专题10+对数与对数函数（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习
本专题特别注意：
1.对数的概念陷阱；
2.对数函数的性质陷阱；
3.隐含条件陷阱；
4.数形结合陷阱；
5．参数讨论陷阱；
6.根据对数函数图象判断底数大小判断
7.多个函数值比较大小
【学习目标】
1．理解对数的概念，掌握指数与对数的相互转化，会运用指数、对数运算法则进行有关运算．
2．掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用．
3．掌握以对数函数为载体的复合函数的有关性质．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0且a≠1)的关系．
【知识要点】
1．对数的定义
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_______________________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．几种常见的对数
对数形式
特 点
记法
一般对数
底数为a(a>0且a≠1)
logaN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e
ln N
3.对数的性质(a>0，且a≠1，N>0)
① ＝N；
②logaaN＝ N；
③换底公式：；logab＝，推广logab·logbc·logcd＝l
ogad.
4．对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN ；
②loga＝logaM－logaN ；
③logaMn＝nlogaM；
④logamMn＝．
5．对数函数的概念、图象和性质
定义
形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数叫对数函数
图象
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1，0)，即x＝1时，y＝0
(4)在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
(5)x>1时，y>0；0
1时，y<0；00
6.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称．
考点训练
一、单选题
1．函数的递增区间为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：令=>0，求得函数的定义域为，且函数y=，本题即求二次函数t（x）在上的增区间．再利用二次函数的性质可得t（x）在上的增区间．
详解：令=>0，求得 x≤1，或x≥2，故函数的定义域为，且函数y=，
故本题即求二次函数t（x）在y=上的增区间．
再利用二次函数的性质可得t（x）在y=上的增区间为，
故选：C．
点睛：复合函数单调性判断的口诀：同增异减，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数.
2．已知 则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
故选A.
点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
3．函数，则使得成立的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先判断出偶函数在上单调递减，然后根据对称性将函数不等式化为绝对值不等式求解．
点睛：①解题时要注意函数性质的综合运用，对于图象具有对称性的函数，在解不等式时，可将不等式转化为变量到对称轴的距离的大小关系求解．
②解绝对值不等式时，要根据绝对值不等式的特点进行求解，解题时要注意绝对值的几何意义的利用．
4．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
【答案】C
【解析】最下层的“浮雕像”的数量为，依题有：公比，解得，则
， ，
从而，故选C.
5．已知函数在区间上单调递增，若成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|00，且a≠1)的值域为{y|01时,易知>2a，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知m>p
又∵(+1)−(a−1)= −a+2恒大于0(二次项系数大于0,根的判别式小于0,函数值恒大于0),即+1>a−1，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知m>n
又∵当a>1时2a显然大于a−1，同上，可知p>n.
综上∴m>p>n.
故选B.
14．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设由，可得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，不合题意，当时，函数在上单调递增， 函数，在区间内单调递增， ， ，a的取值范围是，故选B.
15．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. [ B. C. D.
【答案】A
故选A
二．填空题
16．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为________
【答案】-8
【解析】 由，则，所以的解为.
17．若函数 没有最小值，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】分类讨论：
当时，，函数没有最小值，
当时，应满足有解，故，
综上可得，的取值范围是.
18．定义某种运算，运算原理如流程图所示，则式子的值为______.
【答案】12
19．设函数（且），若是等比数列（）的公比，且
，则的值为_________.
【答案】
【解析】 ， ，
，故答案为.
20．已知函数（且）有下列四个结论．
①恒过定点；
②是奇函数；
③当时，的解集为；
④若，，那么．
其中正确的结论是__________（请将所有正确结论的序号都填在横线上）．
【答案】①②④
所以正确的结论是①②④
点睛: 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断与是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式＋＝0(奇函数)或－＝0(偶函数)是否成立．
21．函数的单调减区间是__________．
【答案】
【解析】， 在上递增，在上递增， 在上递增， 在上递减， 复合函数的性质，可得单调减区间是，故答案为.
22．给出下列命题：
①设表示不超过的最大整数，则
；
②定义：若任意，总有，就称集合为的“闭集”，已知且为6的“闭集”，则这样的集合共有7个；
③已知函数为奇函数， 在区间上有最大值5，那么在上有最小值.其中正确的命题序号是__________．
【答案】①②
点睛：（1）根据可以得到，因此 ，这样的共有，它们的和为，依据这个规律可以写出和并计算该和．
（2）根据闭集的要求， 中每组元素都是同时出现在闭集中或者同时不出现在闭集中，故可以根据子集的个数公式来计算．
（3）注意把非奇非偶函数转化为奇函数或偶函数来讨论．
23．函数恒过定点__________．
【答案】
点睛：对数函数不管底数a如何变化， ；指数函数不管底数a如何变化， ；故对数函数图象过定点，指数函数图象过定点.
三、解答题
24．
计算：（1）;
（2）已知求.
【答案】(1) ；
(2).
【解析】分析：第一问应用指数幂的运算法则以及对数的运算法则以及其意义对每个式子分别求值，最后合并得最后的结果；第二问利用整体思维，去分析应用平方关系，求得量之间的关系，分别求得与的值，最后作除法运算，即得结果.
详解：（1）原式= .
（2）因为
又因为，，所以
所以.
点睛：该题考查的是有关指数幂的运算以及对数式的运算法则及其意义，需要将每个量求出，之后合并即可得结果，第二问在求式子的值的时候，需要先求与的值，在运算的时候，注意整体思维的运用，利用平方将各量之间的关系建立，最后求解即可.
25．已知函数，其中，记函数的定义域为.
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最大值为，求的值；
（3）若对于内的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) .
(2) .
(3) .
【解析】分析：（1）根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于自变量的不等式组，即可求解函数的定义域；
（2）利用对数函数的运算性质，化简函数的解析式，并根据二次函数的图象与性质，可分析出函数的最小值为时，即可求解实数的值.
（3）若不等式恒成立，即在上恒成立，设出新函数，利用基本不等式求解最大值，即可求解实数的取值范围.
详解：（1）要使函数有意义：则有，解得－2＜x＜1
∴ 函数的定义域为
（3）由在恒成立，
得
因为，所以
所以在恒成立
设，令
则
即，因为，
所以（当且仅当时，取等号
所以
所以
点睛：本题考查了函数的定义域，对数函数的图象与性质，以及函数恒成立问题的求解，其中解答中涉及到二次函数的图象与性质和基本不等式求最值的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想方法的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.
26．命题：方程方程表示双曲线，命题：函数的定义域为，若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
【答案】或.
【解析】分析：首先对命题化简，再由命题为真命题，为假命题可知这两个命题是一个为真一个为假，分两种情况，求出结果.
点睛：该题考查的是有关命题的问题，在求解的过程中，首先将两个命题同时为真时对应的参数的范围求出来，之后根据题意得知是一真一假，可以通过题中所给的方法分类讨论，也可以借助于数轴，只有一条线覆盖的区域即为满足条件的值即可得结果.
27．已知集合，
（1）求集合；
（2）若， ，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）利用指数函数的单调性可求出集合，利用对数函数的单调性可求出集合；（2）若，则，可得，若，根据包含关系列不等式组，解不等式组可得，综合两种情况可得实数的取值范围.
28．已知函数的图象过点.
(1)求的值并求函数的值域；
(2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围；
(3)若函数，则是否存在实数，使得函数的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）， ；（2）；（3）存在使得函数的最大值为0.
【解析】试题分析：（1）根据在图象上，代入计算即可求解，因为，所以，所以，可得函数的值域为；（2）原方程等价于的图象与直线有交点，先证明的单调性，可得到的值域，从而可得实数的取值范围；（3）根据， ，转化为二次函数最大值问题，讨论函数的最大值，求解实数即可.
试题解析：（1）因为函数 的图象过点，
所以，即，所以 ，
所以，因为，所以，所以，
所以函数的值域为.
（3）由题意知， ，
令，则，
当时， ，所以，
当时， ，所以（舍去），
综上，存在使得函数的最大值为0.
29．已知命题 使不等式成立；命题函数在上单调递增.求使且为真命题的实数的取值范围．
【答案】
【解析】试题分析：由且为真命题得， 同为真命题，由真可得，由 真可得 ，
所以实数的取值范围是.
30．已知函数．
（）若的定义域为，求实数的取值范围．
（）若的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（）；（）．
【解析】试题分析：
（）定义域为，即，且，解得．
（）值域为，即或，且，解得．
试题解析：
（1）定义域是，则恒成立，∴，解得；
（2）值域是，则的取值包含，所以的最小值
或无最小值，即或，解得．
点睛：在函数值域为时，要注意设，此函数的值域为，则有，不能只考虑的情形，还有时， 是一次函数，其值域是也符合题意．
31．已知函数定义在上且满足下列两个条件:
①对任意都有;
②当时,有，
（1）求，并证明函数在上是奇函数；
（2）验证函数是否满足这些条件；
（3）若，试求函数的零点.
【答案】（1）奇函数（2）见解析（3）.
【解析】试题分析：
（1）对选取特殊值验证可得结论．（2）求出函数的定义域，然后对条件①②分别进行验证可得函数满足这些条件．（3）根据单调性的定义和函数为奇函数可证得在上单调递减，由得故，再根据函数的单调性可得，可求得为函数的零点．
试题解析：
（1）令x=y=0，则
∴．
令，则
∴，
所以函数在（－1，1）上是奇函数.
（3）设，
则
∵,
∴,,
由条件②知，
∴，
∴,
故在(-1,0)上为减函数．
由奇函数性质可知, 在（0，1）上仍是单调减函数.
∴在(-1,1)上单调递减．
，
．
由得
点睛：解析式不知道的函数成为抽象函数，解决抽象函数问题的基本思路有两个：
（1）取特殊值．对于求函数值的问题可选择定义域内的特殊值代入解析式验证求解．
（2）运用所给的性质．解题时要用好所给的函数的性质进行适当的变形，同时要灵活运用函数的其他性质，如单调性、奇偶性等，并在此基础上将抽象问题转化为普通函数问题求解．
32．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求的值．
【答案】64
【解析】试题分析：因为log2(log3(log4x))＝0，所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3，则x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，∴y＝24＝16.代入即得解.
试题解析：
∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，
∴log4x＝3，∴x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，∴y＝24＝16.
因此＝＝8×8＝64.
点睛：本题考查了对数函数的运算性质，注意计算的准确性，是基础题.
方法总结：
1．对数的定义、性质、运算法则及对数函数的图象、性质都是重要的基础知识，必须熟记．
2．指数式与对数式的等价转换是解决有关指数、对数问题的有效方法，对这种互换要能灵活应用．
3．对数换底公式及对数恒等式loganbm＝logab，logab＝也要熟练掌握．
4．指数函数与对数函数互为反函数，要能从定义、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
5．对于含参数的对数问题，在求定义域和单调区间时，要注意对底数进行讨论．
6．在研究对数函数和解对数方程时，要特别注意定义域．
7．在比较对数式大小时，若底数相同可用单调性；若真数相同可用图象(见下表)；若底数真数都不同，可引入中间量.
底的关系
a>b>1
1>a>b>0
图象
底数大于1时，底数越大图象越靠近坐标轴
底数小于1时，底数越小图象越靠近坐标轴
无论底数是大于1还是小于1，在x>1时都是“底小图高”．
