数学卷·2018届黑龙江省鸡西市虎林高中高二下学期开学数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届黑龙江省鸡西市虎林高中高二下学期开学数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年黑龙江省鸡西市虎林高中高二（下）开学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2的圆心为抛物线x2=﹣4y的焦点，直线x+y=1与圆C相切，则该圆的方程为（　　）‎ A．（x+1）2+y2= B．x2+（y+1）2=2 C．（x﹣2）2+y2= D．x2+（y﹣2）2=‎ ‎3．由曲线与直线x=4，y=0围成的曲边梯形的面积为（　　）‎ A． B． C． D．16‎ ‎4．设双曲线﹣=1（ a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线 y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．5 C． D．‎ ‎5．计算（1+）dx的结果为（　　）‎ A．1 B． C．1+ D．1+‎ ‎6．圆心在（2，﹣1）上，半径为3的圆的标准方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+（y+12）=3 B．（x﹣2）2+（y+12）=9 C．（x+2）2+（y﹣12）=3 D．（x+2）2+（y﹣12）=9‎ ‎7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令＜π＜，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知F为双曲线的左焦点，P，Q为C右支上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PFQ的周长为（　　）‎ A．28 B．36 C．44 D．48‎ ‎9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎12．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是 BC 的中点，那么（　　）‎ A． •＜•‎ B． •=•‎ C． •＞•‎ D． •与•不能比较大小 ‎　‎ 二、填空题 ‎13．设向量，，满足=，（﹣）⊥，⊥．若||=1，则||2+||2+||2的值是　　．‎ ‎14．已知，，是两两垂直的单位向量， =2﹣+， =+﹣3，则=　　．‎ ‎15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为　　．‎ ‎16．已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=　　．‎ ‎17．若一个二面角的两个面的法向量分别为=（0，0，3），=（8，9，2），则这个二面角的余弦值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎18．（12分）已知动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=﹣1的距离相等，点C在直线l上．‎ ‎（1）求动点M的轨迹方程；‎ ‎（2）设过定点F，法向量的直线与（1）中的轨迹相交于A，B两点且点A在x轴的上方，判断∠ACB能否为钝角并说明理由．进一步研究∠ABC为钝角时点C纵坐标的取值范围．‎ ‎19．（10分）已知椭圆方程为x2+=1，射线y=2x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．‎ ‎（1）求证直线AB的斜率为定值；‎ ‎（2）求△AMB面积的最大值．‎ ‎20．（10分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．‎ ‎（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；‎ ‎（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．‎ ‎21．（10分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．‎ ‎22．（10分）如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=，则二面角A﹣PB﹣C的余弦值大小为　　．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省鸡西市虎林高中高二（下）开学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，‎ 其中a==2，‎ 则其实轴长2a=4；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．‎ ‎　‎ ‎2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2的圆心为抛物线x2=﹣4y的焦点，直线x+y=1与圆C相切，则该圆的方程为（　　）‎ A．（x+1）2+y2= B．x2+（y+1）2=2 C．（x﹣2）2+y2= D．x2+（y﹣2）2=‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（1，0），即为圆心坐标，利用圆与直线x+y=1相切，可求半径，即可得到圆的方程．‎ ‎【解答】解：由题意，抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1），即为圆心坐标 ‎∵圆与直线x+y=1相切，∴r==‎ ‎∴圆的方程为x2+（y+1）2=2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查直线与圆相切，解题的关键是确定圆的圆心与半径．‎ ‎　‎ ‎3．由曲线与直线x=4，y=0围成的曲边梯形的面积为（　　）‎ A． B． C． D．16‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】曲线与直线x=4，y=0围成的曲边梯形的面积可用定积分计算，先求出图形横坐标范围，再求即可．‎ ‎【解答】解：由曲线与直线x=4，y=0围成的曲边梯形的面积为：‎ ‎=x|04=×=‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查定积分在求面积中的应用，解答本题关键是根据题设中的条件建立起面积的积分表达式，再根据相关的公式求出积分的值，用定积分求面积是其重要运用，掌握住一些常用函数的导数的求法是解题的知识保证．‎ ‎　‎ ‎4．设双曲线﹣=1（ a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线 y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．5 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程求得双曲线的一条渐近线方程，与抛物线方程联立消去y，进而根据判别式等于0求得，进而根据c=求得即离心率．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1（ a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=x，‎ 由方程组，消去y，‎ x2﹣x+1=0有唯一解，‎ 所以△=（）2﹣4=0，‎ 所以=2，e====，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．离心率问题是圆锥曲线中常考的题目，解决本题的关键是找到a和b或a和c或b和c的关系．‎ ‎　‎ ‎5．计算（1+）dx的结果为（　　）‎ A．1 B． C．1+ D．1+‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】由定积分的公式和定积分的几何意义计算可得．‎ ‎【解答】解：（1+）dx=1dx+dx=1+dx ‎∵由定积分的几何意义可知dx 表示圆x2+y2=1在第一象限的面积，即单位圆的四分之一，‎ ‎∴dx=×π×12=，‎ ‎∴（1+）dx=1+，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查定积分的计算，利用定积分的几何意义是解决本题的关键，属基础题．．‎ ‎　‎ ‎6．圆心在（2，﹣1）上，半径为3的圆的标准方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+（y+12）=3 B．（x﹣2）2+（y+12）=9 C．（x+2）2+（y﹣12‎ ‎）=3 D．（x+2）2+（y﹣12）=9‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】直接根据圆心为（2，﹣1），半径为3，可得圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：根据圆心为（2，﹣1），半径为3，可得圆的标准方程为 （x﹣2）2+（y+12）=9，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令＜π＜，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】利用“调日法”进行计算，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，‎ 第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；‎ 第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，‎ 第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎8．已知F为双曲线的左焦点，P，Q为C右支上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PFQ的周长为（　　）‎ A．28 B．36 C．44 D．48‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．‎ ‎【解答】解：∵双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），‎ ‎∴点A（5，0）是双曲线的右焦点，‎ 则b=4，即虚轴长为2b=8；‎ 双曲线图象如图：‎ ‎∵|PF|﹣|AP|=2a=6 ①‎ ‎|QF|﹣|QA|=2a=6 ②‎ 而|PQ|=16，‎ ‎∴①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，‎ ‎∴周长为l=|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查三角形周长的计算，根据双曲线的定义将三角形的两边之差转化为2a，通过对定义的考查求出周长是解决本题的关键．考查学生的转化能能力．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由AC∥A1C1，知∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：连结BC1，∵AC∥A1C1，‎ ‎∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），‎ ‎∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，‎ ‎∴AB=，，BC1==，A1C1=1，‎ ‎∴cos∠C1A1B===，‎ ‎∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎10．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】建立空间直角坐标系，先相关点的坐标，再相关向量的坐标，再进行运算．‎ ‎【解答】解析：建立坐标系如图．则A（1，0，0），E（0，2，1），B（1，2，0），C1（0，2，2）．‎ ‎=（﹣1，0，2），A=（﹣1，2，1），‎ cos＜＞═．‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为．‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查用向量法求异面直线所成的角．‎ ‎　‎ ‎11．若椭圆与双曲线 有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征．‎ ‎【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，由它们有相同的焦点，得到m﹣n=2．不妨设m=5，n=3，根据双曲线和椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|﹣|PF2|=2，△PF1F2 中，由三边的关系得出其为直角三角形，由△PF1F2的面积公式即可运算得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，‎ 由它们有相同的焦点，得到m﹣n=2．‎ 不妨设m=5，n=3，‎ 椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，‎ 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2①‎ 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②‎ ‎①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=16‎ 又|F1F2|=4，‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，‎ 则△F1PF2的形状是直角三角形 ‎△PF1F2的面积为•PF1•PF2=（）（）=1‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．‎ ‎　‎ ‎12．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是 BC 的中点，那么（　　）‎ A． •＜•‎ B． •=•‎ C． •＞•‎ D． •与•不能比较大小 ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】求出向量的夹角，计算出和即可得出答案．‎ ‎【解答】解：△ABC是等边三角形，E是BC的中点，‎ ‎∴AE⊥BC，∴．‎ 取BD的中点F，连接AF，EF，‎ 设三棱锥的棱长为1，则AE=AF=，EF=CD=，‎ ‎∴cos∠AEF==，‎ ‎∴cos＜＞=﹣，‎ ‎∴==﹣．‎ ‎∴＞．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．设向量，，满足=，（﹣）⊥，⊥．若||=1，则||2+||2+||2的值是　4　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由已知向量垂直，它们的数量积为0，结合平面向量数量积的运算性质，求出得||=||=1，从而求得计算结果．‎ ‎【解答】解：∵ =，‎ ‎∴=﹣﹣，‎ 又∵（﹣）⊥，‎ ‎∴（﹣）•=0，‎ 即（﹣）•（﹣﹣）=0，‎ ‎∴﹣=0，‎ 得||=||=1；‎ 又∵⊥，‎ ‎∴•=0，‎ ‎∴==+2+=1+0+1=2，‎ ‎∴||2+||2+||2的=1+1+2=4；‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和向量的模的问题，是易错题．‎ ‎　‎ ‎14．已知，，是两两垂直的单位向量， =2﹣+， =+﹣3，则=　﹣2　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】利用数量积定义即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，，是两两垂直的单位向量， =2﹣+， =+﹣3，‎ ‎∴=（2，﹣1，1），=（1，1，﹣3），‎ ‎∴=2﹣1﹣3=﹣2，‎ 故答案为：﹣2‎ ‎【点评】熟练掌握数量积运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1‎ 的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为　　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．‎ ‎【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角 设边长为1，则B1E=B1F=，EF=‎ ‎∴cos∠EB1F=，‎ 故答案为 ‎【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=　6　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．‎ ‎【解答】解：‎ 不妨设A在双曲线的右支上 ‎∵AM为∠F1AF2的平分线 ‎∴=‎ 又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6‎ 解得|AF2|=6‎ 故答案为6‎ ‎【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．‎ ‎　‎ ‎17．若一个二面角的两个面的法向量分别为=（0，0，3），=（8，9，2），则这个二面角的余弦值为　±　．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可．‎ ‎【解答】解：二面角的余弦丨cos＜，＞丨===，‎ ‎∴二面角的余弦值cos＜，＞=±，‎ 故答案为：±．‎ ‎【点评】本题考查二面角的大小的求法，空间向量的数量积的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎18．（12分）（2011•上海校级二模）已知动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=﹣1的距离相等，点C在直线l上．‎ ‎（1）求动点M的轨迹方程；‎ ‎（2）设过定点F，法向量的直线与（1）中的轨迹相交于A，B两点且点A在x轴的上方，判断∠ACB能否为钝角并说明理由．进一步研究∠ABC为钝角时点C纵坐标的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的定义．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线的定义一动点M到定点的距离与到定直线的距离相等，M的轨迹为抛物线，可知M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，根据F的坐标求出p的值，即可确定出抛物线的方程；‎ ‎（2）根据已知的法向量得到直线AB方程的斜率，再由F的坐标即可写出直线AB的方程，与（1）求出的抛物线方程联立，求出x与y的值，确定出点A和点B的坐标，设出点C的坐标，进而表示出h和，利用平面向量的数量积的运算法则表示出两向量的数量积，变形后得到其数量积大于等于0，故∠ACB不可能为钝角；表示出过点B与直线AB的直线，令x=﹣1求出此时y的值，则y小于求出的值即可得到∠ABC为钝角时点C纵坐标的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）因为动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=﹣1的距离相等，‎ 所以M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，‎ 则轨迹方程为y2=4x；‎ ‎（2）由题意，直线AB的方程为4x﹣3y﹣4=0‎ 故A、B两点的坐标满足方程组，‎ 解得A（4，4），，‎ 设C（﹣1，y），则，，（8分）‎ 由，‎ 所以∠ACB不可能为钝角．（10分）‎ 过B垂直于直线AB的直线方程为，‎ 令x=﹣1，解得，‎ 当∠ABC为钝角时，点C纵坐标的取值范围是： ．（13分）‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义与应用，及轨迹方程的求法，关键是看清题中给出的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则进行求解．本题容易忽略的情况．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）（2013•和平区校级模拟）已知椭圆方程为x2+=1，射线y=2x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．‎ ‎（1）求证直线AB的斜率为定值；‎ ‎（2）求△AMB面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）设k＞0，求得M的坐标，则可表示出AM的直线方程和BM的直线方程，分别与椭圆的方程联立求得xA和xB，进而求得AB的斜率．‎ ‎（2）设出直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用判别式大于0求得m的范围，进而表示出三角形AMB的面积，利用m的范围确定面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（，2），‎ 直线MA方程为y﹣2=k（x﹣），直线MB方程为y﹣2=﹣k（x﹣）．‎ 分别与椭圆方程联立，可解出xA=﹣，xB=﹣．‎ 则yA=2﹣k（x﹣），yB=2+k（x﹣），‎ kAB==2；‎ ‎∴kAB=2（定值）．‎ ‎（2）设直线AB方程为y=2x+m，与x2+=1联立，消去y得16x2+4mx+（m2﹣8）=0‎ 由△＞0得﹣4＜m＜4，且m≠0，点M（，2）到AB的距离d=．‎ 设△AMB的面积为S．∴S2=|AB|2d2=m2（16﹣m2）≤•=2．‎ 当m=±2时，得Smax=．‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2015•淮安一模）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．‎ ‎（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；‎ ‎（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）利用f（1）=0，确定a的值，求导函数，从而可确定函数的单调性；‎ ‎（2）构造函数F（x）=f（x）﹣ax+1，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化，‎ ‎（3）将代数式f（x1）+f（x2）+x1x2放缩，构造关于x1+x2的一元二次不等式，解不等式即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，‎ ‎∴a=2，且x＞0．‎ ‎∴f（x）=lnx﹣x2+x，‎ ‎∴=，‎ 当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，‎ ‎∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．‎ ‎（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则 F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a，‎ 当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣＞0，不符合题意，‎ 当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，‎ 令h（a）=ln+=，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，‎ 又∵h（1）=＞0，h（2）=＜0，‎ ‎∴符合题意的整数a的最小值为2．‎ ‎（3）∵a=﹣2，‎ ‎∴f（x）=lnx+x2+x，‎ ‎∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2‎ ‎=（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2‎ 令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=，‎ ‎∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，‎ x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，‎ ‎∴g（x）max=g（1）=﹣1，‎ ‎∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，‎ 即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，‎ 又∵x1，x2是正实数，‎ ‎∴x1+x2≥．‎ ‎【点评】本题考查了函数性质的综合应用，属于难题．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2014春•嵩明县校级期末）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】取A1B1的中点E，由正三棱柱性质得面A1B1C1⊥面A1B1BA，从面推导出∠C1AE为AC1与侧面ABB1A1所成的角，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：取A1B1的中点E，连结C1E，AE，‎ 由正三棱柱性质得面A1B1C1⊥面A1B1BA，交线是A1B1．‎ 又C1E⊥A1B1，∴C1E⊥面A1B1BA．‎ ‎∴∠C1AE为所求．‎ ‎∵AB=a，C1C=a，‎ ‎∴Rt△C1EA中，C1E=，AE=a．‎ ‎∴tan∠C1AE==．‎ ‎∴∠C1AE=30°．‎ ‎∴AC1与面ABB1A1所成的角为30°．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2017春•虎林市校级月考）如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=，则二面角A﹣PB﹣C的余弦值大小为　　．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角．‎ ‎【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出平面APB的法向量，平面PBC的法向量，利用向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．‎ ‎【解答】解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，‎ ‎∵A（1，0，0），B（0，，0），C（0，0，0），P（1，0，1），‎ ‎∴=（0，0，1），=（﹣1，，﹣1），=（0，，0），‎ 设平面APB的法向量为=（x1，y1，z1），‎ 平面PBC的法向量为=（x2，y2，z2），‎ 则∴取=（2，，0），=（﹣1，0，1），∴cos＜，＞==﹣，‎ ‎∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查二面角的平面角的求法，空间向量的数量积的运算，考查计算能力．‎