专题15 椭圆、双曲线、抛物线（仿真押题）-2017年高考数学（文）命题猜想与仿真押题

专题15 椭圆、双曲线、抛物线（仿真押题）-2017年高考数学（文）命题猜想与仿真押题

‎1．已知双曲线－＝1(b>0)的离心率等于b，则该双曲线的焦距为(　　)‎ A．2　　　　　　　　 B．2 C．6 D．8‎ ‎【答案】：D ‎【解析】：设双曲线的焦距为2c.由已知得＝b，又c2＝4＋b2，解得c＝4，则该双曲线的焦距为8.‎ ‎2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1、F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【答案】：C ‎【解析】：由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r＝＝5，故c＝5，a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线y＝x过点(3,4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3，故选C.‎ ‎3．已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)‎ A. B．4 C．3 D．5‎ ‎【答案】：A ‎ 4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B．2－ C.－2 D.－ ‎【答案】：D ‎【解析】：设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋m，即m＝(4－2)a，则|AF2|＝2a－m＝(2－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2‎ ‎＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，即有c2＝(9－6)a2，即c＝(－)a，即e＝＝－，故选D.‎ ‎5．已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1，随着a的增大该椭圆的形状(　　)‎ A．越接近于圆 B．越扁 C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆 ‎【答案】　A ‎【解析】　由题意得到a>1，所以椭圆的离心率e2＝＝1＋(a>1)递减，则随着a的增大，离心率e越小，所以椭圆越接近于圆，故选A.‎ ‎6． F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，且∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A ‎ ‎ ‎7．已知a>b>0 ，椭圆 C1 的方程为＋＝1，双曲线 C2 的方程为－＝1，C1 与 C2 的离心率之积为， 则C1 、 C2 的离心率分别为(　　)‎ A.，3 B.， C.，2 D.，2 ‎【答案】　B ‎【解析】　由题意知，·＝，所以a2＝2b2，则C1、C2的离心率分别为e1＝，e2＝，故选B. ‎ ‎8．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D ‎【解析】　令c＝，则c为双曲线的半焦距长．据题意，F1F2是圆的直径，‎ ‎∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.‎ ‎∴(2c)2＝(3|PF2|)2＋|PF2|2，即2c＝|PF2|.‎ 根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，‎ ‎∴|PF1|－|PF2|＝3|PF2|－|PF2|＝2|PF2|＝2a.‎ ‎∴e＝＝，‎ ‎∴双曲线的离心率为.‎ ‎9．若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3，3)且与l相切的圆共有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 ‎【答案】　B ‎ 10．已知M是y＝x2上一点，F为抛物线的焦点，A在C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为(　　)‎ A．2 B．4 C．8 D．10‎ ‎【答案】　B ‎【解析】　抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，圆心到y＝－1的距离d＝5，(|MA|＋|MF|)min＝5－r＝5－1＝4.‎ ‎11．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为(　　)‎ A．(0，±2) B．(0，2) C．(0，±4) D．(0，4)‎ ‎【答案】　A ‎【解析】　在△AOF中，点B为边AF的中点，‎ 故点B的横坐标为，‎ 因此＝＋，解得p＝，‎ 故抛物线方程为y2＝2x，‎ 可得点B坐标为(，±1)，‎ 故点A的坐标为(0，±2)．‎ ‎12．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.‎ ‎【答案】　4‎ ‎13．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　由y2＝8x知2p＝8，∴p＝4，则点F的坐标为(2，0)．‎ 由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)．‎ 又点A(8，8)在直线上，∴8＝k(8－2)，解得k＝.‎ ‎∴直线l的方程为y＝(x－2)．①‎ 将①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0，则xA＋xB＝，∴线段AB的中点到准线的距离是＋＝＋2＝.‎ ‎14．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B为该抛物线上两点，若＋2＝0，则||＋2||＝________.‎ ‎【答案】　6‎ ‎【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由焦点弦性质，y1y2＝－p2(*)，‎ 由题意知＋2＝0，‎ 得(x1－1，y1)＋2(x2－1，y2)＝(0，0)，‎ ‎∴y1＋2y2＝0，代入(*)式得－＝－p2，∴y＝2p2，‎ ‎∴x1＝＝2，∴||＝x1＋＝3，‎ 又||＝2||，∴2||＝3，‎ ‎∴||＋2||＝6.‎ ‎15．若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，动点P 在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．‎ ‎【答案】　2 ‎ ‎ ‎16．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0)的左焦点与抛物线y2＝mx的焦点重合，则实数m＝________．‎ ‎【答案】　－12‎ ‎【解析】　由题意可得＝＝，∴a＝，∴c＝3，所以双曲线的左焦点为(－3，0)，再根据抛物线的概念可知＝－3，∴m＝－12.‎ ‎17．双曲线－＝1(a>0，b>0)一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　由题意可得，k＝＝tan＝，‎ ‎∴b＝a，则a2＝，∴e＝＝2.‎ ‎∴＝＝＋ ‎≥2＝.‎ 当且仅当＝，即b＝时取等号．‎ ‎18．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(00)的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)设过点P(6,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．‎ ‎22.如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的下顶点为B，右焦点为F，直线BF与椭圆E的另一个交点为A，＝3.‎ ‎ (1)求椭圆E的离心率；‎ ‎(2)若点P为椭圆上的一个动点，且△PAB面积的最大值为，求椭圆E的方程．‎ ‎ ‎ ‎23．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当·＝0时，求点P的坐标．‎ ‎【解析】：(1)由题意可知e＝＝，×2ab＝2，a2＝b2＋c2，‎ 解得a＝2，b＝，‎ 所以椭圆方程是＋＝1.‎