数学·广东省广州市越秀区培正中学2016-2017学年高二上学期摸底数学试卷 Word版含解析x

数学·广东省广州市越秀区培正中学2016-2017学年高二上学期摸底数学试卷 Word版含解析x

‎2016-2017学年广东省广州市越秀区培正中学高二（上）摸底数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共12小题）‎ ‎1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=﹣x}，则M∩N=（　　）‎ A．{0} B．{1，0} C．（﹣1，0） D．{﹣1，0}‎ ‎2．直线l过点（1，﹣2），且与直线2x+3y﹣1=0垂直，则l的方程是（　　）‎ A．2x+3y+4=0 B．2x+3y﹣8=0 C．3x﹣2y﹣7=0 D．3x﹣2y﹣1=0‎ ‎3．函数f（x）=（）x﹣x+2的零点所在的一个区间是（　　）‎ A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）‎ ‎4．若||=1，||=，且⊥（﹣），则向量，的夹角为（　　）‎ A．45° B．60° C．120° D．135°‎ ‎5．实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（　　）‎ A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎6．设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1‎ ‎7．已知函数f（x）=sin（2x+），则下列结论中正确的是（　　）‎ A．函数f（x）的最小正周期为2π B．函数f（x）的图象关于点（，0）对称 C．由函数f（x）的图象向右平移个单位长度可以得到函数y=sin2x的图象 D．函数f（x）在区间（，）上单调递增 ‎8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，则•=（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4‎ ‎10．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=45°，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设a＞1，b＞2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（　　）‎ A．2 B．2+1 C．2+2 D．2+3‎ ‎12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为aij，例如a42=15，若aij=2015，则i﹣j=（　　）‎ A．26 B．27 C．28 D．29‎ ‎　‎ 二．填空题 ‎13．已知等差数列{an}，a4+a6=10，前5项的和S5=5，则其公差为　　．‎ ‎14．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=　　．‎ ‎15．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|﹣2|=2．则||=　　．‎ ‎16．已知函数y=a1﹣x（a＞0且a≠1）的图象恒过点A．若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n（n∈N*）‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an．‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn=（n∈N*），Tn是数列{bn}的前n项和，求T9．‎ ‎18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC．‎ ‎（Ⅰ） 求B的大小；‎ ‎（Ⅱ） 若b=，A=，求△ABC的面积．‎ ‎19．已知直线l：y=kx与圆C1：（x﹣1）2+y2=1相交于A、B两点，圆C2与圆C1相外切，且与直线l相切于点M（3，），求 ‎（1）k的值 ‎（2）|AB|的值 ‎（3）圆C2的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省广州市越秀区培正中学高二（上）摸底数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题）‎ ‎1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=﹣x}，则M∩N=（　　）‎ A．{0} B．{1，0} C．（﹣1，0） D．{﹣1，0}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出N中方程的解确定出N，找出M与N的交集即可．‎ ‎【解答】解：由N中方程整理得：x（x+1）=0，‎ 解得：x=0或x=﹣1，即N={﹣1，0}，‎ ‎∵M={﹣1，0，1}，‎ ‎∴M∩N={﹣1，0}，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．直线l过点（1，﹣2），且与直线2x+3y﹣1=0垂直，则l的方程是（　　）‎ A．2x+3y+4=0 B．2x+3y﹣8=0 C．3x﹣2y﹣7=0 D．3x﹣2y﹣1=0‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】由条件利用两条直线垂直的性质求得要求直线的斜率，再用点斜式求得要求直线的方程．‎ ‎【解答】解：由题意可得，要求直线的斜率为，再根据所求直线过点（1，﹣2），可得它的方程为y+2=（x﹣1），‎ 即3x﹣2y﹣7=0，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）=（）x﹣x+2的零点所在的一个区间是（　　）‎ A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】判断函数值，利用零点定理推出结果即可．‎ ‎【解答】解：函数，‎ 可得：f（﹣1）=5＞0，‎ f（0）=3＞0，‎ f（1）=＞0，‎ f（2）=＞0，‎ f（3）=﹣0，‎ 由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．若||=1，||=，且⊥（﹣），则向量，的夹角为（　　）‎ A．45° B．60° C．120° D．135°‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】设向量的夹角为θ，由=0，可得=1，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ，进而求得θ 的值．‎ ‎【解答】解：设向量的夹角为θ，由题意可得==0，可得 ‎=1，即 = cosθ=1×cosθ，‎ 解得 cosθ=．‎ 再由 0≤θ≤π可得θ=，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（　　）‎ A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质；不等关系与不等式．‎ ‎【分析】根据指数函数，对数函数和幂函数的性质分别判断a，b，c的大小，即可判断．‎ ‎【解答】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.2＜0，0＜0.2＜1，，‎ 即0＜a＜1，b＜0，c＞1，‎ ‎∴b＜a＜c．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，‎ 平移直线y=x﹣z，当直线经过点A时，直线y=x﹣z截距最小，z最大．‎ 由解得A（﹣1，﹣2）时，此时zmax=﹣1+2=1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=sin（2x+），则下列结论中正确的是（　　）‎ A．函数f（x）的最小正周期为2π B．函数f（x）的图象关于点（，0）对称 C．由函数f（x）的图象向右平移个单位长度可以得到函数y=sin2x的图象 D．函数f（x）在区间（，）上单调递增 ‎【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】由条件利用正弦函数的周期性、图象的对称性、单调性以及y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【解答】解：对于函数f（x）=sin（2x+），它的最小正周期为=π，故排除A；‎ 令x=，求得f（x）=，故函数f（x）的图象不关于点（，0）对称；故排除B；‎ 把函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，‎ 可以得到函数y=sin2（x﹣）+]=sin2x的图象，故C满足条件；‎ 在区间（，）上，2x+∈（，），函数f（x）单调递减，故排除D，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】由已知中锥体的侧视图和俯视图，画出该几何的直观图，进而可得该锥体的正视图．‎ ‎【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，‎ 可得该几何体是三棱锥，‎ 由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：‎ 顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，‎ 故该锥体的正视图是：‎ 故选A ‎　‎ ‎9．在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，则•=（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】利用向量的垂直与数量积的关系、向量的三角形法则、数量积运算即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，∴=0．‎ ‎∵，，‎ ‎∴•=‎ ‎=﹣0‎ ‎=﹣22=﹣4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=45°，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等比数列的性质；正弦定理．‎ ‎【分析】由a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质化简得到关于a，b及c的关系式，利用正弦定理化简后得到关于sinA，sinB及sinC的关系式，然后把所求的式子也利用正弦定理化为关于正弦函数的式子，把化简得到关系式及A的度数代入求出值．‎ ‎【解答】解：由a，b，c成等比数列，得到b2=ac，由正弦定理得：sin2B=sinA•sinC． ‎ 又A=45°，‎ ‎∴===sinA=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．设a＞1，b＞2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（　　）‎ A．2 B．2+1 C．2+2 D．2+3‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由已知式子可得b=，代入整理可得a+b=a﹣1++3，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：∵a＞1，b＞2，且ab=2a+b，‎ ‎∴ab﹣b=2a，∴b（a﹣1）=2a，解得b=，‎ ‎∴a+b=a+==‎ ‎==a﹣1++3‎ ‎≥3+2=3+2‎ 当且仅当a﹣1=即a=1+时取等号 故选：D ‎　‎ ‎12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为aij，例如a42=15，若aij=2015，则i﹣j=（　　）‎ A．26 B．27 C．28 D．29‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】分析正奇数排列的正三角图表知，第i行（其中i∈N*）有i个奇数，且从左到右按从小到大的顺序排列，则2015是第1008个奇数，由等差数列的知识可得，它排在第几行第几个数 ‎【解答】解：根据正奇数排列的正三角图表知，2015是第1008个奇数，应排在i行（其中i∈N*），‎ 则1+2+3+…+（i﹣1）=i（i﹣1）≤1008①，‎ 且1+2+3+…+i=i（i+1）＞1008②；‎ 验证i=45时，①②式成立，所以i=45；‎ 第45行第1个奇数是2××44×45+1=1981，‎ 而1981+2（j﹣1）=2015，‎ ‎∴j=18；‎ ‎∴i﹣j=45﹣18=27．‎ 故选：B ‎　‎ 二．填空题 ‎13．已知等差数列{an}，a4+a6=10，前5项的和S5=5，则其公差为　2　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】设公差为d，由题意可得 2a1+8d=10，5a1+=5，解方程组求得d的值．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}，a4+a6=10，前5项的和S5=5，设公差为d．‎ 由题意可得 2a1+8d=10，5a1+=5，‎ 解方程组求得d=2，‎ 故答案为 2．‎ ‎　‎ ‎14．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=　（0，1）　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】分别求出关于集合A、B中x的范围，从而求出其交集即可．‎ ‎【解答】解：∵M={x|lg（1﹣x）＜0}={x|0＜x＜1}，‎ N={x|﹣1≤x≤1}，‎ ‎∴M∩N=（0，1），‎ 故答案为：（0，1）．‎ ‎　‎ ‎15．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|﹣2|=2．则||=　2　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出．‎ ‎【解答】解：||=2， =||||cos=||，‎ ‎∵|﹣2|=2，∴（）2=，‎ 即4||2﹣4||+4=12，解得||=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数y=a1﹣x（a＞0且a≠1）的图象恒过点A．若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为　3+2　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】根据题意，求出点A的坐标，得出m+n=1且m＞0，n＞0，利用基本不等式求的最小值即可．‎ ‎【解答】解：函数y=a1﹣x（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，‎ 即1﹣x=0时，y=a0=1，∴A（1，1）；‎ 又点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，‎ ‎∴m+n﹣1=0，即m+n=1；‎ 又∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，‎ ‎∴=+‎ ‎=3++≥3+2=3+2，‎ 当且仅当=，即n=m=﹣1时“=”成立；‎ ‎∴的最小值为3+2．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n（n∈N*）‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an．‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn=（n∈N*），Tn是数列{bn}的前n项和，求T9．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用n=1时，a1=S1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．‎ ‎（2）==（﹣），利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n，‎ ‎∴n=1时，a1=2；‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n，‎ 当n=1时，上式也成立．‎ ‎∴an=2n（n∈N*）．‎ ‎（2）==（﹣），‎ T9= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=×（1﹣）=．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC．‎ ‎（Ⅰ） 求B的大小；‎ ‎（Ⅱ） 若b=，A=，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由正弦定理，化简整理a2+c2﹣b2+ac=0，再由余弦定理，求得角B的大小，‎ ‎（Ⅱ）由三角行的内角和定理，求得C及sinC，再由正弦定理，求得c的值，可求得三角形的面积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：∵2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC，‎ 由正弦定理得，2b2=（2a+c）a+（2c+a）c，…‎ 化简得，a2+c2﹣b2+ac=0．…‎ ‎∴．…‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴B=．…‎ ‎（Ⅱ）解：∵A=，∴C=．…‎ ‎∴sinC=sin==．…‎ 由正弦定理得，，…‎ ‎∵，B=，‎ ‎∴．…‎ ‎∴△ABC的面积=．…‎ ‎　‎ ‎19．已知直线l：y=kx与圆C1：（x﹣1）2+y2=1相交于A、B两点，圆C2与圆C1相外切，且与直线l相切于点M（3，），求 ‎（1）k的值 ‎（2）|AB|的值 ‎（3）圆C2的方程．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）点M在直线上，即可求出k的值；‎ ‎（2）求出圆心到直线有距离，即可求出|AB|；‎ ‎（3）利用圆C1与圆C2相切，可得，分类讨论，即可求出圆C2的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，点M在直线上，所以 ‎（2）圆心到直线有距离，于是 ‎（3）设所求的圆心的坐标为C2（m，n），半径为R．‎ 由题意知，即，从而R=C2M=2|m﹣3|，‎ 又圆C1与圆C2相切，则，‎ 即：‎ ‎（A）当m≥3时解得：m=4，n=0，R=2，则圆C2的方程为：（x﹣4）2+y2=4‎ ‎（B）当m，3时解得：，则圆C2的方程为：‎ 所以所求圆的方程为：（x﹣4）2+y2=4，‎ ‎　‎ ‎2016年10月30日