山东省东营市一中2019-2020 学年高二下学期期中考试数学试题

山东省东营市一中2019-2020 学年高二下学期期中考试数学试题

东营市一中2018级高二下学期期中考试 ‎（满分：150分 考试时间：120分钟）‎ 一、选择题（共80分，每题5分，其中1-8题为单选，9-12为多选，13-16为单选）‎ ‎1.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题这一性质进行求解即可.‎ ‎【详解】因为命题“，”的否定是，，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎2.已知集合,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，再计算交集得到答案 ‎【详解】,表示偶数，‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数和对数函数的单调性，结合锐角正弦值的取值范围、中间数比较法进行求解即可 ‎【详解】.‎ 因为，所以，即，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了指数式和对数式的比较，考查了指数函数和对数函数的单调性的应用，考查了锐角正弦值的取值范围，考查了数学推理能力.‎ ‎4.设函数，则满足的x的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论，结合一元一次不等式的解法、指数函数的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】当时，，此时不等式的解集为空集；‎ 当时，，此时不等式的解集为，综上；满足的x的取值范围是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了求解分段函数不等式的解集，考查了指数函数的单调性，考查了分类讨论思想和数学运算能力.‎ ‎5.函数的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数奇偶性、走势，利用排除法快速得出答案.‎ ‎【详解】由题意得，‎ 即为偶函数，故排除A；‎ 当，根据图像走势，排除B,D 故选：C ‎【点睛】解答此类问题可从函数奇偶性、特殊点的值、渐近线和走势等多方面入手，利用排除法快速得到答案.‎ ‎6.围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列最接近的是（注：）（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，取对数得，得到，分析选项，即可求解.‎ 详解】根据题意，对于，‎ 可得，‎ 可得，‎ 分析选项，可得D中与其最接近.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中掌握对数的运算性质是解答的关键，着重考查计算与求解能力.‎ ‎7.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为各局比赛结果相互独立．则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 甲在4局内（含4局）赢得比赛包含3种情况：①甲胜第1、2局；②乙胜第1局，甲胜2、3局；③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，由此可求得甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率.‎ ‎【详解】由题意，甲在4局内（含4局）赢得比赛包含3种情况：‎ ‎①甲胜第1、2局，概率为；‎ ‎②乙胜第1局，甲胜2、3局，概率为；‎ ‎③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，概率为，‎ 所以甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了概率求法，以及相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式 的应用，着重考查分类讨论思想，以及计算能力.‎ ‎8.若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，因为，，函数在区间内恒有，所以，由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C．‎ 考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值，由，可得到内层函数的值域，再由恒成立，可得到底数的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.‎ ‎9-12为多选题 ‎9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算的观测值，则可以推断出（ ）‎ 满意 不满意 男 ‎30‎ ‎20‎ 女 ‎40‎ ‎10‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 B. 调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C. 有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D. 有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据表格中的数据可求得男、女生对食堂服务满意的概率的估计值,根据,可判断C、D选项 ‎【详解】对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为,故A正确；‎ 对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为,故B错误；‎ 因为,所以有的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C正确,D错误 故选：AC ‎【点睛】本题考查的应用,考查由统计数据求概率的估计值 ‎10.下列有关说法正确的是（ ）‎ A. 当时，；‎ B. 若，则 C. 函数的最小值为2‎ D. 若，则的最小值为3‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合基本不等式条件，逐项判定，即可求解.‎ ‎【详解】对于A中，当时，，则，所以不正确；‎ 对于B中，由，可得，所以，所以是正确的；‎ 对于C中，由，‎ 当且仅当，即，即（不成立），所以不正确；‎ 对于D中，由，可得，且，‎ 可得，则，‎ 当且仅当，即时等号成立，所以是正确的.‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎11.下列命题正确的是（ ）‎ A. 已知幂函数在上单调递减则或 B. 函数的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是．‎ C. 已知函数，若，则的取值范围为 D. 已知函数满足，，且与的图像的交点为则的值为8‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的性质，可判定A不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B是正确；根据函数的定义域，可判定C不正确；根据函数的对称性，可判定 D正确，即可求解.‎ ‎【详解】对于A中，幂函数，可得，解得或，‎ 当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，所以A不正确；‎ 对于B中，若函数的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，‎ 则满足，解得，‎ 所以是函数的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B是正确；‎ 对于C中，由函数，则满足，解得，‎ 即函数的定义域为，所以不等式中至少满足，‎ 即至少满足，所以C不正确；‎ 对于D中，函数满足，可得函数的图象关于点对称，‎ 又由，可得，所以函数的图象关于 点对称，则，所以D正确.‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎12.（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）‎ A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举反例说明A错，用奇函数的定义证明B正确，用复合函数的单调性说明C正确，求出函数的值域，根据高斯函数的定义证明D错误．‎ ‎【详解】根据题意知，．‎ ‎，，‎ ‎，，函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；‎ ‎，是奇函数，B正确；‎ 由复合函数的单调性知在上是增函数，C正确；‎ ‎，，，‎ ‎，D错误．‎ 故选BC．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的创新意识．由于涉及到新定义函数，有一定的难度．‎ ‎13-16为单选 ‎13.为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种 A. 36 B. ‎48 ‎C. 60 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.‎ ‎【详解】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有种方式，‎ 所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有 种方式.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了组合与排列的应用，属于基础题.‎ ‎14.已知的展开式的所有项系数之和为27，则实数________，展开式中含的项的系数是___________．（ ）‎ A. ，23 B. ，‎16 ‎C. 2，16 D. 2，23‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入表达式可得到各项系数之和，按照展开式的系数的公式得到的系数之和.‎ ‎【详解】已知的展开式的所有项系数之和为27,将代入表达式得到，‎ 展开式中含的项的系数是，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出r值即可;(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出r值，最后求出其参数,属于基础题.‎ ‎15.已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数满足，得到，再结合，得到，即的周期为4，然后利用周期结合当时，求解.‎ ‎【详解】因为函数满足，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又因为时，，‎ 则，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性和周期性的综合应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.‎ ‎16.已知，是互不相同的正数，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数图象画出，得到如下图的图象，由图象交点特性，可知，，得，所以得到取值范围．‎ ‎【详解】不妨设，做出函数的图象如下图象所示，当时，解得或，则由图示可得，‎ 则 ，，所以所以即所以，‎ 又，所以，，所以取值范围是，‎ 的取值范围为：.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的关系、不等式的性质，运用图象时，常常思考：（1）先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2‎ ‎）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，属于中档题.‎ 二．解答题：本题共6小題，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知奇函数的定义域为，当时，．‎ ‎（1）求函数在上的值域；‎ ‎（2）若时，函数的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）当时，，当时，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据化简得出在上的解析式，再根据函数单调性得出值域；‎ ‎(2) 令,则, ， 讨论a的范围和二次函数单调性得出最小值.‎ ‎【详解】（1）设，则时，所以．‎ 又因为为奇函数，所以有，‎ 所以当时，， ‎ 所以在上的值域为， ‎ ‎（2）令∴‎ ‎∴，‎ ‎∴令，‎ ‎∴当时，∴在上单调递增，∴无最小值 ‎ 当时，∴在上单调递减，∴ ‎ 当时，∴在上单调递减，在单调递增 ‎∴ ‎ 综上所述：∴当时，无最小值 当时，‎ 当时，‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性，二次函数单调性与函数最值计算，分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎18.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面底面ABCD，，，E，Q分别是BC和PC的中点．‎ ‎（I）求直线BQ与平面PAB所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E-DQ-P的正弦值．‎ ‎【答案】（I） （II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）取AD中点O，连接OP，OB，BD，建立空间直角坐标系后，求出各点坐标，可得，面PAB一个法向量为，利用即可得解；‎ ‎（Ⅱ）由题意，求出平面DEQ的一个法向量为，平面DQC的一个法向量为，求出后，利用平方关系即可得解.‎ ‎【详解】（I）取AD中点O，连接OP，OB，BD．‎ 因为，所以．‎ 又侧面底面ABCD，‎ 面面，平面POD，‎ 所以平面ABCD，易知．‎ 又在菱形ABCD中，，O为AD中点，则 故建立以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的坐标系．‎ 因为ABCD菱形，且，，‎ 则，，，，，‎ 又E，Q是中点，则、，‎ 所以，，‎ 设面PAB的一个法向量为，直线BQ与平面PAB所成角，‎ 则，‎ 取，则，，‎ 故，‎ 所以，‎ 故直线BQ与平面PAB所成角的正弦值为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，，‎ ‎，‎ 所，，‎ 所以平面DEQ的一个法向量为，‎ 因，，‎ 设平面DQC的一个法向量为，二面角E-DQ-P为，‎ 则即．‎ 令，则，，即 所以，‎ 所以，‎ 故所求二面角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角和二面角，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎19.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）‎ ‎（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，‎ 约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占；‎ ‎（i）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）‎ ‎（ii）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为，求的分布列及数学期望.（说明表示的概率.参考数据：，）‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）;(ii) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令计算的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望.‎ ‎【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为，‎ 根据题意，，即.‎ 由得，，‎ 所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为分. ‎ ‎（ⅱ）因为，，.‎ 所以的分布列为 Y P 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：‎ ‎①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；‎ ‎②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ ‎③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ ‎④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．‎ ‎20.某投资公司准备在2020年年初将两千万投资东营经济开发区的“示范区”新型物流，商旅文化两个项目中的一个之中．‎ 项目一：新型物流仓是为企业提供仓储、运输、配送、货运信息等综合物流服务的平台．现准备投资建设10个新型物流仓，每个物流仓投资0.2千万元，假设每个物流仓盈利是相互独立的，据市场调研，到2022年底每个物流仓盈利的概率为，若盈利则盈利为投资额的40%，否则盈利额为0．‎ 项目二：购物娱乐广场是一处融商业和娱乐于一体的现代化综合服务广场．据市场调研，投资到该项目上，到2022年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为和．‎ ‎（1）若投资项目一，记为盈利的物流仓的个数，求（用表示）；‎ ‎（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为千万元，求（用表示）；‎ ‎（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）分类讨论，见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意结合二项分布的期望公式即可得解；‎ ‎（2）由题意列出分布列，利用离散型随机变量期望公式即可得解；‎ ‎（3）由题意分别计算出项目一、项目二的利润的期望与方差，分类比较即可得解.‎ ‎【详解】（1）由题意，‎ 则盈利的物流仓数的期望；‎ ‎（2）若投资项目二，盈利的金额为（千万元），亏损的金额为（千万元），‎ 则的分布列为 ‎1‎ 所以盈利的期望；‎ ‎（3）若盈利，则每个物流仓盈利（千万元），‎ 若选择项目一，盈利的期望为（千万元），‎ 方差为，‎ 若选择项目二，盈利的方差为：‎ ‎，‎ ‎①当时，，解得，‎ 而，故选择项目一；‎ ‎②当时，，解得，此时选择项目一；‎ ‎③当时，，解得，此时选择项目二．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了离散型随机变量期望与方差的求解和应用，考查了二项分布的应用与分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎21.某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费（单位：万元）对年销量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响对近6年宣传费和年销量的数据做了初步统计，得到如下数据：‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年宣传费（万元）‎ ‎38‎ ‎48‎ ‎58‎ ‎68‎ ‎78‎ ‎88‎ 年销售量（吨）‎ ‎16.8‎ ‎18.8‎ ‎20.7‎ ‎22.4‎ ‎24.0‎ ‎25.5‎ 经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式，两边取对数，即，令，即对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：‎ ‎75.3‎ ‎24.6‎ ‎18.3‎ ‎101.4‎ ‎（1）从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于21吨的概率．‎ ‎（2）根据所给数据，求关于的回归方程；‎ ‎（3）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本=固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），2019年该公司计划投入108万元宣传费，你认为该决策合理吗？请说明理由．（其中为自然对数的底数，）‎ 附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎【答案】（1）（2）（3）不合理，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表中数据可知6年中有3年的年销量低于21吨,则“至多有一年年销量低于21吨”的选法有种选法，从而可求其概率. （2）由题中数据得：，,根据，先求出，由，从而得出，得出方程. （3）根据题意有公司的年利润为，求出2019年该公司利润的最大值，‎ ‎【详解】（1）记事件A表示“至多有一年年销量低于21吨”，由表中数据可知6年中有3年的年销量低于21吨，故 ‎ ‎ ‎（2）对两边取对数得，令得，由题中数据得：，，‎ ‎，，‎ 所以， ‎ 由，‎ 得，故所求回归方程为 ‎ ‎（3）设该公司的年利润为，因为利润=销售收入-总成本，所以由题意可知 ‎ 当即时，利润取得最大值500万元，‎ 所以当宣传费时，利润取得最大值.‎ 故2019年该公司计划投入108万元宣传费的决策不合理 ‎【点睛】本题考查求概率和非线性回归方程以及利用回归方程解决决策的合理性分析，属于中档题.‎ ‎22.‎ ‎（1）求在上的单调区间；‎ ‎（2）当时，设函数，时，证明．‎ ‎（3）证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）分别在、、和四种情况下，根据导函数的正负确定原函数的单调区间；‎ ‎（2）将所证不等式转化为证明，采用换元法可知即证，利用导数可确定函数单调性，进而确定，由此证得结论；‎ ‎（3）由可得，通过分离常数法进行配凑，可以得到，根据不等式的性质，结合累加的方法可证得结论.‎ ‎【详解】（1）由题意得：，‎ ‎①当时，在上恒成立，‎ 的单调递减区间为，无单调递增区间；‎ ‎②当时，令，解得：或（舍），‎ 当时，；当时，；‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎③当时，在上恒成立，‎ 的单调递增区间为，无单调递减区间；‎ ‎④当时，令，解得：（舍）或 当时，；当时，；‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）由题意得：，‎ ‎，，即，‎ 要证，需证，即证，‎ 设，则要证，等价于证：，‎ 令，则，‎ 在区间内单调递增，，‎ 即，故.‎ ‎（3）由（1）知：当时，在上为增函数，，‎ 即，‎ 令， 可得：，‎ 即，‎ ‎， ‎ 则，，，，，‎ 不等式左右分别相加得：‎ ‎，不等式得证.‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、双变量问题的处理、不等式的证明；解决导数中的双变量问题的常用方法是引入第三个变量，从而将所证不等式转化为关于第三个变量的函数最值的求解问题，从而利用导数来进行求解，属于难题.‎