2013年浙江省高考数学试卷（文科）

2013年浙江省高考数学试卷（文科）

‎2013年浙江省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（　　）‎ A．[﹣4，+∞） B．（﹣2，+∞） C．[﹣4，1] D．（﹣2，1]‎ ‎2．（5分）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（　　）‎ A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i ‎3．（5分）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β ‎5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3‎ ‎6．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（　　）‎ A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2‎ ‎7．（5分）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞‎ f（1），则（　　）‎ A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0‎ ‎8．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：‎ a∧b= a∨b=‎ 若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（　　）‎ A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.‎ ‎11．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=　 　．‎ ‎12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于　 　．‎ ‎13．（4分）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于　 　．‎ ‎14．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于　 　．‎ ‎15．（4分）设z=kx+y，其中实数x、y满足 若z的最大值为12，则实数k=　 　．‎ ‎16．（4分）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于　 　．‎ ‎17．（4分）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．‎ ‎19．（14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求d，an；‎ ‎（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．‎ ‎20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．‎ ‎21．（15分）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax ‎（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．‎ ‎22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．‎ ‎　‎ ‎2013年浙江省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（　　）‎ A．[﹣4，+∞） B．（﹣2，+∞） C．[﹣4，1] D．（﹣2，1]‎ ‎【分析】找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．‎ ‎【解答】解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，‎ ‎∴S∩T=（﹣2，1]．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（　　）‎ A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i ‎【分析】直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．‎ ‎【解答】解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．‎ ‎【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，‎ 当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，‎ ‎∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β ‎【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．‎ ‎【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；‎ B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；‎ C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．‎ D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．‎ ‎∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（　　）‎ A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2‎ ‎【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），‎ ‎∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，‎ ‎∵ω=2，∴T=π．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（　　）‎ A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0‎ ‎【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0．‎ ‎【解答】解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，‎ 所以4a+b=0；‎ 又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，‎ 所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．‎ ‎【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，‎ 故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．‎ 导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，‎ 故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．‎ ‎【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，‎ ‎∴2a=4，b=1，c=；‎ ‎∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①‎ 又四边形AF1BF2为矩形，‎ ‎∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②‎ 由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，‎ 则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，‎ ‎∴双曲线C2的离心率e===．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：‎ a∧b= a∨b=‎ 若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（　　）‎ A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2‎ ‎【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．‎ ‎【解答】解：∵a∧b=，a∨b=，‎ 正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，‎ ‎∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；‎ 再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.‎ ‎11．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=　10　．‎ ‎【分析】利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，‎ 所以，解得a=10．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点评】本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于　　．‎ ‎【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．‎ ‎【解答】解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，‎ 满足2名都是女同学的共有=3种情况，‎ 故所求的概率为：=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于　4　．‎ ‎【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，‎ 圆心到直线的距离为：，‎ 因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，‎ 所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×‎ ‎=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于　　．‎ ‎【分析】由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．‎ ‎【解答】解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．‎ 而S=1++++‎ ‎=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）设z=kx+y，其中实数x、y满足 若z的最大值为12，则实数k=　2　．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，zmax=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，‎ 其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）‎ 设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得 ‎①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，‎ 由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，‎ 此时，zmax=F（2，3）=2k+3或zmax=F（4，4）=4k+4‎ 但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，‎ 故此种情况不符合题意；‎ ‎②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，‎ 由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值 此时zmax=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意 综上所述，实数k的值为2‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+‎ y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于　﹣1　．‎ ‎【分析】由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=1时，其值为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，再令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用导数研究函数在x≥0的极值，即可得出参数所满足的另一个方程，由此解出参数a，b的值，问题即可得解．‎ ‎【解答】解：验证发现，‎ 当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，‎ 当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0，‎ 令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0，‎ 又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x，‎ 令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增，‎ 又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0，‎ 又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b的极小值点，也是最小值点．‎ 故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1，‎ 故ab=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】‎ 本题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，及极值的确定，将问题灵活转化是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于　2　．‎ ‎【分析】由题意求得 =，||==，从而可得 ==‎ ‎=，再利用二次函数的性质求得的最大值．‎ ‎【解答】解：∵、 为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．‎ ‎∵非零向量=x+y，∴||===，‎ ‎∴====，‎ 故当=﹣时，取得最大值为2，‎ 故答案为 2．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，‎ ‎∵sinB≠0，∴sinA=，‎ 又A为锐角，‎ 则A=；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，‎ ‎∴bc=，又sinA=，‎ 则S△ABC=bcsinA=．‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求d，an；‎ ‎（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式an可求；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{an}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．‎ 当d=﹣1时，an=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．‎ 当d=4时，an=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．‎ 所以an=﹣n+11或an=4n+6；‎ ‎（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，an=﹣n+11．‎ 则当n≤11时，．‎ 当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣Sn+2S11=．‎ 综上所述，‎ ‎|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥‎ BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．‎ ‎（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．‎ ‎（Ⅲ）先证 PC⊥OG，且 PC==．由△COG∽△CAP，可得，解得GC的值，可得PG ‎=PC﹣GC 的值，从而求得 的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD． ‎ ‎∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．‎ 而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．‎ ‎（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，‎ ‎∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．‎ 由题意可得，GO=PA=．‎ ‎△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，‎ ‎∴AC=2，OC=．‎ ‎∵直角三角形COD中，OD==2，‎ ‎∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．‎ ‎（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC==．‎ 由△COG∽△CPA，可得，即 ，解得GC=，‎ ‎∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（15分）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax ‎（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6‎ ‎∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；‎ ‎（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．‎ f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）‎ 令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a 当a＞1时，‎ x ‎0‎ ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，a）‎ a ‎（a，2a）‎ ‎2a f′（x）‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ f（x）‎ ‎0‎ 单调递增 极大值3a﹣1‎ 单调递减 极小值 a2（3﹣a）‎ 单调递增 ‎4a3‎ 比较f（0）=0和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；‎ 当a＜﹣1时，‎ X ‎0‎ ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，﹣2a）‎ ‎﹣2a f′x）‎ ‎ ‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ f（x）‎ ‎0‎ 单调递减 极小值3a﹣1‎ 单调递增 ‎﹣28a3﹣24a2‎ ‎∴g（a）=3a﹣1‎ ‎∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．‎ ‎【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．‎ ‎【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；‎ ‎（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．‎ ‎【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y ‎（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，‎ 由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，‎ 所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，‎ 由解得点M的横坐标为xM===，‎ 同理可得点N的横坐标为xN=，‎ 所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=，‎ 令4k﹣3=t，t≠0，则k=，‎ 当t＞0时，|MN|=2＞2，‎ 当t＜0时，|MN|=2=2≥．‎ 综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN|的最小值是．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用．‎ ‎　‎