于基础题.
18.将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C的参数方程；
（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
【答案】（1）（t为参数）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）设为圆上的点，在曲线C上任意取一点（x，y），再根据，由于点在圆上，求出C的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得的坐标，可得线段的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据可得所求的直线的极坐标方程．
（1）设为圆上的点，在已知变换下位C上点（x，y），依题意，得由得，即曲线C的方程为.，故C得参数方程为（t为参数）.
（2）由解得：，或.
不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，
化极坐标方程，并整理得
，即.
考点：1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化．
19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
【答案】（1）：，：；（2），此时.
【解析】
试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
20.已知函数.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）当时；（2）由
等价于
，解之得.
试题解析： （1）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（2）当时，，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
考点：不等式选讲.
21.已知函数.
（1）求函数在区间上的最大、最小值；.
（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方.
【答案】（1），（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用函数的导数可确定函数为增函数，即可求解（2）构造函数，利用导数证明在区间上为减函数，故最大值即可证明.
【详解】（1）由有，
当时，,
在区间上为增函数，
，，
（2）设，
则，
当时，，
且故时，
，得证.
【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性，求函数最值，属于中档题.
22.已知圆：，椭圆：的右焦点是圆的圆心，其离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线过椭圆的左顶点，若直线与圆相交，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆的基本量之间的关系求解即可.
(2)利用圆心到直线的距离列式求解即可.
【详解】（1）由题意得圆心,∴,又,∴.由,得,
∴椭圆方程为.
（2）∵直线过椭圆左顶点,
∴直线的方程为,即.
∵直线与圆相交,∴圆心到直线的距离,即,
∴,即,∴.
【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于中档题.
