2020九年级数学下册 第27章 切线长定理及三角形的内切圆同步练习 （新版）华东师大版

2020九年级数学下册 第27章 切线长定理及三角形的内切圆同步练习 （新版）华东师大版

‎27.2.3 切线 第2课时　切线长定理及三角形的内切圆 知|识|目|标 ‎1．经历折叠纸片的操作过程，归纳得出切线长定理并掌握切线长定理．‎ ‎2．经历教材中“试一试”的实践操作，理解三角形的内切圆及相关知识．‎ 目标一　能探索并掌握切线长定理 例1 教材补充例题 如图27－2－12，已知⊙O的切线PA，PB，A，B为切点，把⊙O沿着直线OP对折，你能发现什么？请证明你所发现的结论．‎ 结论：PA＝________，∠OPA＝________.‎ 图27－2－12‎ 证明：如图27－2－13，连结OA，OB.‎ ‎∵PA，PB与⊙O相切，A，B是切点，‎ ‎∴OA⊥________，OB⊥________，‎ 即∠OAP＝________＝90°.‎ ‎∵__________________________，‎ ‎∴Rt△AOP≌Rt△BOP(H.L.)，‎ ‎∴PA＝________，∠OPA＝________． 图27－2－13‎ 试用文字语言叙述你所发现的结论．‎ 例2 高频考题 如图27－2－14，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠OAB＝30°.‎ ‎(1)求∠APB的度数；‎ ‎(2)当OA＝3时，求AP的长．‎ 图27－2－14‎ 6‎ ‎【归纳总结】切线长定理中的基本图形：‎ 如图27－2－15，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，此图形中含有： ‎ 图27－2－15‎ ‎(1)两个等腰三角形 (△PAB，△OAB)；‎ ‎(2)一条特殊的角平分线( OP平分 ∠APB和∠AOB); ‎ ‎(3)三个垂直关系 (OA ⊥ PA, OB⊥PB，OP⊥AB)．‎ 目标二　理解三角形的内切圆 例3 教材补充例题 如图27－2－16，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的(　　)‎ ‎　图27－2－16‎ A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 例4 教材补充例题 △ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S.‎ 6‎ ‎【归纳总结】三角形“四心”的区别：‎ 外心 三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点 内心 三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点 重心 三角形三条中线的交点 垂心 三角形三条高的交点 提示：(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形某顶点的连线平分这个顶点处的内角；三角形的内心都在三角形内部．‎ ‎(2)三角形的内切圆有且只有一个，而圆有无数个外切三角形．‎ ‎(3)常用S△ABC＝(a＋b＋c)r(其中a，b，c为△ABC的三边长)求三角形的内切圆的半径r.‎ ‎(4)若△ABC为直角三角形(不妨设∠C＝90°)，则△ABC内切圆的半径r＝或r＝(其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边)．‎ 知识点一　切线长及切线长定理 ‎(1)圆的切线上某一点与________之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．‎ ‎(2)过圆外一点所画的圆的两条切线，________相等．这一点和圆心的连线平分____________________．‎ 知识点二　三角形的内切圆 ‎(1)与三角形________________叫做这个三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的________，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．‎ ‎(2)三角形的内心就是三角形______________，三角形的内心到____________的距离相等．‎ 6‎ 如图27－2－17是切线长定理的一个基本图形(PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点)，由切线长定理可以推出很多的结论，如：‎ ‎(1)垂直：OA⊥________，OB⊥________，AB⊥________；‎ ‎(2)角相等：∠1＝∠________＝∠________＝∠________，∠5＝∠________＝∠________＝∠________；‎ ‎(3)线段相等：PA＝________，AC＝________；‎ ‎(4)弧相等：＝________，＝________．‎ 图27－2－17‎ 6‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　解：PB　∠OPB　PA　PB　∠OBP　OA＝OB，OP＝OP　PB　∠OPB　用文字语言叙述结论：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．‎ 例2　[解析] (1)方法一：根据切线的性质可知：∠OAP＝∠OBP＝90°.根据三角形的内角和为180°可求出∠AOB的度数，再根据四边形的内角和为360°可求出∠APB的度数；方法二：证明△ABP为等边三角形，从而可求出∠APB的度数．‎ ‎(2)方法一：作辅助线，连结OP.在Rt△OAP中，利用三角函数可求出AP的长；方法二：作辅助线，过点O作OD⊥AB于点D.在Rt△OAD中，求出AD的长，从而求出AB的长，即为AP的长．‎ 解：(1)方法一：∵在△ABO中，OA＝OB，∠OAB＝30°，‎ ‎∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°.‎ ‎∵PA，PB是⊙O的切线，‎ ‎∴OA⊥PA，OB⊥PB，‎ ‎∴∠OAP＝∠OBP＝90°，‎ ‎∴在四边形OAPB中，‎ ‎∠APB＝360°－120°－90°－90°＝60°.‎ 方法二：∵PA，PB是⊙O的切线，‎ ‎∴PA＝PB，OA⊥PA.‎ ‎∵∠OAB＝30°，‎ ‎∴∠BAP＝90°－30°＝60°，‎ ‎∴△ABP是等边三角形，‎ ‎∴∠APB＝60°.‎ ‎(2)方法一：如图①，连结OP.‎ ‎∵PA，PB是⊙O的切线，‎ ‎∴PO平分∠APB，‎ 即∠APO＝∠APB＝30°.‎ 又∵在Rt△OAP中，OA＝3，‎ ‎∴AP＝＝3 .‎ 方法二：如图②，过点O作OD⊥AB于点D.‎ ‎∵在△OAB中，OA＝OB，‎ ‎∴AD＝AB.‎ ‎∵在Rt△AOD中，OA＝3，∠OAD＝30°，‎ 6‎ ‎∴AD＝OA·cos30°＝，‎ ‎∴AB＝2AD＝3 ，‎ ‎∴AP＝AB＝3 .‎ 例3　[答案] D 例4　解：如图，设△ABC的内切圆⊙O与三边分别相切于点D，E，F，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.‎ 所以S＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝AB·OD＋AC·OF＋BC·OE＝lr.‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] 知识点一　(1)切点　‎ ‎(2)它们的切线长　这两条切线的夹角 知识点二　(1)各边都相切的圆　内心　‎ ‎(2)三条角平分线的交点　三角形三边 ‎[反思] (1)PA　PB　PO　(2)2　3　4　6　7　8‎ ‎(3)PB　BC　(4)　 6‎