数学理卷·2017届四川省成都市龙泉二中高三5月模拟考试（一）（2017

数学理卷·2017届四川省成都市龙泉二中高三5月模拟考试（一）（2017

成都龙泉第二中学 2017 届高考模拟考试试题（一） 数 学(理工类) 注意事项： 1．本试卷分第 1 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 2．回答第 1 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1．已知集合 A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，R 是实数集，则(∁ RB)∩A 等于 A． B．(0,1] C．(－∞，0] D．以上都不对 2. 已知复数 1 ( )1 aiz a Ri   ，若 z 为纯虚数，则 a 的值为 A. 1 B. 1 2  C. 1 2 D. 1 3．下列说法中，正确的是 A．命题“若 am2＜bm2，则 a＜b”的逆命题是真命题 B．命题“存在 x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意 x∈R，x2﹣x≤0” C．命题“p 或 q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D．已知 x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件 4. 若等差数列{an}的公差 d≠0，前 n 项和为 Sn，若∀n∈N*，都有 Sn≤S10，则 A．∀n∈N*，都有 an＜an﹣1 B．a9•a10＞0 C．S2＞S17 D．S19≥0 5.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 k∶5∶ 3，现用分层抽样方法抽出一个容量为 120 的样本，已知 A 种型号产品共 抽取了 24 件，则 C 种型号产品抽取的件数为 A.24 B.30 C.36 D.40 6.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 A.1 3 ＋2 3 π B.1 3 ＋ 2 3 π C.1 3 ＋ 2 6 π D.1＋ 2 6 π 7. 已知实数 满足不等式组 ，则 的最大值为 A.3 B. 5 C.4 D. 6 8. 执行如图所示的程序框图，若输出的 n=6，则输入整数 p 的最小值是 A．17 B． 16 C．18 D． 19 9.设随机变量 ～B（2，p），η～B（3，p），若 5( 1) 9P    ，则 P（η ≥2）的值为 A． 20 27 B． 8 27 C． 7 27 D． 1 27 10.已知函数 ( )f x 的定义域为 R ， ( 2) 2021f   ，对任意 ( , )x   ，都有 '( ) 2f x x 成立，则不等式 2( ) 2017f x x  的解 集为 A． ( 2, )  B． ( 2,2) C． ( , 2)  D． ( , )  11.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ac＝1 4 b2，sin A＋sin C＝psin B， 且 B 为锐角，则实数 p 的取值范围是 A. (1， 2) B. 6 2 ， 2 C. 6 2 ， 3 D. (1， 3) 12.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分 别为 cba ,, ，三角形的面积 S 可由公式 ))()(( cpbpappS  求得，其中 p 为三角 形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 8,12  cba ，则此三角形面积的最大值为 A. 58 B. 54 C. 154 D. 158 第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把各题答案的最简形式写在题中的 横线上． 13.若两个非零向量 ba, 满足 ababa 2-  ，则向量 abba -与 的夹角为 ， . 14． , ,a b c 分别是 ABC 内角 , ,A B C 的对边， 4a c  ，sin (1 cos ) (2 cos )sinA B A B   ， 则 ABC 面积的最大值为____________. 15．已知 tanα=3，则 sinαsin（ ﹣α）的值是 ． 16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨，生产 每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产 品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 万元 三、解答题:（本题包括 6 小题，共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 csinA＝acosC. (1)求角 C 的大小； (2)求 3sinA－cos ）（ 4 B 的最大值，并求取得最大值时角 A，B 的大小． 18.(本小题满分 12 分) 如图(1)，四边形 ABCD 为矩形，PD⊥平面 ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图(2)折叠： 折痕 EF∥DC，其中点 E，F 分别在线段 PD，PC 上，沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记 为 M，并且 MF⊥CF. (1)证明：CF⊥平面 MDF； (2)求三棱锥 M－CDE 的体积. 19.(本小题满分 12 分) 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结 果统计如下： 赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是 新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率. 20．(本小题满分 12 分) 已知直线 l 的方程为 y=x+2，点 P 是抛物线 y2=4x 上到直线 l 距离最小的点，点 A 是抛 物线上异于点 P 的点，直线 AP 与直线 l 交于点 Q，过点 Q 与 x 轴平行的直线与抛物线 y2=4x 交于点 B． （Ⅰ）求点 P 的坐标； （Ⅱ）证明直线 AB 恒过定点，并求这个定点的坐标． 21.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)＝ln x＋ a ex . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间； (Ⅱ)若 a＝2，证明：对任意的实数 x>0，都有 f(x)>e－x. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请 写清题号。 22.（本小题满分 10 分）【选修 4—4：坐标系与参数方程】 在极坐标系中，曲线C 的方程为 2 cos2 9   ，点 (2 3, )6P  ．以极点O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系． （1）求直线 OP 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 OP 与曲线C 交于 A 、 B 两点，求 1 1 | | | |PA PB  的值． 23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲． 设函数 f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为 a． （1）求 a 的值； （2）已知 m，n＞0，m+n=a，求 的最小值． 成都龙泉第二中学 2017 届高考模拟考试试题（一） 数 学(理工类)参考答案 1—5 BDBDC 6—10 CBBDC 11—12 BA 13. 3  14. 3 15. ﹣ 16. 27 17.解：(1)由正弦定理得 sinCsinA＝sinAcosC. 因为 00. 从而 sinC＝cosC. 又 cosC≠0，所以 tanC＝1，则 C＝ π 4. (2)由(1)知，B＝ 3π 4－A，于是 sinA－cos π 4＝sinA－cos(π－A) ＝sinA＋cosA＝2sin π 6. 因为 00，f′(x)＝1 x － a ex2＝ex－a ex2 ①当 a≤0 时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，有 x＝a e ， x 0，a e a e a e ，＋∞ f′(x) － 0 ＋ f(x) 极小值 所以 f(x)的单调减区间为 0，a e ，单调增区间为 a e ，＋∞ .6 分 综合①②，当 a≤0 时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增；当 a>0 时，f(x)的单调减区间 为 0，a e ，单调增区间为 a e ，＋∞ . (Ⅱ)要证明 f(x)>e－x，即证明 eln x＋2 x > 1 ex－1， 下面先证明：ex≥x＋1(x≥0)． 构造函数 h(x)＝ex－(x＋1)(x≥0)，h′(x)＝ex－1. 令 h′(x)＝0 得 x＝0，当 x≥0 时，h′(x)≥0 即 h(x)在 10，＋∞)上单调递增． ∴h(x)＝ex－(x＋1)≥h(0)＝0. 于是有 ex>x＋1，x>0. ∴当 x>0 时，ex－1>x. 从而 1 ex－1<1 x .9 分 接下来只需证：eln x＋2 x ≥1 x ， 即证：eln x＋1 x ≥0， 令 F(x)＝eln x＋1 x (x>0)，则 F′(x)＝e x －1 x2＝ex－1 x2 ， 所以 F(x)在 0，1 e 上单调递减， 1 e ，＋∞ 上单调递增， 即 F(x)≥F 1 e ＝0， ∵x＝1 e 时，ex－1>x， ∴0< 1 ex－1<1 x ， ∴eln x＋2 x > 1 ex－1.(12 分) 22．解：（1） 33 2 13 2 x t y t       （t 为参数）， 2 2 9x y  ；（2） 2 . 试题解析：（1）∵化为直角坐标可得 (3, 3)P ， = 6  ， ∴直线OP 的参数方程为： 33 ,2 13 .2 x t y t       ∵ 2 2 2 2cos sin 9     ， ∴曲线C 的直角坐标方程： 2 2 9x y  ，得： 2 4 3 6 0t t   ， ∴ 1 2 4 3t t   ， 1 2 6 0t t    ， ∴ 1 2 1 2 1 2 | |1 1 1 1 2| | | | | | | | | | t t PA PB t t t t      ． 23.选修 4－5：不等式选讲 解：1）函数 f（x）=|x+1|+|2x﹣1|= ，故函数的减区间为（﹣∞， ]， 增区间为（ ，+∞）， 故当 x= 时，函数 f（x）取得最小值为 a= ． --5 分 （2）已知 m，n＞0，m+n=a= ，∴ =（ + ）• = 1+ + +4]= + （ + ） ≥ + •2 =6，当且仅当 = 时，取等号， 故 的最小值为 6．---------------------10