2015年数学理高考课件6-6 直接证明与间接证明

2015年数学理高考课件6-6 直接证明与间接证明

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 了解直接证明的两种基本方法 —— 分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．　 2. 了解间接证明的一种基本方法 —— 反证法；了解反证法的思考过程、特点． 第六节　直接证明与间接证明 直接证明 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，综合法的特点是从已知看可知，逐步推出未知．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．分析法是从未知看需知，逐步靠拢已知．当命题的条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件，把证明转化为判定这些条件是否具备的问题． 答案： C 答案： B 间接证明 —— 反证法 假设原命题 ( 即在原命题的条件下，结论不成立 ) ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法． 不成立 矛盾 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要是指： (1) 与已知条件矛盾； (2) 与假设矛盾； (3) 与定义、公理、定理矛盾； (4) 与公认的简单事实矛盾； (5) 自相矛盾． 答案： D 4 ．用反证法证明命题： “ a ， b ∈ N * ， ab 可被 5 整除，那么 a 、 b 中至少有一个能被 5 整除 ” 时，假设的内容应为 ________ ． 答案： a 、 b 都不能被 5 整除 综合法的应用 反思总结 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适应范围是： (1) 定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式． (2) 已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱． 分析法的应用 反思总结 分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法，注意用分析法证题时，一定要严格按照格式书写． 反证法的应用 【 例 3】 　设 { a n } 是公比为 q 的等比数列， S n 是它的前 n 项和． (1) 求证：数列 { S n } 不是等比数列； (2) 数列 { S n } 是等差数列吗？为什么？ [ 解析 ] 　 (1) 证明：若 { S n } 是等比数列，则 S ＝ S 1 · S 3 ，即 a (1 ＋ q ) 2 ＝ a 1 · a 1 (1 ＋ q ＋ q 2 ) ， ∵ a 1 ≠ 0 ， ∴ (1 ＋ q ) 2 ＝ 1 ＋ q ＋ q 2 ，解得 q ＝ 0 ，这与 q ≠ 0 相矛盾， 故数列 { S n } 不是等比数列． (2) 当 q ＝ 1 时， { S n } 是等差数列． 当 q ≠ 1 时， { S n } 不是等差数列．假设 q ≠ 1 时， S 1 ， S 2 ， S 3 成等差数列，即 2 S 2 ＝ S 1 ＋ S 3 ， 2 a 1 (1 ＋ q ) ＝ a 1 ＋ a 1 (1 ＋ q ＋ q 2 ) ． 由于 a 1 ≠ 0 ， ∴ 2(1 ＋ q ) ＝ 2 ＋ q ＋ q 2 ，即 q ＝ q 2 ， ∵ q ≠ 1 ， ∴ q ＝ 0 ，这与 q ≠ 0 相矛盾． 综上可知，当 q ＝ 1 时， { S n } 是等差数列；当 q ≠ 1 时， { S n } 不是等差数列． 反思总结 反证法是解决某些 “ 疑难 ” 问题的有力工具，它的适用范围为： (1) 否定性命题； (2) 命题的结论中出现 “ 至少 ” 、 “ 至多 ” 、 “ 唯一 ” 等词语； (3) 命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明； (4) 要讨论的情况很复杂，而反面情况很少． —— 直接证明问题的综合应用 在实际证明问题时，我们往往同时从已知条件与结论出发，寻求它们之间的联系．具体来说，一方面从问题的已知条件出发，用前进型分析法经逻辑推理导出中间结果；另一方面从问题的结论出发，用追溯型分析法回溯到中间，即导出同一个中间结果，从而沟通思路使问题得到解决． [ 教你快速规范审题 ] 1 ．审条件，挖解题信息 2 ．审结论，明解题方向 3 ．建联系，找解题突破口 ___________________ [ 教你一个万能模板 ] ____________________ 本小节结束 请按 ESC 键返回