江苏省常州市前黄高级中学、溧阳中学2021届高三上学期期末联合考试数学试题

江苏省常州市前黄高级中学、溧阳中学2021届高三上学期期末联合考试数学试题

2021 届高三第一学期期末联合考试 数学学科试题 2021.1.28 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一个是符合题目要求） 1．已知集合  1 3A x x    R ，  2 4xB x  N ，则集合 A B 中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若  1 2z i i  ，则 z 的虚部为（ ） A．1 B．-1 C．i D． i 3．在 6 1 2 x x      的二项展开式中， 2x 的系数为（ ） A． 15 16 B． 15 16  C． 3 16 D． 3 16  4．已知平面向量  3, 1a   ， 4b  ，且 2a b a    ，则 a b   （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．2020 年 12 月 17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号 是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v （单位：m/s）和 燃料的质量 M （单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量 m （单位：kg）的函数关系表达式为 2000ln(1 )Mv m   ．如果火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是（ ） A． 6M e m B． 6 1Mm e  C． ln ln 6M m  D． 6 1M em   6．设 sin 2a  ，则（ D ） A． 2 1 2 2 logaa a  B． 2 1 2 2 logaa a  C． 2 1 2 log 2aa a  D． 2 1 2 log 2aa a  7．函数 ( ) |sin | cosf x x x 的导函数 ( )f x 在[0, ] 上的图像为（ ） 8．在四面体 ABCD 中， ABC BCD 和 均是边长为 1 的等边三角形，已知四面体 ABCD 的四个顶点 都在同一球面上，且 AD 是该球的直径，则四面体 ABCD 的体积为（ ） A. 2 24 B. 2 12 C. 2 6 D. 2 4 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 5 分， 部分选对得 2 分，不选或有错选的得 0 分． 9.下列命题中正确的是（ ） A. 命题" Rx . sinx 1 "的否定是“  x∈R，sinx>1" B. “a>1"是 1 a <1”的充分不必要条件 C. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2a + 2b > 2c ，则△ABC 为锐角三角形 D. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sin2A= sin2B，则 A=B 10．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS （ *nN ），公差 0d  ， 6 90S  ， 7a 是 3a 与 9a 的等比 中项，则下列选项正确的是（ ） A． 1 22a  B． 2d   C．当 10n  或 11n  时， nS 取得最大值 D．当 0nS  时， n 的最大值为 21 11. 过抛物线 2 4y x 的焦点 F 作直线交抛物线于 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 两点，M 为线段 AB 的中点， 则（ ） A．以线段 AB 为直径的圆与直线 1x   相切 B．以线段 BF 为直径的圆与 y 轴相切 C．当 3AF FB uuur uur 时， 9 2AB  D． 3OA OB    （O 为坐标原点） 12．已知函数 sin( )( 0)4y x     在区间 (0,1) 上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论 中正确的是（ ） A．存在 ，使 2sin( )4 2    B．存在 ，使 2 2sin( )4 2    C．有且仅有一个 0 (0,1)x  ，使 0 4sin( )4 5x    D．存在 0 (0,1)x  ，使 0sin( ) 04x    三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填写在答题卡相应位 置上． 13．已知 1tan 3   ，则 2sin 2 sin 1 cos2      的值为________． 14. CES 是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES 消费电子展 于 2020 年 1 月 7 日—10 日在美国拉斯维加斯举办.在这次 CES 消费电子展上，我国某企业发布了全 球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从 7 名员工中选出 3 名员工负责接待工作(这．3 名员工的工作视为相同的工作．．．．．．．．．．．．．)，再选出 2 名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和 乙至多有 1 人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种. 15．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对 3 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见 选票，如图所示．这 3 名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的 84%，75%，46%， 则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为__________． “我身边的榜样”评选选票 候选人 符号 注： 1．同意画“○”，不同意画“×”． 2．每张选票．．．．“○”．．．的个数不超过．．．．．．2． 时才为有效票．．．．．．． 甲 乙 丙 16．如图，在底面边长为 2，高为 3 的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大 球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为__________． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分 10 分）已知递增的等差数列{ }na 中， 、 5a 是方程 027122  xx 的两根， 数列{ }nb 的前 n 项和为 nS ，且 nn bS 2 11 (  Nn )． （1）求数列{ }na ，{ }nb 的通项公式； （2）记 nnn bac  ，求数列{ }nc 的前 n 项和 nT ． 18．（（本小题满分 12 分）） 已知 ABC 中， cos 0b A c  ． （Ⅰ） ABC 中是否必有一个内角为钝角，说明理由． （Ⅱ）若 ABC 同时满足下列四个条件中的三个： 1 2sin 2A  ；② 3sin 2C  ；③ 2a  ；④ 2c  ． 请证明使得 ABC 存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出 b 的值． 19．（本小题满分 12 分）如图，正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面互相垂直，且边长都是 1，M ， N ，G 分别为线段 AC ， BF ， AB 上的动点，且CM BN ， / /AF 平面 MNG ，记  0 1BG a a   . （1）证明： MG  平面 ABEF ； （2）当 MN 的长最小时，求二面角 A MN B  的余弦值. 20. （本小题满分 12 分）为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取140 名客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为 6 7 ，服务 水平的满意率为 5 7 ，对业务水平和服务水平都满意的有90名客户． （1）完成下面 2 2 列联表，并分析是否有 97．5%的把握认为业务水平与服务水平有关； 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 对业务水平不满意人数 合计 （2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取 2 名征求改进意见，用 X 表示对业务水平不满意的人数，求 X 的分布列与期望； （3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流 失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为 40% ，对两项都不满意的客户流失率为 75% ， 从该社区中任选 4 名客户，则在业务服务协议终止时至少有 2 名客户流失的概率为多少? 附：  2P K k 0010 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． 21. （本小题满分 12 分）已知函数      ln 1 cos 1xf x ae x a     ， a R . （1）当 1a  时，求  f x 的零点； （2）若   0f x  ，求 a 的取值范围. 22．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   0a b  的离心率为 3 2 ，且经过点 (2,1)P ，. 直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设O 为原点，若 OM ON ，求证：直线 l 经过定点. 2021 届高三第一学期期末联合考试 数学学科试题 2021.1.28 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一个是符合题目要求） 1．已知集合  1 3A x x    R ，  2 4xB x  N ，则集合 A B 中元素的个数为（ B ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若  1 2z i i  ，则 z 的虚部为（ B ） A．1 B．-1 C．i D． i 3．在 6 1 2 x x      的二项展开式中， 2x 的系数为（ D ） A． 15 16 B． 15 16  C． 3 16 D． 3 16  4．已知平面向量  3, 1a   ， 4b  ，且 2a b a    ，则 a b   （ C ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．2020 年 12 月 17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号 是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v （单位：m/s）和 燃料的质量 M （单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量 m （单位：kg）的函数关系表达式为 2000ln(1 )Mv m   ．如果火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是 （ D ） A． 6M e m B． 6 1Mm e  C． ln ln 6M m  D． 6 1M em   6．设 sin 2a  ，则（ D ） A． 2 1 2 2 logaa a  B． 2 1 2 2 logaa a  C． 2 1 2 log 2aa a  D． 2 1 2 log 2aa a  7．函数 ( ) |sin | cosf x x x 的导函数 ( )f x 在[0, ] 上的图像为（ B ） 8．在四面体 ABCD 中， ABC BCD 和 均是边长为 1 的等边三角形，已知四面体 ABCD 的四个顶点 都在同一球面上，且 AD 是该球的直径，则四面体 ABCD 的体积为（ B ） A. 2 24 B. 2 12 C. 2 6 D. 2 4 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 5 分， 部分选对得 2 分，不选或有错选的得 0 分． 9.下列命题中正确的是（ AB ） A. 命题" Rx . sinx 1 "的否定是“  x∈R，sinx>1" B. “a>1"是 1 a <1”的充分不必要条件 C. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2a + 2b > 2c ，则△ABC 为锐角三角形 D. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sin2A= sin2B，则 A=B 10．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS （ *nN ），公差 0d  ， 6 90S  ， 7a 是 3a 与 9a 的等比 中项，则下列选项正确的是（ BC ） A． 1 22a  B． 2d   C．当 10n  或 11n  时， nS 取得最大值 D．当 0nS  时， n 的最大值为 21 11. 过抛物线 2 4y x 的焦点 F 作直线交抛物线于 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 两点，M 为线段 AB 的中点， 则（ ABD ） A．以线段 AB 为直径的圆与直线 1x   相切 B．以线段 BF 为直径的圆与 y 轴相切 C．当 3AF FB uuur uur 时， 9 2AB  D． 3OA OB    （O 为坐标原点） 12．已知函数 sin( )( 0)4y x     在区间 (0,1) 上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论 中正确的是（ ABD ） A．存在 ，使 2sin( )4 2    B．存在 ，使 2 2sin( )4 2    C．有且仅有一个 0 (0,1)x  ，使 0 4sin( )4 5x    D．存在 0 (0,1)x  ，使 0sin( ) 04x    三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填写在答题卡相应位 置上． 13．已知 1tan 3   ，则 2sin 2 sin 1 cos2      的值为____ 5 18 ____． 14. CES 是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES 消费电子展 于 2020 年 1 月 7 日—10 日在美国拉斯维加斯举办.在这次 CES 消费电子展上，我国某企业发布了全 球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从 7 名员工中选出 3 名员工负责接待工作(这．3 名员工的工作视为相同的工作．．．．．．．．．．．．．)，再选出 2 名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和 乙至多有 1 人负责接待工作，则不同的安排方案共有_____360_____种. 15．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对 3 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见 选票，如图所示．这 3 名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的 84%，75%，46%， 则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为 ___95%_______． “我身边的榜样”评选选票 候选人 符号 注： 1．同意画“○”，不同意画“×”．甲 16．如图，在底面边长为 2，高为 3 的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大 球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为___ 4 2 3 _______． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分 10 分）已知递增的等差数列{ }na 中， 2a 、 5a 是方程 027122  xx 的两根， 数列{ }nb 的前 n 项和为 nS ，且 nn bS 2 11 (  Nn )． （1）求数列{ }na ，{ }nb 的通项公式； （2）记 nnn bac  ，求数列{ }nc 的前 n 项和 nT ． 解：(1) 027122  xx 得 31 x ， 92 x ， 因 为  na 是 递 增 ， 所 以 32 a ， 95 a ， 解      3 94 12 15 daa daa 得      2 11 d a ， 所 以 12  nan ……………2 分 在 11 2n ns b  中，令 1n 得 11 2 11 bb  ， 3 2 1 b ， 当 2n 时， nn bS 2 11 ， 1 1 11 2n ns b   ，两式相减得 nnn bbb 2 1 2 1 1   3 1 1  n n b b ， nb 是等比数列，所以 n n n bb 3 2)3 1( 1 1   …………………5 分 (2) nnnn nbac 3 24  nnn nnT 3 24 3 2)1(4 3 234 3 224 3 214 1321   2．每张选票．．．．“○”．．．的个数不超过．．．．．．2． 时才为有效票．．．．．．． 乙 丙 12210 3 24 3 2)1(4 3 234 3 224 3 2143   nnn nnT  两式相减得： nnn nT 3 24 3 4 3 4 3 422 121   n n 3 444  ， 所以 nn nT 3 222  ……………10 分 18．（（本小题满分 12 分）） 已知 ABC 中， cos 0b A c  ． （Ⅰ） ABC 中是否必有一个内角为钝角，说明理由． （Ⅱ）若 ABC 同时满足下列四个条件中的三个： ① 2sin 2A  ；② 3sin 2C  ；③ 2a  ；④ 2c  ． 请证明使得 ABC 存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出 b 的值． 解：（Ⅰ）因为 cos 0b A c  ，由正弦定理可得sin cos sin 0B A C  ， 在 ABC 中， πC A B   ，  sin sin sin cos cos sinC A B A B A B    ，.........2 分 所以不等式整理为sin cos cos sin sin cosA B A B B A  ， 即sin cos 0A B  ，因为  0,πA ，sin 0A  ， 所以 cos 0B  ，所以 B 为钝角．.........4 分 （Ⅱ）（i）若满足①③④，则正弦定理可得 sin sin a c A C  ， 即 2 2 sin2 2 C  ，所以 1sin 2C  ， 又 a c ，所以 A C ，在三角形中， 2sin 2A  ， 所以 π 4A  或 3 π4A  ，而由（Ⅰ）可得 π 4A  ， 所以可得 π 6C  ， π π 7π π π4 6 12B A C       ，.........6 分 所 以 2 2 6 22 cos 4 2 2 2 2 3 14b a c ac B                 ．.........7 分 （ii）若满足①②，由（Ⅰ）B 为钝角，A，C 为锐角， 及 2sin 2A  ， 3sin 2C  可得 π 4A  ， π 3C  ， 所以 5 π12B  不符合 B 为钝角，故①②不同时成立．.........9 分 （iii）若满足②③④，由 B 为钝角， 3sin 2C  ， 所以 π 3C  ，而 a c ，所以 A C ，这时 π 3B  ， 不符合 B 为钝角的情况，所以这种情况不成立．.........11 分 综上所述：只有满足①③④时 3 1b   ．.........12 分 19．（本小题满分 12 分）如图，正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面互相垂直，且边长都是 1，M ， N ，G 分别为线段 AC ， BF ， AB 上的动点，且CM BN ， / /AF 平面 MNG ，记  0 1BG a a   . （1）证明： MG  平面 ABEF ； （2）当 MN 的长最小时，求二面角 A MN B  的余弦值. 【详解】（1）因为 / /AF 平面 MNG ， 且 AF  平面 ABEF ，平面 ABEF  平面 MNG NG ， 所以 / /AF NG ，........1 分 所以 2CM BN a  ，所以  2 1AM a  ， 所以 1AM AG a CM BG a   ，所以 //MG BC ，........2 分 所以 MG AB ，........3 分 又因为平面 ABCD  平面 ABEF ， 且 MG  平面 ABCD ，平面 ABCD  平面 ABEF AB ， 所以 MG  平面 ABEF .........5 分 （2）由（1）知， MG NG ， 2 2 2 2(1 ) 2 2 1 2MN a a a a       ，当且仅当 1 2a  时等号成立，........7 分 分别以 BA ， BE ， BC 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz ， 则  1,0,0A ，  0,0,0B ， 1 1,0,2 2M      ， 1 1, ,02 2N      ， 设平面 AMN 的一个法向量为  1 1 1, ,m x y z ， 因为 1 1,0,2 2AM       ， 1 10, ,2 2MN       ， 则 1 1 1 1 02 2 02 2 x zm AM y zm MN              ，取 1 1z  ，得  1,1,1m  ，........9 分 设平面 BMN 的一个法向量为  2 2 2, ,n x y z ， 因为 1 1,0,2 2BM       ， 1 10, ,2 2MN       ， 则 2 2 2 2 02 2 02 2 x zn BM y zn MN             ，取 2 1z  ，得  1,1,1n   ，........11 分 所以 1cos , 3 m nm n m n           ，则二面角 A MN B  的余弦值为 1 3  .........12 分 20. （本小题满分 12 分）为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取140 名客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为 6 7 ，服务 水平的满意率为 5 7 ，对业务水平和服务水平都满意的有90名客户． （1）完成下面 2 2 列联表，并分析是否有 97．5%的把握认为业务水平与服务水平有关； 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 对业务水平不满意人数 合计 （2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取 2 名征求改进意见，用 X 表示对业务水平不满意的人数，求 X 的分布列与期望； （3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流 失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为 40% ，对两项都不满意的客户流失率为 75% ， 从该社区中任选 4 名客户，则在业务服务协议终止时至少有 2 名客户流失的概率为多少? 附：  2P K k 0010 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． 【解析】（1）由题意知对业务水平的满意的为120人，对服务水平的满意的为100人，得 2 2 列联 表： 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 90 30 120 对业务水平不满意人数 10 10 20 合计 100 40 140  2 2 140 90 10 30 10 21 5.25 5.024120 20 100 40 4K          ， 所以，有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关．.........4 分 （2） X 的可能取值为 0,1,2 ； 所以   0 2 10 30 2 40 C C 290 C 52P X    ，   1 1 10 30 2 40 C C 201 C 52P X    ，   2 0 10 30 2 40 C C 32 C 52P X    ． 则 X 的分布列如下， X 0 1 · P 29 52 20 52 3 52   29 20 3 10 1 252 52 52 2E X        ．.........8 分 （3）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为 90 95%140 280   ， 只对其中一项不满意的客户流失率为 40 3240%140 280   ， 对两项都不满意的客户流失率为 10 1575%140 280   ． 从该运营系统中任选一名客户流失的概率为 9 32 15 1 280 5    ， 在业务服务协议终止时，从社区中任选 4 名客户，至少有 2 名客户流失的概率为 4 0 3 0 4 4 14 1 4 1 1131 C C5 5 5 5 625P                      ．.........12 分 21. （本小题满分 12 分）已知函数      ln 1 cos 1xf x ae x a     ， a R . （1）当 1a  时，求  f x 的零点； （2）若   0f x  ，求 a 的取值范围. 【详解】（1）由题知：当 1a  时，    ln 1 1xf x e x    ，   1' 1 xf x e x    ， 令 1( ) '( ) 1 xg x f x e x     ，所以 2 1'( ) 0(1 ) xg x e x    ，.........2 分 所以  g x 在 1,  上单调递增，且  0 0g  ， 所以，当  1,0x  时，  ' 0f x  ，  f x 在 1,0 上单调递减； 当  0,x  时，  ' 0f x  ，  f x 在 0,  上单调递增. .........3 分 所以    0 0f x f  ，所以  f x 的零点为 0x  ..........4 分 （2）因为 1'( ) 1 xf x ae x    ， 当 1a  时，    0 cos 1f a a   ，令    cos 1h a a a   ， 因为    ' 1 sin 1 0h a a    ；所以  h a 在 ,1 上单调递增， 所以    1 0h a h  ，即  0 0f  ，所以 1a  不合题意，.........6 分 当 1a  时，令    'm x f x ，则   2 1 0(1 )' xam x e x    ， 所以  m x 在 1,  上单调递增， 且  0 1 0m a   ， 1 11 1 0am ae a a aa          ， 所以存在  0 1,0x   ，使得  0 0m x  ，.........8 分 即 0 0 1 01 xae x   ，  0 0ln 1 lnx x a    ， 所以，当  01,x x  时，设  ' 0f x  ，  f x 在 00, x 上单调递减； 当  0,x x  时，设  ' 0f x  ，  f x 在 0,x  单调递增；.........9 分 所以    0 0 0( ) ln 1 cos( 1)xf x f x ae x a      0 0 1 ln cos( 1)1 x a ax      0 0 1 1 ln cos( 1) 1 1 ln cos( 1) 01 x a a a ax             ..........11 分 综上，所求 a 的取值范围为 1a  ..........12 分 22．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   0a b  的离心率为 3 2 ，且经过点 (2,1)P ，. 直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设O 为原点，若 OM ON ，求证：直线 l 经过定点. 解：(1)依题意， 2 2 2 2 2 3 2 4 1 1 , , 0 c a a b a b c a b c             ＞ ，解得 2 2 2 6 a b c       所以椭圆 C 的方程为 2 2 18 2 x y  ..........4 分 (II)设 A( 1x ， 1y )，B( 2x ， 2y )，M(0，t)，t≠0，则 N(0，-t). 因为 P(2，1)，所以直线 PM 方程为 1 2 ty x t  联立 2 2 18 2 1 2 x y ty x t        ，得  22 ( 1) 2 8 0x t x t     ， 即 2 2 2( 2 2) 4 ( 1) 4 8 0t t x t t x t       ， 2 2( 2) ( 2 2) 2 4 0x t t x t        ， 所以 2 1 2 2 4 2 2 tx t t    ， 2 2 1 2 2 1 2 4 4 2 2 2 2 2 2 t t t ty tt t t t             同理 2 2 2 2 4 2 2 tx t t    ， 2 2 2 4 2 2 2 t ty t t      ................6 分 猜想：直线 AB 过定点 Q(0，u)，其中 u 待定. .........7 分 证明：因为 1 1( , )QA x y u  ， 2 2( , )QB x y u  ， 1 1 2 2( ) ( )x y u x y u   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 4( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t t t t t tut t t t t t t t t t t t                           3 3 4 4 16( 2 ) 8 ( 2 ) 4 4 t t u t t t t      3 4 8( 2)( 2 ) 4 u t t t     所以当 u=-2 时，QA  ∥ QB  恒成立。 所以直线 AB 即直线 l 过定点 Q(0，-2).................12 分