2017年北京市中考数学试卷

2017年北京市中考数学试卷

2017 年北京市中考数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1．（3 分）如图所示，点 P 到直线 l 的距离是（ ） A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度 C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度 2．（3 分）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） A．x=0 B．x=4 C．x≠0D．x≠4 3．（3 分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱 4．（3 分）实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论 是（ ） A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．b+c＞0 5．（3 分）下列图形中，是轴对称图形但不是．．中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 6．（3 分）若正多边形的一个内角是 150°，则该正多边形的边数是（ ） A．6 B．12 C．16 D．18 7．（3 分）如果 a2+2a﹣1=0，那么代数式（a﹣ ）• 的值是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 8．（3 分）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况． 2011﹣2016 年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图 （以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》） 根据统计图提供的信息，下列推理不合理．．．的是（ ） A．与 2015 年相比，2016 年我国与东欧地区的贸易额有所增长 B．2011﹣2016 年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长 C．2011﹣2016 年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过 4200 亿美元 D．2016 年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的 3 倍还多 9．（3 分）小苏和小林在如图 1 所示的跑道上进行 4×50 米折返跑．在整个过程 中，跑步者距起跑线的距离 y（单位：m）与跑步时间 t（单位：s）的对应关系 如图 2 所示．下列叙述正确的是（ ） A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C．小苏前 15s 跑过的路程大于小林前 15s 跑过的路程 D．小林在跑最后 100m 的过程中，与小苏相遇 2 次 10．（3 分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以“钉尖向上” 的概率是 0.616； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动，显示出一定的 稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000 时，“钉尖向上”的概率一定 是 0.620． 其中合理的是（ ） A．① B．② C．①② D．①③ [来源:Zxxk.Com] 二、填空题（本题共 18 分，每题 3 分） 11．（3 分）写出一个比 3 大且比 4 小的无理数： ． 12．（3 分）某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 435 元，其中 篮球的单价比足球的单价多 3 元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意，可列方程组为 ． 13．（3 分）如图，在△ABC 中，M、N 分别为 AC，BC 的中点．若 S△CMN=1，则 S 四边形 ABNM= ． 14．（3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为⊙O 上的点， = ．若∠CAB=40°， 则∠CAD= ． 15．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△AOB 可以看作是△OCD 经过若 干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD 得到△AOB 的过程： ． 16．（3 分）图 1 是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作 Rt△ABC 的外接圆． 作法：如图 2． （1）分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 P，Q 两点； （2）作直线 PQ，交 AB 于点 O； （3）以 O 为圆心，OA 为半径作⊙O．⊙O 即为所求作的圆． 请回答：该尺规作图的依据是 ． 三、解答题（本题共 72 分，第 17 题-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（5 分）计算：4cos30°+（1﹣ ）0﹣ +|﹣2|． 18．（5 分）解不等式组： ． 19．（5 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D． 求证：AD=BC． 20．（5 分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线 上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所 示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》 九题古证． （以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学 泰斗刘徽》） 请根据该图完成这个推论的证明过程． 证明：S 矩形 NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S 矩形 EBMF=S△ABC﹣（ + ）． 易知，S△ADC=S△ABC， = ， = ． 可得 S 矩形 NFGD=S 矩形 EBMF． 21．（5 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+3）x+2k+2=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于 1，求 k 的取值范围． 22．（5 分）如图，在四边形 ABCD 中，BD 为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ ABD=90°，E 为 AD 的中点，连接 BE． （1）求证：四边形 BCDE 为菱形； （2）连接 AC，若 AC 平分∠BAD，BC=1，求 AC 的长． 23．（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （x＞0）的图象与直线 y=x﹣2 交于点 A（3，m）． （1）求 k、m 的值； （2）已知点 P（n，n）（n＞0），过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y=x﹣2 于 点 M，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交函数 y= （x＞0）的图象于点 N． ①当 n=1 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由； ②若 PN≥PM，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围． 24．（5 分）如图，AB 是⊙O 的一条弦，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EC⊥OA 于点 C，过点 B 作⊙O 的切线交 CE 的延长线于点 D． （1）求证：DB=DE； （2）若 AB=12，BD=5，求⊙O 的半径． 25．（5 分）某工厂甲、乙两个部门各有员工 400 人，为了解这两个部门员工的 生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 收集数据 从甲、乙两个部门各随机抽取 20 名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百 分制）如下： 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成 绩 x 人 数 部 门 40≤x≤ 49 50≤x≤ 59 60≤x≤ 69 70≤x≤ 79 80≤x≤ 89 90≤x ≤100 甲 0 0 1 11 7 1 乙 （说明：成绩 80 分及以上为生产技能优秀，70﹣﹣79 分为生产技能良好，60﹣ ﹣69 分为生产技能合格，60 分以下为生产技能不合格） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 部 平均 中位 众 门 数 数 数 甲 78.3 77.5 75 乙 78 80.5[来 源:Zxxk.Com] 81 得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 ；b．可以推断出 部门员工的生产技能水平较高，理由为 ．（至少从两个不同的角度说明推 断的合理性） 26．（5 分）如图，P 是 所对弦 AB 上一动点，过点 P 作 PM⊥AB 交 于点 M， 连接 MB，过点 P 作 PN⊥MB 于点 N．已知 AB=6cm，设 A、P 两点间的距离为 xcm， P、N 两点间的距离为 ycm．（当点 P 与点 A 或点 B 重合时，y 的值为 0） 小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 0 2.0 2.3 2.1 0.9 0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出 该函数的图象． （3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN 为等腰三角形时，AP 的长度约 为 cm． 27．（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2﹣4x+3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． （1）求直线 BC 的表达式； （2）垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于点 P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线 BC 交于点 N（x3，y3），若 x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求 x1+x2+x3 的取值范围． 28．（7 分）在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，P 是线段 BC 上一动点（与点 B、 C 不重合），连接 AP，延长 BC 至点 Q，使得 CQ=CP，过点 Q 作 QH⊥AP 于点 H， 交 AB 于点 M． （1）若∠PAC=α，求∠AMQ 的大小（用含α的式子表示）． （2）用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系，并证明． 29．（8 分）在平面直角坐标 系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下的定义：若在 图形 M 上存在一点 Q，使得 P、Q 两点间的距离小于或等于 1，则称 P 为图形 M 的关联点． （1）当⊙O 的半径为 2 时， ①在点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0）中，⊙O 的关联点是 ． ②点 P 在直线 y=﹣x 上，若 P 为⊙O 的关联点，求点 P 的横坐标的取值范围． （2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，直线 y=﹣x+1 与 x 轴、y 轴交于点 A、B．若 线段 AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心 C 的横坐标的取值范围． 2017 年北京市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1．（3 分）（2017•北京）如图所示，点 P 到直线 l 的距离是（ ） A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度 C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度 【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案． 【解答】解：由题意，得 点 P 到直线 l 的距离是线段 PB 的长度， 故选：B． 【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是解题关键． 2．（3 分）（2017•北京）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） A．x=0 B．x=4 C．x≠0D．x≠4 【分析】根据分式有意义的条件即可求出 x 的范围； 【解答】解：由代数式有意义可知：x﹣4≠0， ∴x≠4， 故选（D） 【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件， 本题属于基础题型． 3．（3 分）（2017•北京）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱 【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱． 【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱． 故选：A． 【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理 解． 4．（3 分）（2017•北京）实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示， 则正确的结论是（ ） A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．b+c＞0 【分析】根据数轴上点的位置关系，可得 a，b，c，d 的大小，根据有理数的运 算，绝对值的性质，可得答案． 【解答】解：由数轴上点的位置，得 a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d． A、a＜﹣4，故 A 不符合题意； B、bd＜0，故 B 不符合题意； C、|a|＞4=|d|，故 C 符合题意； D、b+c＜0，故 D 不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得出 a，b，c，d 的 大小是解题关键． 5．（3 分）（2017•北京）下列图形中，是轴对称图形但不是．．中心对称图形的是 （ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误． 故选 A． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻 找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 6．（3 分）（2017•北京）若正多边形的一个内角是 150°，则该正多边形的边数是 （ ） A．6 B．12 C．16 D．18 【分析】根据多边形的内角和，可得答案． 【解答】解：设多边形为 n 边形，由题意，得 （n﹣2）•180°=150n， 解得 n=12， 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用内角和公式是解题关键． 7．（3 分）（2017•北京）如果 a2+2a﹣1=0，那么代数式（a﹣ ）• 的值是 （ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后对 a2+2a﹣1=0 变 形即可解答本题． 【解答】解：（a﹣ ）• = = =a（a+2） =a2+2a， ∵a2+2a﹣1=0， ∴a2+2a=1， ∴原式=1， 故选 C． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 8．（3 分）（2017•北京）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的 贸易情况． 2011﹣2016 年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图 （以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》） 根据统计图提供的信息，下列推理不合理．．．的是（ ） A．与 2015 年相比，2016 年我国与东欧地区的贸易额有所增长 B．2011﹣2016 年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长 C．2011﹣2016 年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过 4200 亿美元 D．2016 年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的 3 倍还多 【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案． 【解答】解：A、由折线统计图可得： 与 2015 年相比，2016 年我国与东欧地区的贸易额有所增长，正确，不合题意； B、由折线统计图可得：2011﹣2014 年，我国与东南亚地区的贸易额 2014 年后 有所下降，故逐年增长错误，故此选项错误，符合题意； C、2011﹣2016 年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值为： （3632.5+4003.0+4436.5+4803.6+4718.7+4554.4）÷6≈4358， 故超过 4200 亿美元，正确，不合题意， D、∵4554.4÷1368.2≈3.33， ∴2016 年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的 3 倍还多， 故选：B． 【点评】此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键． 9．（3 分）（2017•北京）小苏和小林在如图 1 所示的跑道上进行 4×50 米折返跑．在 整个过程中，跑步者距起跑线的距离 y（单位：m）与跑步时间 t（单位：s）的 对应关系如图 2 所示．下列叙述正确的是（ ） A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C．小苏前 15s 跑过的路程大于小林前 15s 跑过的路程 D．小林在跑最后 100m 的过程中，与小苏相遇 2 次 【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后 到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度= ，根据行程问题的数 量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平 均速度，根据图象小苏前 15s 跑过的路程小于小林前 15s 跑过的路程，两人相遇 时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答． 【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先 到达终点，故 A 错误； 根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的 时间多，而路程相同，根据速度= ，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑 全程的平均速度，故 B 错误； 根据图象小苏前 15s 跑过的路程小于小林前 15s 跑过的路程，故 C 错误； 小林在跑最后 100m 的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象 可知 2 次，故 D 正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象 上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 10．（3 分）（2017•北京）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实 验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以“钉尖向上” 的概率是 0.616； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动，显示出一定的 稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000 时，“钉尖向上”的概率一定 是 0.620． 其中合理的是（ ） A．① B．② C．①② D．①③ 【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以 此时“钉尖向上”的可能性是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是 0.616，故①错误， 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动，显示出一定的稳 定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618．故②正确， 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000 时，“钉尖向上”的概率可能是 0.620，但不一定是 0.620，故③错误， 故选 B． 【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用 数形结合的思想解答． 二、填空题（本题共 18 分，每题 3 分） 11．（3 分）（2017•北京）写出一个比 3 大且比 4 小的无理数： π ． 【分析】根据无理数的定义即可． 【解答】解：写出一个比 3 大且比 4 小的无理数：π， 故答案为：π． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数， 无限不循环小数为无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式． 12．（3 分）（2017•北京）某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 435 元，其中篮球的单价比足球的单价多 3 元，求篮球的单价和足球的单价．设 篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意，可列方程组为 ． 【分析】根据题意可得等量关系：①4 个篮球的花费+5 个足 球的花费=435 元， ②篮球的单价﹣足球的单价=3 元，根据等量关系列出方程组即可． 【解答】解：设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，由题意得： ， 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题 意，找出题目中的等量关系． 13．（3 分）（2017•北京）如图，在△ABC 中，M、N 分别为 AC，BC 的中点．若 S△CMN=1，则 S 四边形 ABNM= 3 ． 【分析】证明 MN 是△ABC 的中位线，得出 MN∥AB，且 MN= AB，证出△CMN ∽△CAB，根据面积比等于相似比平方求出△CMN 与△CAB 的面积比，继而可得 出△CMN 的面积与四边形 ABNM 的面积比．最后求出结论． 【解答】解：∵M，N 分别是边 AC，BC 的中点， ∴MN 是△ABC 的中位线， ∴MN∥AB，且 MN= AB， ∴△CMN∽△CAB， ∴ =（ ）2= ， ∴ = ， ∴S 四边形 ABNM=3S△CMN=3×1=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三 角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键． 14．（3 分）（2017•北京）如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为⊙O 上的点， = ．若 ∠CAB=40°，则∠CAD= 25° ． 【分析】先求出∠ABC=50°，进而判断出∠ABD=∠CBD=25°，最后用同弧所对的 圆周角相等即可得出结论． 【解答】解：如图，连接 BC，BD， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=40°， ∴∠ABC=50°， ∵ = ， ∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=25°， ∴∠CAD=∠CBD=25°． 故答案为：25°． 【点评】本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性 质，解本题的关键是作出辅助线． 15．（3 分）（2017•北京）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△AOB 可以看作是 △OCD 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋 转）得到的，写出一种由△ OCD 得到△AOB 的过程： △OCD 绕 C 点顺时针旋转 90°，并向左平移 2 个单位 得到△AOB ． 【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD 得到△AOB 的过程． 【解答】解：△OCD 绕 C 点顺时针旋转 90°，并向左平移 2 个单位得到△AOB（答 案不唯一）． 故答案为：△OCD 绕 C 点顺时针旋转 90°，并向左平移 2 个单位得到△AOB． 【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的 距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应 点与旋转中心连线的夹角的大小． 16．（3 分）（2017•北京）图 1 是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作 Rt△ABC 的外接圆． 作法：如图 2． （1） 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 P，Q 两点； （2）作直线 PQ，交 AB 于点 O； （3）以 O 为圆心，OA 为半径作⊙O．⊙O 即为所求作的圆． 请回答：该尺规作图的依据是 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直 平分线上；两点确定一条直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义． ． 【分析】由于 90°的圆周角所对的弦是直径，所以 Rt△ABC 的外接圆的圆心为 AB 的中点，然后作 AB 的中垂线得到圆心后即可得到 Rt△ABC 的外接圆． 【解答】解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上；90°的圆周角所对的弦是直径． 故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一 直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行 作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟 悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图， 逐步操作． 三、解答题（本题共 72 分，第 17 题-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（5 分）（2017•北京）计算：4cos30°+（1﹣ ）0﹣ +|﹣2|． 【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别 化简得出答案． 【解答】解：原式=4× +1﹣2 +2 =2 ﹣2 +3 =3． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18．（5 分）（2017•北京）解不等式组： ． 【分析】利用不等式的性质，先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解： ， 由①式得 x＜3； 由②式得 x＜2， 所以不等式组的解为 x＜2． 【点评】此题考查解不等式组；求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较 大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 19．（5 分）（2017•北京）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D． 求证：AD=BC． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=C=72°，根据角平分线的定义得到∠ ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论． 【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D， ∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°， ∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C， ∴AD=BD=BC． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键， 注意三角形内角和定理的应用． 20．（5 分）（2017•北京）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从 长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相 等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海 岛算经》九题古证． （以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学 泰斗刘徽》） 请根据该图完成这个推论的证明过程． 证明：S 矩形 NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S 矩形 EBMF=S△ABC﹣（ S△AEF + S△FCM ）． 易知，S△ADC=S△ABC， S△ANF = S△AEF ， S△FGC = S△FMC ． 可得 S 矩形 NFGD=S 矩形 EBMF． 【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即 可证明结论． 【解答】证明：S 矩形 NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S 矩形 EBMF=S△ABC﹣（ S△ANF+S△FCM）． 易知，S△ADC=S△ABC，S△ANF=S△AEF，S△FGC=S△FMC， 可得 S 矩形 NFGD=S 矩形 EBMF． 故答案分别为 S△AEF，S△FCM，S△ANF，S△AEF，S△FGC，S△FMC． 【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成 面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型． [来源:学科网 ZXXK] 21．（5 分）（2017•北京）关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+3）x+2k+2=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于 1，求 k 的取值范围． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k﹣1）2≥0，由此可 证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出 x1=2、x2=k+1，根据方程有一根 小于 1，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围． 【解答】（1）证明：∵在方程 x2﹣（k+3）x+2k+2=0 中，△=[﹣（k+3）]2﹣4×1 ×（2k+2）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2=（x﹣2）（x﹣k﹣1）=0， ∴x1=2，x2=k+1． ∵方程有一根小于 1， ∴k+1＜1，解得：k＜0， ∴k 的取值范围为 k＜0． 【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不 等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0 时，方程有两个实数根”；（2）利用因 式分解法解一元二次方程结合方程一根小于 1，找出关于 k 的一元一次不等式． 22．（5 分）（2017•北京）如图，在四边形 ABCD 中，BD 为一条对角线，AD∥BC， AD=2BC，∠ABD=90°，E 为 AD 的中点，连接 BE． （1）求证：四边形 BCDE 为菱形； （2）连接 AC，若 AC 平分∠BAD，BC=1，求 AC 的长． 【分析】（1）由 DE=BC，DE∥BC，推出四边形 BCDE 是平行四边形，再证明 BE=DE 即可解决问题； （2）在 Rt△ACD 中只要证明∠ADC=60°，AD=2 即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵AD=2BC，E 为 AD 的中点， ∴DE=BC， ∵AD∥BC， ∴四边形 BCDE 是平行四边形， ∵∠ABD=90°，AE=DE， ∴BE=DE， ∴四边形 BCDE 是菱形． （2）解：连接 AC． ∵AD∥BC，AC 平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA， ∴AB=BC=1， ∵AD=2BC=2， ∴sin∠ADB= ， ∴∠ADB=30°， ∴∠DAC=30°，∠ADC=60°， 在 Rt△ACD 中，∵AD=2， ∴CD=1，AC= ． 【点评】本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函 数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型． 23．（5 分）（2017•北京）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （x＞0） 的图象与直线 y=x﹣2 交于点 A（3，m）． （1）求 k、m 的值； （2）已知点 P（n，n）（n＞0），过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y=x﹣2 于 点 M，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交函数 y= （x＞0）的图象于点 N． ①当 n=1 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由； ②若 PN≥PM，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围． 【分析】（1）将 A 点代入 y=x﹣2 中即可求出 m 的值，然后将 A 的坐标代入反比 例函数中即可求出 k 的值． （2）①当 n=1 时，分别求出 M、N 两点的坐标即可求出 PM 与 PN 的关系； ②由题意可知：P 的坐标为（n，n），由于 PN≥PM，从而可知 PN≥2，根据图象 可求出 n 的范围． 【解答】解：（1）将 A（3，m）代入 y=x﹣2， ∴m=3﹣2=1， ∴A（3，1）， 将 A（3，1）代入 y= ， ∴k=3×1=3， （2）①当 n=1 时，P（1，1）， 令 y=1，代入 y=x﹣2， x﹣2=1， ∴x=3， ∴M（3，1）， ∴PM=2， 令 x=1 代入 y= ， ∴y=3， ∴N（1，3）， ∴PN=2 ∴PM=PN， ②P（n，n）， 点 P 在直线 y=x 上， 过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y=x﹣2 于点 M， M（n+2，n）， ∴PM=2， ∵PN≥PM， 即 PN≥2， ∴0＜n≤1 或 n≥3 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例 函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型． 24．（5 分）（201 7•北京）如图，AB 是⊙O 的一条弦，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EC⊥OA 于点 C，过点 B 作⊙O 的切线交 CE 的延长线于点 D． （1）求证：DB=DE； （2）若 AB=12，BD=5，求⊙O 的半径． 【分析】（1）欲证明 DB=DE，只要证明∠DEB=∠DBE； （2）作 DF⊥AB 于 F，连接 OE．只要证明∠AOE=∠DEF，可得 sin∠DEF=sin∠ AOE= = ，由此求出 AE 即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AO=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵BD 是切线， ∴OB⊥BD， ∴∠OBD=90°， ∴∠OBE+∠EBD=90°， ∵EC⊥OA， ∴∠CAE+∠CEA=90°， ∵∠CEA=∠DEB， ∴∠EBD=∠BED， ∴DB=DE． [来源:学§科§网] （2）作 DF⊥AB 于 F，连接 OE． ∵DB=DE，AE=EB=6， ∴EF= BE=3，OE⊥AB， 在 Rt△EDF 中，DE=BD=5，EF=3， ∴DF= =4， ∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°， ∴∠AOE=∠DEF， ∴sin∠DEF=sin∠AOE= = ， ∵AE=6， ∴AO= ． ∴⊙O 的半径为 ． 【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、垂径定理、锐角三角函数、等腰三角 形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问 题，属于中考常考题型． 25．（5 分）（2017•北京）某工厂甲、乙两个部门各有员工 400 人，为了解这两 个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 收集数据 从甲、乙两个部门各随机抽取 20 名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百 分制）如下： 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 整理、描述数据[来源:Z_xx_k.Com] 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成 绩 x 人 数 部 门 40≤x≤ 49 50≤x≤ 59 60≤x≤ 69 70≤x≤ 79 80≤x≤ 89 90≤x ≤100 甲 0 0 1 11 7 1 乙 1 0 0 7 10 2 （说明：成绩 80 分及以上为生产技能优秀，70﹣﹣79 分为生产技能良好，60﹣ ﹣69 分为生产技能合格，60 分以下为生产技能不合格） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 部 门 平均 数 中位 数 众 数 甲 78.3 77.5 75 乙 78 80.5 81 得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 240 ；b．可以推断出 甲或乙 部门员工的生产技能水平较高，理由为 ①甲部门生产技能测试中，平 均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高； ②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能 水平较高． 或①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高； ②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较 高． ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 【分析】根据收集数据填写表格即可求解； 用乙部门优秀员工人数除以 20 乘以 400 即可得出答案，根据情况进行讨论分析， 理由合理即可． 【解答】解：填表如下： 成 绩 x 人 数 部 门 40≤x≤ 49 50≤x≤ 59 60≤x≤ 69 70≤x≤ 79 80≤x≤ 89 90≤x ≤100 甲 0 0 1 11 7 1 乙 1 0 0 7 10 2 a. ×400=240（人）． 故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 240； b．答案不唯一，理由合理即可． 可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为： ①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高； ②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能 水平较高． 或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为： ①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高； ②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高． 故答案为：1，0，0，7，10，2； 240；甲或乙，①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产 技能水平较高； ②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能 水平较高； 或①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高； ②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高． 【点评】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的 定义以及用样本估计总体是解题的关键． 26．（5 分）（2017•北京）如图，P 是 所对弦 AB 上一动点，过点 P 作 PM⊥AB 交 于点 M，连接 MB，过点 P 作 PN⊥MB 于点 N．已知 AB=6cm，设 A、P 两点 间的距离为 xcm，P、N 两点间的距离为 ycm．（当点 P 与点 A 或点 B 重合时，y 的值为 0） 小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 0 2.0 2.3 2.1 1.6 0.9 0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出 该函数的图象． （3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN 为等腰三角形时，AP 的长度约 为 2.2 cm． 【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题； （2）利用描点法，画出函数图象即可； （3）作出直线 y=x 与图象的交点，交点的横坐标即可 AP 的长． 【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得 x=4 时，y=1.6cm， 故答案为 1.6． （2）利用描点法，图象如图所示． （3）当△PAN 为等腰三角形时，x=y，作出直线 y=x 与图象的交点坐标为（2.2， 2.2）， ∴△PAN 为等腰三角形时，PA=2.2cm． 故答案为 2.2． 【点评】本题考查圆综合题、坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意， 学会用测量法、图象法解决实际问题，属于中考压轴题． 27．（7 分）（2017•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2﹣4x+3 与 x 轴 交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． （1）求直线 BC 的表达式； （2）垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于点 P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线 BC 交于点 N（x3，y3），若 x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求 x1+x2+x3 的取值范围． 【分析】（1）利用抛物线解析式求得点 B、C 的坐标，利用待定系数法求得直线 BC 的表达式即可； （2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答． 【解答】解：（1）由 y=x2﹣4x+3 得到：y=（x﹣3）（x﹣1），C（0，3）． 所以 A（1，0），B（3，0）， 设直线 BC 的表达式为：y=kx+b（k≠0）， 则 ， 解得 ， 所以直线 BC 的表达式为 y=﹣x+3； （2）由 y=x2﹣4x+3 得到：y=（x﹣2）2﹣1， 所以抛物线 y=x2﹣4x+3 的对称轴是 x=2，顶点坐标是（2，﹣1）． ∵y1=y2， ∴x1+x2=4． 令 y=﹣1，y=﹣x+3，x=4． ∵x1＜x2＜x3， ∴3＜x3＜4，即 7＜x1+x2+x3＜8． 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点．解答（2）题时，利用了“数形结合” 的数学思想，降低了解题的难度． 28．（7 分）（2017•北京）在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，P 是线段 BC 上一动 点（与点 B、C 不重合），连接 AP，延长 BC 至点 Q，使得 CQ=CP，过点 Q 作 QH ⊥AP 于点 H，交 AB 于点 M． （1）若∠PAC=α，求∠AMQ 的大小（用含α的式子表示）． （2）用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由 直角三角形的性质即可得出结论； （2）连接 AQ，作 ME⊥QB，由 AAS 证明△APC≌△QME，得出 PC=ME，△MEB 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下： ∵∠PAC=α，△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α， ∵QH⊥AP， ∴∠AHM=90°， ∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α； （2）PQ= MB；理由如下： 连接 AQ，作 ME⊥QB，如图所示： ∵AC⊥QP，CQ=CP， ∴∠QAC=∠PAC=α， ∴∠QAM=45°+α=∠AMQ， ∴AP=AQ=QM， 在△APC 和△QME 中， ， ∴△APC≌△QME（AAS）， ∴PC=ME， ∴△MEB 是等腰直角三角形， ∴ PQ= MB， ∴PQ= MB． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、 勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题 的关键． 29．（8 分）（2017•北京）在平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下 的定义：若在图形 M 上存在一点 Q，使得 P、Q 两点间的距离小于或等于 1，则 称 P 为图形 M 的关联点． （1）当⊙O 的半径为 2 时， ①在点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0）中，⊙O 的关联点是 P2，P3 ． ②点 P 在直线 y=﹣x 上，若 P 为⊙O 的关联点，求点 P 的横坐标的取值范围． （2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，直线 y=﹣x+1 与 x 轴、y 轴交于点 A、B．若 线段 AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心 C 的横坐标的取值范围． 【分析】（1）①根据点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0），求得 OP1= ， OP2=1，OP3= ，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小 y=﹣x 上的点 P 到原点的距离在 1 到 3 之间时符合题意，设 P（x，﹣x），根据两点间的距离公 式即可得到结论； （2 根据已知条件得到 A（1，0），B（0，1），如图 1，当圆过点 A 时，得到 C（﹣ 2，0），如图 2，当直线 AB 与小圆相切时，切点为 D，得到 C（1﹣ ，0），于 是得到结论；如图 3，当圆过点 A，则 AC=1，得到 C（2，0），如图 4，当圆过点 B，连接 BC，根据勾股定理得到 C（2 ，0），于是得到结论． 【解答】解：（1）①∵点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0）， ∴OP1= ，OP2=1，OP3= ， ∴P1 与⊙O 的最小距离为 ，P2 与⊙O 的最小距离为 1，OP3 与⊙O 的最小距离为 ， ∴⊙O，⊙O 的关联点是 P2，P3； 故答案为：P2，P3； ②根据定义分析，可得当最小 y=﹣x 上的点 P 到原点的距离在 1 到 3 之间时符合 题意， ∴设 P（x，﹣x），当 OP=1 时， 由距离公式得，OP= =1， ∴x= ， 当 OP=3 时，OP= =3， 解得：x=± ； ∴点 P 的横坐标的取值范围为：﹣ ≤x≤﹣ ，或 ≤x≤ ； （2）∵直线 y=﹣x+1 与 x 轴、y 轴交于点 A、B， ∴A（1，0），B（0，1）， 如图 1， 当圆过点 A 时，此时，CA=3， ∴C（﹣2，0）， 如图 2， 当直线 AB 与小圆相切时，切点为 D， ∴CD=1， ∵直线 AB 的解析式为 y=﹣x+1， ∴直线 AB 与 x 轴的夹角=45°， ∴AC= ， ∴C（1﹣ ，0）， ∴圆心 C 的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣ ； 如图 3， 当圆过点 A，则 AC=1，∴C（2，0）， 如图 4， 当圆过点 B，连接 BC，此时，BC=3， ∴OC= =2 ， ∴C（2 ，0）． ∴圆心 C 的横坐标的取值范围为：2≤xC≤2 ； 综上所述；圆心 C 的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣ 或 2≤xC≤2 ． 【点评】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间 的距离公式，正确的作出图形是解题的关键．