2014年内蒙古自治区赤峰市中考数学试题（含答案）

2014年内蒙古自治区赤峰市中考数学试题（含答案）

2014 年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷 数学 温馨提示： 1.本试卷卷面分值 150 分，共 8 页，考试时间 120 分钟。 2.答题前考生务必将姓名、考生号、座位号填写在试卷和答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注 意事项”。 3.答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上 视为无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将正确答案序号按要求涂在答题卡指定位置，每 小题 3 分，共 24 分） 1. 的相反数是 A. 3 B. C. D. 2.下面几何体中，主视图是三角形的是 3.赤峰市改革开放以来经济建设取得巨大成就，2013 年全市 GDP 总值为 1686.15 亿元，将 1686.15 亿元用 科学记数法表示应为 A. B. C. D. 4.下面是扬帆中学九年级八班 43 名同学家庭人口的统计表： 家庭人口数（人） 3 4 5 6 2 学生人数（人） 15 10 8 7 3 这 43 个家庭人口的众数和中位数分别是 A. 5，6 B. 3，4 C. 3，5 D. 4，6 5.如图（1），把一块含有 30°角（∠A=30°）的直角三角板 ABC 的直角顶点放在矩形桌面 CDEF 的一个顶点 C 处，桌面的另一个顶点 F 与三角板斜边相交于点 F，如果∠1=40°，那么∠AFE= A. 50° B. 40°[来源:学科网 ZXXK] C. 20° D. 10° 3− 3− 1 3 1 3 − 2168615 10× 元 416.8615 10× 元 81.68615 10× 元 111.68615 10× 元 6.如图（2），AB 是 ⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠BOC= A. 25° B. 50° C. 130° D. 155° 7.化简 结果正确的是 A. B. C. D. 8.如图（3），一根长为 5 米的竹竿 AB 斜立于墙 AC 的右侧，底端 B 与墙角 C 的距离为 3 米，当竹竿顶端 A 下滑 米时，底端 B 便随着向右滑行 米，反映 与 变化关系 的大致图象是 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题 3 分，共 24 分） 9.化简： 10.一只蚂蚁在图（4）所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为多少？ 11.下列四个汽车图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图标有几个？ 2 2a b ab b a − − ab ab− 2 2a b− 2 2b a− x y y x 2x x− 12.如图（5），E 是矩形 ABCD 中 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 折叠 到△AEF ，F 在矩形 ABCD 内部，延长 AF 交 DC 于 G 点，若∠ AEB=550, ∠DAF 的度数？ 13.如图（6），反比例函数 的图象与以原点 为圆心的圆交于 A、 B 两点，且 ，求图中阴影部分的面积？（结果保留 ）。 14.如图（7）所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（2， 2），“炮”位于点（-1，2），写出“兵”所在位置的坐标。 15.直线 过点 ，该直线的解析式可以写为？（只写出一个即可） 16.平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中 国结”的图案， 按图中规律，第 20 个图案中，小菱形的个数是多少？ 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤， 共 10 题，满分 102 分） 17.（6 分）计算： ( )0ky kx = > ( )0,0 ( )1, 3A l ( )2,0M − ( ) 10 0 13 32 8sin 45 4 π − − + − −   18.（6 分）求不等式组 的正整数解. 19.（10 分）如图（8），已知△ABC 中 AB=AC （1）作图：在 AC 上有一点 D，延长 BD，并在 BD 的延长线上取点 E，使 AE=AB， 连 AE，作∠EAC 的平分线 AF，AF 交 DE 于点 F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写 作法）； （2）在（1）条件下，连接 CF，求证：∠E=∠ACF[来源:Z&xx&k.Com] 20.（10 分）自从中央公布“八项规定”以来，光明中学积极开展“厉行节约，反对浪费”活动.为此，学校学生 会对九年级八班某日午饭浪费饭菜情况进行调查，调查内容分为四种：A.饭和菜全部吃光；B.有剩饭但菜吃 光；C.饭吃光但菜有剩；D.饭和菜都有剩.学生会根据统计结果，绘制如下两个统计图，根据统计图提供的 信息回答下列问题： （1）九年级八班共有多少学生？ （2）计算图（10）中 B 所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图； （3）光明中学有学生 2000 名，请估计这顿午饭有剩饭的学生人数，按每人平均 10 克米饭计算，这顿午饭 将浪费多少千克米饭？ 北京初中数学周老师的博客：http://blog.sina.com.cn/beijingstudy ( )4 1 3 4 5 2 3 x x x x  + + > − −≤ ① ② 21.（10 分）位于赤峰市宁城的“大明塔”是我国辽代的佛塔，距今已有 1 千多年的历 史.如图（11），王强同学为测量大明塔的高度，在地面的点 E 处测得塔基 BC 上端 C 的仰角为 30°，他又沿 BE 方向走了 26 米，到达点 F 处，测得塔顶端 A 的仰角为 52°，已知塔基是以 OB 为半径的圆内接正八边形，B 点在正八边形的一 个顶点上， 塔基半径 OB=18 米，塔基高 BC=11 米，求大明塔的高 OA（结果保留到整数， ） 22.（10 分）某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜.已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的 2 倍多 200 元， 买 3 头甲种牲畜和 1 头乙种牲畜共需 5700 元. （1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？ （2）若购买以上两种牲畜 50 头，共需资金 9.4 万元，求甲、乙两种牲畜各购买多少头？ （3）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为 95%和 99%，若使这 50 头牲畜的成活率不低于 97% 且购买的总费用最低，应如何购买？ 23.（12 分）如图（12），矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 轴和 轴上，点 B 的坐 标为 ，双曲线 的图象经过 BC 的中点 D，且于 AB 交于点 E. （1）求反比例函数解析式和 E 点坐标； （2）若 F 是 OC 上一点，且以∠OAF 和∠CFD 为对应角的△FDC 和△AFO 相似， 求 F 点的坐标. [来源:学# 科#网 Z#X#X#K] 24.（12 分）如图（13），E 是直线 AB、CD 内部一点，AB∥CD，连接 EA、ED （1）探究猜想：[来源:学.科.网 Z.X.X.K] ①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED 等于多少度？ ②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED 等于多少度？ ③猜想图（13）中∠AED、∠EAB、∠EDC 的关系并证明你的结论. （2）拓展应用：[来源:学科网 ZXXK] 如图（14），射线 FE 与矩形 ABCD 的边 AB 交于点 E，与边 CD 交于点 F，①②③④ 分别是被射线 FE 隔开的 4 个区域（不含边界，其中区域③④位于直线 AB 上方）， P 是位于以上四个区域上点，猜想：∠PEB、∠PFC、∠EPF 的关系（不要求证 明）. 北京初中数学周老师的博客：http://blog.sina.com.cn/beijingstudy 25.（12 分）阅读下面材料： 3 1.73≈ 0tan52 1.28≈ x y ( )4 6− ， ( 0)ky xx = > 如图（15），圆的概念：在平面内，线段 PA 绕它固定的一个端点 P 旋转一周， 另一个端点 A 所形成的图形叫做圆. 就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上. 圆心在 ，半径为 的圆的方程可以写为： . 如：圆心在 ，半径为 5 的圆的方程为： . （1）填空： ①以 为圆心， 1 为半径的圆的方程为： ； ②以 为圆心， 为半径的圆的方程为： ； （2）根据以上材料解决以下问题： 如图（16），以 为圆心的圆与 轴相切于原点，C 是⊙B 上一点，连接 OC，作 BD⊥OC 垂足为 D，延长 BD 交 轴于点 E，已知 . ①连接 EC，证明 EC 是⊙B 的切线； ②在 BE 上是否存在一点 P，使 PB=PC=PE=PO，若存在，求 P 点坐标，并写出以 P 为圆心，以 PB 为半径 的⊙P 的方程；若不存在，说明理由. 26.（14 分）如图（17），抛物线 与 轴交于点 ， 两点，与 轴交 于点 . （1）求该抛物线的解析式及顶点 M 的坐标； （2）求△BCM 面积与△ABC 面积的比； （3）若 P 是 轴上一个动点，过 P 作射线 PQ∥AC 交抛物线于点 Q，随着 P 点的运动，在抛物线上是否存 在这样的点 Q，使以 A、P、Q、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出 Q 点的坐标；若不存在， 请说明理由. y x 图（16） D E A B O C x y 图（17） M C BA O x y M C BA O ( ),P a b r ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = ( )2, 1P − ( ) ( )2 22 1 25x y− + + = ( )3,0A ( )1, 2B − − 3 ( )6,0B − y y 3sin 5AOC∠ = ( )2 0y ax bx c a= + + ≠ x ( )1,0A − ( )3,0B y ( )0, 3C − x 2014 年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷 数学 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.A 2.C 3.D 4.B 5.D 6.C 7.B 8.A 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9. 10. 11.1 个 12.20° 13. 14. (不唯一，写对即可） 16.800 个 三、解答题（如有不同于本答案的正确答案，请参照本答案赋分标准给分） 17.解：原式= ………………（3 分） = ……………………………………（6 分） 评分阈值：1 分 18.解：由（1）得 ∴ ……………………（2 分） 由（2）得 ∴ ……………………（4 分） ∴不等式组的解集为 ……………………（5 分） 评分阈值：1 分 19.解：（1）作图正确（5 分） （2）证明：在△ACF 和△AEF 中 ∵AE=AB=AC ………………（6 分） ∠EAF=∠CAF ………………（7 分） AF=AF ………………（8 分） ∴△ACF≌△AEF ………………（9 分） ∴∠E=∠ACF ………………（10 分） 评分阈值：1 分 20.解：（1）30÷60%=50（人） …………（2 分） （2）有剩饭菜吃光的人数为 50-30-5- 5=10（人） ……（3 分） 图作正确 …………（4 分） 圆心角为： …………（6 分） （3）有剩饭的人数为 （人）…………（8 分） 600×10=6（千克） ………………（10 分） 评分阈值：1 分 x 1 2 3 π ( )2,3− 15. 2y x= + 21 4 2 8 42 + − • − 3− 4 4 3x x+ + > 7 3x > − 3 12 2 10x x− < − 2x ≤ 7 22 x− < ≤ 0 010 360 7250 × = 10 52000 60050 +× = 21.在 Rt△CBE 中，∠CEB=30°，BC=11 ∴EC=22 ………………（2 分） 由勾股定理 …………（4 分） 在 Rt△AOF 中，∠AFO=52°， OF=18+19+26=63 且 …………（6 分） ∴OA= …………（8 分） =63×1.28 ≈81（米）………………（10 分） 评分阈值：1 分 22.解：（1）设甲种牲畜的单价是 元 依题意：3 +2 +200=5700 …………（1 分） 解得： =1100 2 +200=2400 ………………（2 分） 即甲种牲畜的单价是 1100 元，乙种牲畜的单价是 2400 元 …………（3 分） （2）设购买甲种牲畜 头 依题意：1100 +2400(50- )=94000 …………（4 分） 解得： =20 (50- )=30 ………………（5 分） 即甲种牲畜购买 20 头，乙种牲畜购买 30 头 …………（6 分） （3）设费用为 购买甲种牲畜 头 则 =1100 +240(50- ) ………………（7 分） =-1300 +120000 依题意： …………（8 分） 解得： ∵ =-1300<0 ∴ 随 增大而减小………………（9 分） ∴当 =25 时费用最低，所以各购买 25 头时满足条件………………（10 分） 评分阈值：1 分 23.解：（1）四边形 ABCD 是矩形，D 是 BC 中点， ∴ …………（1 分） 设反比例函数解析式为 …………（2 分） ∵ ∴ …………（3 分） 2 222 11 11 3 19EB = − = ≈ 0tan52 1.28= tanOF AFO∠ x x x x x y y y y y u t u t t t ( )95 99 9750 50100 100 100t t+ − ≥ × 25t ≤ k u t t ( )4,6B − ( )2,6D − ky x = 6 2 k= − 12k = − 12y x = − 当 时， ………………（4 分） ∴ ……………………（5 分） （2）设 ∵∠OAF=∠DFC △AOF∽△FDC ∴ 即 …………（8 分） ∴ …………（10 分） 解得： …………（11 分） ∴ 或 ……………………（12 分） 评分阈值：1 分 24.解：（1）①∠AED=70° ②∠AED=80° ③∠AED=∠EAB+∠EDC…………（4 分） 证明：延长 AE 交 DC 于点 F ∵AB∥DC ∴∠EAB=∠EFD…………………………………………(5 分) 又∵∠AED 是 △EFD 的外角 ∴∠AED=∠EDF+∠EFD…………………………………(7 分) =∠EAB+∠EDC…………………………………( 8 分) (2)P 点在区域①时： ∠EPF=3600 -(∠PEB+∠PFC) …………………………(9 分) P 点在区域②时： ∠EPF=∠PEB+∠PFC………………………………… (10 分) P 点在区域③时： ∠EPF=∠PEB-∠PFC………………………………… (11 分) P 点在区域④时： ∠EPF=∠PFC-∠PFB………………………………… (12 分) 评分阈值：1 分 25.解：（1）①方程为： ……………………… (2 分) ②方程为： ………………(4 分) （2）①证明 ∵OB=BC BD⊥OC ∴∠OBD=∠CBD ∵BE=BE 4x = − 12 34y = − =− ( )4,3E − ( )0,F y OF CD OA CF = 2 4 6 y y = − 2 6 8 0y y− + = 1 2y = 2 4y = ( )0,2F ( )0,4F ( )2 23 1x y− + = ( ) ( )2 21 2 3x y+ + + = ∴△BOE≌△BCE……………………………………(6 分) ∵AO⊥OE ∴∠BCE=∠BOE=900 ∴EC 是⊙B 的切线…………………………………(7 分) ②存在 取 BE 的中点 P 连接 PC、PO……………………… (8 分) ∵△BCE 和△B OE 是直角三角形 ∴PC= BE PO= BE……………………… (9 分) ∴PC=PB=PO=PE 过 P 作 PM⊥ 轴于 M、PN⊥ 轴于 N ∵P 是 BE 中点 ∴OM= OB ON= OE ∵∠AOC+∠EOC=900 ∠BEO+∠EOC=900 ∴∠AOC=∠BEO ………………（10 分） ∴ ∴ ，即 ∴BE=10 由勾股定理： ， …………………………（11 分） ∴⊙P 的方程为 …………………………（12 分） 评分阈值：1 分 26.解：（1）设抛物线解析式 为 ∵抛物线过点 ∴ ………………（2 分） ∴ 抛物线解析式为 ………（4 分） y x 第25题 N M P D E A B O C x y D M C BA O 1 2 1 2 x y 1 2 1 2 3sin 5AOC∠ = 3sin 5BEO∠ = 3 5 OB BE = 6 3 5BE = 2 210 6 8OE = − = ( )3,4P − 10 52PB = = ( ) ( )2 23 4 25x y+ + − = ( )( )1 3y a x x= + − ( )0 3， ( )( )3 0 1 0 3a− = + − 1a = − ( )( ) 21 3 2 3y x x x x= + − = − − ∵ ∴ （2）连 BC、BM、CM，作 MD⊥ 轴于 D…………（6 分） ∵ = = ………………（7 分） ………………（8 分） ………………（9 分） （3）存在………………（10 分） ①当 Q 点在 轴下方时，作 QE⊥ 轴于 E ∵AC∥PQ 且 AC=PQ ∴OC=EQ=3 解得： （舍） ∴ …………（11 分） ②当 Q 点在 轴上方时，作 QF⊥ 轴于 F ∵AC∥PQ 且 AC=PQ ∴Rt△OAC≌Rt△FPQ ∴OC=FQ=3 解得： ∴ 或 …………（13 分） 综上，满足条件的 Q 点为 或 或 …………（14 分） 评分阈值：2 分 x y F P Q E Q M C BA O P ( )22 2 3 1 4y x x x= − − = − − ( )1,4M x BCM BMD BOCOCMDS S S S∆ ∆ ∆= + −梯形 ( )1 1 13 4 1 2 4 3 32 2 2 × + × + × × − × × 7 8 9 32 2 2 + − = 1 4 3 62ABCS∆ = × × = ABC:S 3:6 1: 2BCMS∆ ∆ = = x x 23 2 3x x− = − − 1 0x = 2 2x = ( )2, 3Q − x x 23 2 3x x= − − 1 1 7x = − 2 1 7x = + ( )1 7,3Q − ( )1 7,3Q + ( )2, 3− ( )1 7,3− ( )1 7,3+