2018-2019学年湖北省天门市、潜江市、应城市高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省天门市、潜江市、应城市高一下学期期中联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省天门市、潜江市、应城市高一下学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知是锐角，那么2是( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．小于的正角 D．第一象限或第二象限 ‎【答案】C ‎【解析】是锐角,∴，∴是小于的正角 ‎2．下列三角函数的值大于零的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三角函数的定义来判断符号。‎ ‎【详解】‎ 因为在第三象限，所以；‎ 因为在第一象限，所以；‎ 因为在第四象限，所以；‎ 因为，所以选B选项。‎ ‎【点睛】‎ 先确定角的终边所在象限，再根据三角函数的定义或一全正，二正弦，三正切，四余弦即可判断正负。‎ ‎3．下列命题成立的是（ ）‎ A．若是第二象限角，则 B．若是第三象限角，则 C．若是第四象限角，则 D．若是第三象限角，则 ‎【答案】D ‎【解析】先确定角终边所在象限，再根据三角函数的定义判断角的正弦、余弦、正切的符号，即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 若是第二象限角，因为，，所以，故A错误；‎ 若是第三象限角，因为，，所以，故B错误；‎ 若是第四象限角，因为，，所以，故C错误；‎ 若是第三象限角，因为，，所以，故选D选项。‎ ‎【点睛】‎ 角的正弦、余弦、正切的正负可以用三角函数的定义或一全正，二正弦，三正切，四余弦来判断。‎ ‎4．下列等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据诱导公式即可判断。‎ ‎【详解】‎ 由诱导公式可知 ‎，‎ 故选C选项 ‎【点睛】‎ 在用诱导公式时，先要将负角化为正角，再把大角化小角。注意判断角的三角函数的正负。‎ ‎5．下列定义在上的四个函数与其对应的周期T不正确的一组是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由周期公式即可判断。‎ ‎【详解】‎ 的周期；‎ 的周期；‎ 的周期；‎ 的周期；‎ 故选A选项。‎ ‎【点睛】‎ 函数、的周期。‎ ‎6．下列关于函数的单调性的叙述，正确的是（ ）‎ A．在上是增函数，在上是减函数 B．在上是增函数，在和上是减函数 C．在上是增函数，在上是减函数 D．在上是增函数，在上是减函数 ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数的单调性进行求解即可。‎ ‎【详解】‎ 函数的单调增区间是 单调减区间是 函数在是增函数，‎ 在和上是减函数；‎ 故选B选项。‎ ‎【点睛】‎ 由条件利用正弦函数的单调性求得此函数的单调区间。‎ ‎7．下列不等式中，正确的是（ ）‎ ‎① ‎ ‎② ‎ ‎③‎ A．①③ B．①② C．②③ D．①②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用诱导公式对不等式两边进行化简，根据正弦、余弦、正切函数的单调性即可做出判断。‎ ‎【详解】‎ 函数在区间上单调递减，且 ‎ 即，即①正确；‎ 函数在区间上单调递增，且 ‎，即②错误；‎ 函数在区间上单调递增，且 ‎，即③正确 故选A选项。‎ ‎【点睛】‎ 比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较。‎ ‎8．为了得到的图象，只需把余弦曲线上的所有点( )‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】由函数的图像变换即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 把余弦曲线的所有点向左平移个单位长度，得到的图像 故选C选项。‎ ‎【点睛】‎ 解决本题的关键是要掌握函数图像的变换规律。‎ ‎9．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据数量积公式即可得出。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 即,故选C选项 ‎【点睛】‎ 解决本题的关键在于向量的数量积公式和向量的模长的运用。‎ ‎10．已知，，那么的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ ‎11．函数的单调递增区间是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ ‎ ，选D.‎ ‎12．在中，则的解的个数为 （ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理可求出，结合正弦函数值知识，从而可得出结论。‎ ‎【详解】‎ 根据正弦定理可得，‎ 即并且 所以B可能是锐角也可能是钝角。‎ 故选C选项。‎ ‎【点睛】‎ 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：‎ ‎1.如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一。‎ ‎2. 如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角。‎ 二、填空题 ‎13．若，则与的夹角为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用数量积的公式对进行化简，再结合已知条件即可得出夹角。‎ ‎【详解】‎ 又 即 故与的夹角为。‎ ‎【点睛】‎ 本题含有，和的等式中，常利用消元思想计算的值。‎ ‎14．在中，，则最短边长等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用三角形内角和定理求出第三个角，再由大边对大角，小边对小角法则可知最短边为边，根据正弦定理即可求得最短边长。‎ ‎【详解】‎ ‎，即边为最短边；‎ 根据正弦定理可得 故最短边长为 ‎【点睛】‎ 解题时可利用 “大边对大角，小边对小角”法则来判断最小边。‎ ‎15．等腰三角形一个底角的余弦为，那么顶角的余弦值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由等腰三角形可得，进而借助于诱导公式及二倍角公式化简求值即可.‎ ‎【详解】‎ 如图，在等腰三角形ABC中，A为顶角 由题意可知：‎ ‎.‎ 故顶角的余弦值为。‎ ‎【点睛】‎ 解决本题的关键在于二倍角公式以及诱导公式的运用。‎ ‎16．已知，那么的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将已知条件的两个等式分别平方在相加，利用平方关系及两角和的正弦公式求出的值。‎ ‎【详解】‎ 两式平方相加得：‎ 即 故的值为。‎ ‎【点睛】‎ 解决三角函数中的给值求值题，一般通过观察，从整体上处理，利用诱导公式、倍角公式、两角和、差公式进行化简。‎ 三、解答题 ‎17．如图，在中，已知，边和所夹的角为．‎ ‎（1）关系式是否成立；‎ ‎（2）证明或者说明（1）中你的结论．‎ ‎【答案】(1)成立；(2)见证明 ‎【解析】（1）关系式为余弦定理的变形，则成立。‎ ‎（2）用向量法即可得出证明。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）关系式是成立的 ‎（2）证明：如图，‎ 设 ‎ 则 成立 ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理的证明，可采用向量法来证明，关键在于的变形。‎ ‎18．设函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；‎ ‎（Ⅱ）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的最小值为，此时x的集合（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（1）‎ 当时，，此时 所以，的最小值为，此时x的集合.‎ 横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得；‎ 然后向左平移个单位，得 ‎（1）利用两角的和差公式，辅助角公式将三角函数化成，若时，当时取最小值；（2）要熟练平移变换，伸缩变换.‎ ‎【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.‎ ‎19．已知．‎ ‎（1）请通过降幂化简；‎ ‎（2）求函数在上的最小值并求当取最小值时的值．‎ ‎【答案】(1) (2) 时，的最小值为 ‎【解析】（1）利用同角三角函数的基本公式，二倍角公式化简函数为一个角的三角函数的形式。‎ ‎（2）通过，得，再利用函数的单调性，求出函数的最小值及取最小值时的取值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎（2）由，得 ‎∴当，即时，的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）化简三角函数式时，通过看角之间的差别和联系，可把角进行合理的转化，一般采用降幂公式、两角差与和的三角函数式、平方关系等来实现。‎ ‎（2）求形如的最值问题，关键是求出 的单调区间，一般采用“换元”法整体代换，将看作一个整体，可令，即通过求的单调区间而求出函数的单调区间，若则可利用诱导公式将的系数化为正数。‎ ‎20．（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.‎ 试题解析：（1）由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，‎ 得2cos2A＋3cos A－2＝0，‎ 即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，‎ 解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．‎ 因为0

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