高三数学（理数）总复习练习专题七 三角恒等变换与解三角形

高三数学（理数）总复习练习专题七 三角恒等变换与解三角形

‎　(2015·课标Ⅰ，2，易)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎【答案】　D　原式＝sin 20° cos 10°＋cos 20° sin 10°＝sin 30°＝.‎ ‎1．(2013·重庆，9，易)4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. C. D．2－1‎ ‎【答案】　C　4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝，故选C.‎ ‎2．(2012·重庆，5，易)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎【答案】　A　由根与系数关系知 而tan(α＋β)＝＝＝－3，故选A.‎ ‎3．(2012·四川，4，易)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　方法一：由题意可得sin∠AED＝cos∠AED＝，‎ sin∠AEC＝＝，‎ cos∠AEC＝＝，‎ ‎∴sin∠CED＝sin(∠AED－∠AEC)‎ ‎＝×－×＝.‎ 方法二：在Rt△EAD和Rt△EBC中，易知ED＝，EC＝，在△DEC中，由余弦定理得cos∠CED＝＝＝.∴sin∠CED＝，故选B.‎ ‎4．(2013·四川，13，易)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．‎ ‎【解析】　方法一：sin 2α＝－sin α⇒‎ ‎2sin αcos α＝－sin α，‎ ‎∵α∈，‎ ‎∴sin α≠0，∴cos α＝－，则sin α＝，‎ ‎∴tan α＝－，而tan 2α＝＝＝.‎ 方法二：同方法一，得cos α＝－，‎ 又α∈，则α＝.‎ ‎∴tan 2α＝tan＝.‎ ‎【答案】　 ‎5．(2013·课标Ⅰ，15，中)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．‎ ‎【解析】　由辅助角公式得 f(x)＝ ‎＝sin(x－φ)，‎ 其中sin φ＝，cos φ＝，‎ 由x＝θ时，f(x)取得最大值得sin(θ－φ)＝1，‎ ‎∴θ－φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 即θ＝φ＋＋2kπ，‎ ‎∴cos θ＝cos＝－sin φ＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎6．(2013·课标Ⅱ，15，中)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．‎ ‎【解析】　tan θ＝tan＝＝－，‎ ‎∴sin θ＝－cos θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1得cos2θ＝1，‎ ‎∴cos2θ＝，易知cos θ<0，‎ ‎∴cos θ＝－，sin θ＝，‎ 故sin θ＋cos θ＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎7．(2014·江西，16，12分，易)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.‎ ‎(1)若a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；‎ ‎(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．‎ 解：(1)f(x)＝sin＋cos ‎＝(sin x＋cos x)－sin x ‎＝cos x－sin x ‎＝sin，‎ 因为x∈[0，π]，‎ 所以－x∈.‎ 故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.‎ ‎(2)由 得 由θ∈知cos θ≠0，‎ 解得 考向　三角函数式的化简与求值 ‎1．两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(Sα＋β)‎ sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(Sα－β)‎ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(Cα＋β)‎ cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(Cα－β)‎ tan(α＋β)＝；(Tα＋β)‎ tan(α－β)＝.(Tα－β)‎ ‎2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α；(S2α)‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α)‎ tan 2α＝.(T2α)‎ ‎3．公式的变形与应用 ‎(1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；‎ tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．‎ ‎(2)升幂公式 ‎1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2.‎ ‎(3)降幂公式 sin2α＝；cos2α＝.‎ ‎(4)其他常用变形 sin 2α＝＝；‎ cos 2α＝＝；‎ ‎1±sin α＝；‎ tan＝＝.‎ ‎4．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，‎ 其中cos φ＝，sin φ＝.‎ ‎5．角的拆分与组合 ‎(1)已知角表示未知角 例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，‎ α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，‎ α＝－＝＋.‎ ‎(2)互余与互补关系 例如，＋＝π，‎ ＋＝.‎ ‎(3)非特殊角转化为特殊角 例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.‎ ‎(1)(2013·浙江，6)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎(2)(2014·课标Ⅰ，8)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ ‎(3)(2014·广东，16，12分)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.‎ ‎①求A的值；‎ ‎②若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.‎ ‎【解析】　(1)(sin α＋2cos α)2＝，展开得3cos2α＋4sin α·cos α＝，再由二倍角公式得 cos 2α＋2sin 2α＝0，‎ 故tan 2α＝＝－＝－，故选C.‎ ‎(2)由tan α＝得＝，‎ 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，‎ ‎∴sin(α－β)＝cos α＝sin.‎ ‎∵α∈，β∈，‎ ‎∴α－β∈，－α∈，‎ ‎∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，‎ ‎∴2α－β＝，故选C.‎ ‎(3)①f＝Asin ‎＝Asin＝A＝，‎ ‎∴A＝.‎ ‎②f(θ)＋f(－θ)‎ ‎＝sin＋sin ‎＝＋ ‎＝2cos θ·sin ‎＝cos θ＝.‎ ‎∴cos θ＝，又θ∈，∴sin θ＝.‎ ‎∴f＝sin(π－θ)＝sin θ＝.‎ ‎【点拨】　解题(1)的关键是准确利用平方关系及诱导公式进行转化；解题(2)的关键是利用诱导公式进行转化或利用“切化弦”；解题(3)的思路是①由f的值直接求出A的值；②化简f(θ)＋f(－θ)＝可得cos θ的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sin θ，再化简f可得答案．‎ ‎ 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 ‎(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．‎ ‎(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．‎ ‎(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”‎ 等．‎ ‎2．三角函数求值的类型及方法 ‎(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．‎ ‎(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．‎ ‎(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．‎ 在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”．‎ ‎(2014·江苏，15，14分)已知α∈，sin α＝.‎ ‎(1)求sin的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ 解：(1)因为α∈，sin α＝，‎ 所以cos α＝－＝－.‎ 故sin＝sincos α＋cossin α ‎＝×＋×＝－.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α＝2sin α cos α＝2××＝－，‎ cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，‎ 所以cos ‎＝coscos 2α＋sinsin 2α ‎＝×＋× ‎＝－.‎ ‎1．(2015·河南许昌一模，5)已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎【答案】　C　cos2＝＝＝.‎ ‎2．(2015·安徽阜阳期末，7)化简＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎【答案】　C　原式 ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝.‎ ‎3．(2014·江西新余三模，6)若α∈，且3cos 2α＝4sin，则sin 2α的值为(　　)‎ A. B．－ C．－ D. ‎【答案】　B　由已知得3(cos2α－sin2α)＝2(cos α－sin α)，‎ ‎∵α∈，∴cosα－sin α≠0，‎ ‎∴3(cos α＋sin α)＝2，‎ ‎∴cos α＋sin α＝，1＋sin 2α＝，‎ ‎∴sin 2α＝－.‎ ‎4．(2015·河北邯郸一模，9)已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为(　　)‎ A. B. C．± D．± ‎【答案】　C　∵θ为第二象限角，‎ ‎∴2kπ＋<θ<2kπ＋π，k∈Z，‎ 即kπ＋<0，‎ 所以A∈.‎ 于是sin A＋sin C＝sin A＋sin ‎＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1‎ ‎＝－2＋.‎ 因为0b 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎　　上表中A为锐角时，a0，∴sin A＝1，即A＝，故选B.‎ ‎(2)①由已知，根据正弦定理得 ‎2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 故cos A＝－，‎ 又00，∴m＝.‎ ‎【答案】　 ‎9．(2015·河北秦皇岛一模，17，12分)在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，满足2·＝a2－(b＋c)2.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)求2cos2－sin的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．‎ 解：(1)由已知得2bccos A＝a2－(b＋c)2，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，得4bccos A＝－2bc，‎ ‎∴cos A＝－，‎ ‎∵0b，则∠B＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A　由正弦定理得sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin B，即sin Bsin(A＋C)＝sin B，因为sin B≠0，sin(A＋C)＝sin B，所以sin B＝，所以B＝或，又因为a>b，所以∠B＝，故选A.‎ ‎7．(2015·湖南益阳质检，7)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β等于(　　)‎ A. B. C. D.π ‎【答案】　C　∵0<β<α<，－<－β<0，‎ ‎∴0<α－β<，‎ ‎∴sin α＝，sin(α－β)＝.‎ ‎∴cos β＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝，‎ ‎∴β＝.‎ ‎8．(2013·天津，6)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C　在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝()2＋32－2××3×＝5，解得AC＝.再由正弦定理得sin ∠BAC＝＝＝，故选C.‎ ‎9．(2015·福建泉州一模，6)若sin＝，则cos＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】　A　∵cos ‎＝sin＝，‎ 即cos＝，‎ ‎∴cos＝2cos2－1＝2×－1＝－，故选A.‎ ‎10．(2011·天津，6)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D　设BD＝1，则AB＝AD＝，BC＝2.在△ABD中，由余弦定理得cos A＝－，所以sin A＝，在△ABC中，由正弦定理＝，得sin C＝，故选D.‎ ‎11．(2014·四川成都五校联考，5)已知锐角α满足cos 2α＝cos，则sin 2α等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎【答案】　A　∵α∈，‎ ‎∴2α∈(0，π)，－α∈.‎ 又cos 2α＝cos，‎ ‎∴2α＝－α或2α＋－α＝0，‎ ‎∴α＝或α＝－(舍)，‎ ‎∴sin 2α＝sin＝，故选A.‎ ‎12．(2014·江西南昌三模，8)设α∈，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎【答案】　D　＋＝ ‎＝ ‎＝－2sin αcos α.‎ 令sin αcos α＝t，则t＝sin 2α.‎ ‎∵α∈，∴t∈.‎ 令g(t)＝－2t，g(t)在上是减函数，‎ ‎∴当t＝时，g(t)min＝2－1＝1，故选D.‎ 二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分)‎ ‎13．(2012·北京，11)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________．‎ ‎【解析】　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得b2＝22＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b＝60，即b＝4.‎ ‎【答案】　4‎ ‎14．(2014·福建，12)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．‎ ‎【解析】　由＝，得sin B＝sin A＝×＝1，‎ ‎∴B＝90°，故C＝30°，‎ ‎∴S△ABC＝AC·BCsin C＝×4×2×＝2.‎ ‎【答案】　2 ‎15．(2011·上海，6)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是________千米．‎ ‎【解析】　如图，∠C＝180°－60°－75°＝45°.‎ 由正弦定理＝ 得AC＝AB·＝2× ‎＝(千米).．‎ ‎【答案】　 ‎16．(2012·江苏，11)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．‎ ‎【解析】　∵0<α<，‎ ‎∴<α＋<.‎ 又cos＝，‎ ‎∴sin＝＝，‎ ‎∴sin ‎＝2sincos ‎＝2××＝，‎ cos＝2cos2－1‎ ‎＝2×－1＝，‎ ‎∴sin＝sin ‎＝sincos－‎ cossin ‎＝×－× ‎＝.‎ ‎【答案】　 三、解答题(共6小题，共74分)‎ ‎17．(12分)(2014·四川，16)已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，‎ 求cos α－sin α的值．‎ 解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z.‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.‎ 所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，有sin ‎＝cos(cos2α－sin2α)，‎ 所以sin αcos＋cos αsin ‎＝(cos2α－sin2α)．‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.‎ 此时，cos α－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ ‎18．(12分)(2013·课标Ⅱ，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝bcos C＋csin B.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，①‎ 又A＝π－(B＋C)，‎ 故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，②‎ 由①②和C∈(0，π)，得sin B＝cos B.‎ 又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac，‎ 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 即4＝a2＋c2－2accos.‎ 又a2＋c2≥2ac，‎ 故ac≤＝4＋2，‎ 当且仅当a＝c时，等号成立．‎ 此时S＝×(4＋2)＝＋1，‎ 因此△ABC面积的最大值为＋1.‎ 思路点拨：解本题的思路是先用正弦定理化边为角，求出B，再用基本不等式求面积的最值，注意等号成立的条件．‎ ‎19．(12分)(2012·重庆，18)设f(x)＝4cossin ωx－cos(2ωx＋π)，其中ω>0.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的值域；‎ ‎(2)若f(x)在区间上为增函数，求ω的最大值．‎ 解：(1)f(x)＝4·sin ωx＋cos 2ωx ‎＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx ‎＝sin 2ωx＋1，‎ ‎∵－1≤sin 2ωx≤1，‎ ‎∴函数y＝f(x)的值域为[1－，1＋]．‎ ‎(2)∵y＝sin x在每个闭区间(k∈Z)上为增函数，‎ ‎∴f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在每个闭区间(k∈Z)上为增函数．‎ 依题意知⊆‎ 对某个k∈Z成立，‎ 此时必有k＝0.∴ 解得ω≤，故ω的最大值为.‎ ‎20．(12分)(2013·四川，17)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－‎ B)sin B＋cos(A＋C)＝－.‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．‎ 解：(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得 ‎[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，‎ 即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.‎ 则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.‎ ‎(2)由cos A＝－，0b，则A>B，故B＝.‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 即(4)2＝52＋c2－2×5c×，‎ 解得c＝1或c＝－7(舍去)．‎ 故向量在方向上的投影为||cos B＝.‎ ‎21．(12分)(2015·辽宁沈阳一模，17)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449)．‎ 解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，‎ 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线，‎ 所以BD＝BA.‎ 在△ABC中，＝，‎ 即AB＝，‎ 又sin 15°＝sin(60°－45°)‎ ‎＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°‎ ‎＝×－×＝，‎ 所以AB＝＝，‎ 因此，BD＝≈0.33(km)．‎ 故B，D的距离约为0.33 km.‎ ‎22．(14分)(2015·山东滨州一模，16)已知函数f(x)＝2cos2x－sin.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f(A)＝，b＋c＝2，求实数a的最小值．‎ 解：(1)f(x)＝2cos2x－sin ‎＝(1＋cos 2x)－ ‎＝1＋sin 2x＋cos 2x ‎＝1＋sin.‎ ‎∴函数f(x)的最大值为2.‎ 要使f(x)取最大值，‎ 则sin＝1，‎ ‎∴2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋，k∈Z.‎ 故f(x)取最大值时x的取值集合为 .‎ ‎(2)由题意知，f(A)＝sin＋1＝，‎ 化简得sin＝.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴2A＋∈，‎ ‎∴2A＋＝，∴A＝.‎ 在△ABC中，根据余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc.‎ 由b＋c＝2，知bc≤＝1，‎ 即a2≥1.‎ ‎∴当b＝c＝1时，实数a的最小值为1.‎