2020届江西省临川二中高三第二次模拟考试文科数学试题及答案解析

2020届江西省临川二中高三第二次模拟考试文科数学试题及答案解析

2020 届江西省临川二中高三第二次模拟考试文科数学试题 一、单选题 1．已知集合 { | 0 5}A x x   ， { *| 1 2}B x N x    则 (A B  ) A．{ |1 3}x x  B．{ | 0 3}x x  C．{1, 2，3} D．{0, 1，2，3} 2．双曲线 2 22 1x y  的实轴长为（ ） A． 2 2 B． 2 2 C． 2 D．1 3．将 1，2，3，4 四个数字随机填入如图所示的 2×2 方格中，每个方格中恰填一个数字，但数字 不可重复使用，则事件“A 方格的数字大于 B 方格的数字，且 C 方格的数字大于 D 方格的数字”发 生的概率为（ ） A． 1 16 B． 1 4 C． 25 64 D． 9 256 4．在等差数列 na 中， 1 5 8 9 21 5a a a a a    ， ，则 5a  （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．某城市收集并整理了该市 2019 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温（单位： C ）的数 据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折 线图，下列结论错误的是（ ） A．最低气温与最高气温为正相关 B．10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温 C．最低气温低于 0 C 的月份有 4 个 D．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月 6．已知平面向量 a  ，b  的夹角为120 ，  3,1a  ，则向量 a  在向量b  方向上的投影为（ ） A．1 B． 1 C． 3 D． 3 7．设复数 i-2 1 i =a+bi(a,b∈R),则 a+b=( ) A．1 B．2 C．-1 D．-2 8．下列函数中，既是偶函数，又在 (0, ) 上单调递增的是（ ） A． | |y x x B． 2 2x xy   C． 2 2x xy   D． | 1| | 1|y x x    9．函数   2= 1 sin1 xf x xe      的图象形状大致是（ ） A． B． C． D． 10．已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积是 A．8 B． 20 3 C．17 3 D． 14 3 11．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果为 86，则正整数 k 的最小值为（ ） A．1 806 B．43 C．48 D．42 12．已知函数 ( ) xf x x e  ， 21( ) ln2g x x x a   ，若 1 2, [1,2]x x  ，使得    1 2f x g x ， 则实数 a 的取值范围是（ ） A． 2 2 1 1ln2 2, 2e e       B． 2 2 1 1ln2 2, 2e e       C． 2 1 1 2, ln 2 22 e e       D． 2 1 1 2, ln2 22 e e       二、填空题 13．不等式 2 2 0x x   的解集为___________． 14．设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2n na S n   .若存在正整数 n ，使得不等式    26 2nn a m   成立，则实数 m 的取值范围是______. 15．已知 x，y，a 均为正实数，则 225 2 43 y x a ax x y     的最小值为_____. 三、解答题 16．如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 12 2 4AB BC AA   ，E 为 1 1A D 的中点，N 为 BC 的中点， M 为线段 1 1C D 上一点，且满足 1 1 1 1 4MC D C  ， F 为 MC 的中点. （1）求证： //EF 平面 1A DC ； （2）求三棱锥 1C FCN 的体积； （3）求直线 1A D 与直线 CF 所成角的余弦值. 17．直线 l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线 C1 的参数方程为 cos 1 sin x t y t     （t 为参数），圆 C2 的普通方程为 x2＋y2＋2 3 x＝0. （1）求 C1，C2 的极坐标方程； （2）若 l 与 C1 交于点 A，l 与 C2 交于点 B，当|AB|＝2 时，求△ABC2 的面积． 18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以 160,180 ， 180,200 ， 200,220 ，  220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中 的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组用户中，用分层 抽样的方法抽取 户居民，则月平均用电量在 220,240 的用户中应抽取多少户？ 19．选修 4-5：不等式选讲 已知 ( ) 2 2 .f x x a x    （Ⅰ）当 2a   时，求不等式 ( ) 4f x  的解集； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 2( ) 3 3 2f x a x   恒成立，求 a 的取值范围. 20．已知 ABC 中，角 、 、A B C 所对的边分别为 ,  、 、a b c a c b ，且 2 , 2  c a b c ，求 点C 的轨迹方程． 21． 已知 3≤x≤6， x≤y≤2x，求 x＋y 的最大值和最小值． 22．在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 3 cos sina B b A . （1）求角 B 的大小； （2）若 2 6b  ，求 ABC 的面积的最大值. 23．已知函数  2( ) ( 2)ln , 0, ,f x x ax a x x      a 为实数. （1）若 1a  ，求 ( )f x 的单调区间和极值； （2）设 ( ) ( ) ( 4)ln ( 2 2)g x f x a x a b x      ，且 ( )g x 有两个极值点 1 2 1 2, ( )x x x x ，若 4 31 3b   ，求 1 2( ) ( )g x g x 的最小值. 【答案与解析】 1．C 分析：先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 A∩B． 详解：∵集合 A={x|0≤x≤5}， B={x∈N*|x﹣1≤2}={1，2，3}， ∴A∩B={1，2，3}． 故选：C． 点睛：本题考查交集的求法，考查了自然数集的概念，属于基础题 2．C 将双曲线 2 22 1x y  写为标准形式，根据双曲线简单的几何性质可得结果. 双曲线 2 22 1x y  ，即 2 2 11 2 x y  ， 其中 2 2a  ，所以实轴长为 2 2a  ， 故选：C. 本题主要考查了双曲线简单的几何性质，属于基础题. 3．B 利用古典概型公式计算即可. 根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有 4 4 24A  种， 事件“A 方格的数字大于 B 方格的数字，且 C 方格的数字大于 D 方格的数字”的方法种数共有 2 4 6C  ∴事件“A 方格的数字大于 B 方格的数字，且 C 方格的数字大于 D 方格的数字”发生的概率为 6 24 = 1 4 故选：B． 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本 事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图” 列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用． 4．C 利用 a1+a9 =a2+a8，将 1 5 8 1a a a   与 9 2 5a a  作和可直接得 5a . 在等差数列{an}中，由 1 5 8 1a a a   与 9 2 5a a  作和得： 1 5 9 8 2a a a a a    =（ 1 9a a ）+ 5a -（ 8 2a a ） ∴a1+a9 =a2+a8，∴ 1 5 9 8 2a a a a a    = 5a =6． ∴a5=6． 故选 C． 本题考查等差数列的性质，是基础的计算题． 5．C 由该市 2019 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温（单位： C) 的数据的折线图，得最低气 温低于 0 C 的月份有 3 个． 解：由该市 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温（单位： C) 的数据的折线图，得： 在 A 中，最低气温与最高气温为正相关，故 A 正确； 在 B 中，10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温，故 B 正确； 在C 中，最低气温低于 0 C 的月份有 3 个，故C 错误． 在 D 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月，故 D 正确； 故选：C ． 本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于 基础题． 6．B 根据数量积的几何意义可知，在 a  在b  方向上的投影方向上的投影为 a r 与向量 a  ，b  夹角的余弦值 的乘积，即可求得答案． 解：因为  3,1a  ，所以 2a  ，又 a  ，b  的夹角为120 ， 所以向量 a  在向量b  方向上的投影为 cos , 122 0c s 1oa a b        故选：B 本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的定义是解决问题的关键，属于基础题． 7．A ∵ i-2 1 i =- 1 3 2 2  i=a+bi, ∴a=- 1 2 ,b= 3 2 . ∴a+b=1,故选 A. 8．C 利用函数的奇偶性定义和单调性的定义以及结合函数的解析式判断. A. 因为    | | | |f x x x x x f x        ，所以是奇函数，故错误； B. 因为    2 2 2 2x x x xf x f x       ，所以是奇函数，故错误； C. 因为    2 2 2 +2x x x xf x f x     ，所以是偶函数， 设  1 2, 0,x x   ，且 1 2x x ，       1 2 1 2 1 1 2 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1x x x x x x x x x xf x f x            ， 因为  1 2, 0,x x   ，所以 1 22 1 0x x   ，又 1 2x x ，所以 1 22 2 0x x  ， 所以    1 2 0f x f x  ，所以函数在 (0, ) 上单调递增，故正确； D. 因为    1 1, 1 1f x x x y x x f x            ，所以是偶函数， 2 , 1 1 1 0, 1 1 2 , 1 x x y x x x x x              ，在 (0, ) 上不单调，故错误； 故选：C 本题主要考查函数的奇偶性和单调性判断，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题. 9．B 先判断出函数 ( )f x 是偶函数，则其图像关于轴 y 对称，可以排除 C,D，然后再由 (2)f 的符号可得 出答案. ( )f x 的定义域为 R ，   2 1= 1 sin sin1 1 x x x ef x x xe e         . 1 1( ) sin( ) sin ( )1 1 x x x x e ef x x x f xe e             . 所以 ( )f x 为偶函数，排除 C,D. 又 2 2 1(2) sin 2 01 ef e    ，则排除 A. 故选：B 本题考查函数图像，函数的奇偶性，已知函数解析式选择图像的试题要对定义域、值域、奇偶性、 单调性、周期性等进行研究，属于中档题. 10．C 试题分析：根据三视图可知，该几何体是由一个正方体被平面截去一个三棱台得到的几何体，该三 棱台的体积为 1 1 1 7(2 2 ) 23 2 2 3       ，所以该几何体的体积为 3 7 172 .3 3   考点：本题考查三视图的概念与几何体体积的计算，考查空间想象能力，较难题. 点评：解决与三视图有关的问题，首先要根据三视图正确还原几何体，需要学生有较强的空间想象 能力. 11．B 根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案． 解：开始，n＝1，S＝1，故 S＝2×1＋1＝3，n＝1×(1＋1)＝2， S 与输出的结果不符，故 2≥k 不成立． S＝2×3＋2＝8，n＝2×(2＋1)＝6， S 与输出的结果不符，故 6≥k 不成立． S＝2×8＋6＝22，n＝6×(6＋1)＝42， S 与输出的结果不相符，故 42≥k 不成立． S＝2×22＋42＝86，n＝42×(42＋1)＝1 806. S 与输出的结果相符，故 1 806≥k 成立． 所以 k 的最小值为 43. 故选：B. 本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题． 12．B 直接对  f x 和  g x 进行求导，通过导数研究函数的单调性，得出 ( )f x 在区间[1,2] 上是单调减函 数和 ( )g x 在区间[1,2] 上是单调增函数，由于 1 2, [1,2]x x  ，使得    1 2f x g x ，则 { | ( )} { | ( )}y y f x y y g x     ，即可求出实数 a 的取值范围. 解：因为函数 ( ) xf x x e  ， 21( ) ln2g x x x a   ， ( ) (1 ) 0xf x e x    ， ( )f x 在区间[1,2] 上是单调减函数， 所以 2 2 1( ) ,e ef x      ， 21 1( ) 0xg x x x x      ， ( )g x 在区间[1,2] 上是单调增函数， 所以 1( ) ,2 ln22g x a a       ， 由于 1 2, [1,2]x x  使得    1 2f x g x ， 所以{ | ( )} { | ( )}y y f x y y g x     ， 当{ | ( )} { | ( )}y y f x y y g x     时，得 2 22 ln2 ea   或 1 1 2 ae   ， 所以 2 2 ln2 2ea    或 1 1 e 2a   ， 所以 ( ) ( )f x g x   ，得 2 2 1 1ln2 2,e e 2a        ． 故选：B． 本题考查利用导数判断函数的单调性，以及根据存在性问题求参数范围，考查转化和计算能力. 13． 2,1 不等式 2 2 0 ( 2)( 1) 0x x x x       的解集为 2,1 . 【考点定位】二次不等式的解法 14． 1 1,8 8     首先根据关系式转化为 12 2n na a    ，并求得数列 na 的通项公式，不等式转化为   2 max6 2nm n a     ，判断数列    6 2nn a  的单调性，求得最大值，以及 m 的取值范 围. 由 2n na S n   ①，可得 1 1 2 2n na S n     ②.由②-①可得 1 1 2n n na a a     ，即  1 12 22n na a    ，由 1 1 2a S   可得 1 1a   ， 1 2 1a   ，所以 2na  是首项为 1，公比 为 1 2 的等比数列，所以 1 12 2n na   ，即 1 1 22n na   ，所以   1 66 2 2n n nn a     ，设   1 6 2n nf n   ，则     1 5 6 71 2 2 2n n n n n nf n f n         ，当 7 0n  ，即 0 7n  时，  f n 递 增，当 7 0n  ，即 7n  时，  f n 递减，故  f n 的最大值为     17 8 64f f  . 若存在正整数 n ，使得不等式   26 2nn a m   成立，则   2 max6 2nm n a     故 2 1 64m  ，故实数 m 的取值范围 1 1,8 8     . 故答案为： 1 1,8 8     本题考查数列与函数的综合应用、数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中 档题型，本题的关键是根据 na 与 nS 的关系求数列 na 的通项公式. 15．10 化简表达式，利用基本不等式，以及完全平方式进行求解表达式的最小值，即可得到答案. 由题意，实数 x，y，a 均为正实数， 则 2 225 252 4 3 ( 1)3 3 y x ya a ayx x y x x            ， 因为 25 253 2 3 10 3 3 y y y yx x x x           ，当且仅当 y＝2x 时取等号， 又由 2( 1) 0a   ，当 1a  时取等号， 所以 225 2 43 y x a ax x y     的最小值为：10. 故答案为：10. 本题考查函数的最值的求法，基本不等式以及二次函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能 力，属于中档试题. 16．（1）见解析（2） 1 6 （3） 10 5 （1）利用三角形的中位线和梯形的中位线的性质得到线线平行，利用面面平行的判定定理证得平 面 1 //A DC 平面 EHF ，利用面面平行的性质得到 //EF 平面 1A DC ； （2）将三棱锥的顶点和底面转换，之后利用椎体体积公式求得结果； （3）利用异面直线所成角的定义，得到 1B CM （或其补角）是目标，之后应用余弦定理求得结 果. （1）作 1D D 的中点 H ，连接 EH ， FH . 又 E 为 1 1A D 的中点， ∴ EH 为 1 1A DD 的中位线， 1//EH A D . 又 F 为 MC 的中点， ∴ FH 为梯形 1D DCM 的中位线，∴ //FH CD . 在平面 1A DC 中， 1A D CD D ， 在平面 EHF 中， EH FH H ， ∴平面 1 //A DC 平面 EHF ， 又 EF  平面 EHF ，∴ //EF 平面 1A DC . （2） 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2C FCN N C FC C FC C MCV V S CN S CN           1 1 1 1 1 11 2 16 2 12 6C M CC CN          . 故所求三棱锥 1C FCN 的体积为 1 6 . （3）连接 1BC ， 1MB ，因为在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1//A D B C ， 且 1 1A D B C ，又点 M 在直线CF 上， 所以直线 1A D 与直线CF 所成角即为 1BC 与CM 所成的角， 即是 1B CM （或其补角）. 在 1B CM 中， 1 2 2B C ， 5MC  ， 1 5MB  . 由余弦定理得 2 2 2 1 1 1 1 cos 2 CM B C B MB CM CM B C          2 2 2 5 2 2 5 10 52 5 2 2       ， 故所求直线 1A D 与直线CF 所成角的余弦值为 10 5 . 本小题考查线面的位置关系，异面直线所成的角，三棱锥的体积等基础知识，考査空间想象能力， 推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想化归与转化思想. 17．（1） 2sin  为 1C 的极坐标方程， 2 3 cos   为 2C 的极坐标方程；（2） 3 2 . （1）先将曲线 C1 的参数方程化为普通方程，再根据直角坐标方程可将 C1，C2 化为极坐标方程； （2）由题意得 A ， B 的极坐标分别为  2sin ,A   ，  2 3cos ,B   ，得 2sin 2 3cos 4 sin 3AB          ，  0,  ，由条件 2AB  解方程得直线 l，再由 点到直线距离可得三角形的高，进而可求得面积. （1）由 1C ： 1 x cost y sint     （t 为参数）得  22 1 1x y   ， 即 2 2 2 0x y y   ， ∴ 2 2 sin 0    ，即 2sin  为 1C 的极坐标方程， 由圆 2C ： 2 2 2 3 0x y x   得 2 2 3 cos 0    ，即 2 3cos   为 2C 的极坐标方程． （2）由题意得 A ， B 的极坐标分别为  2sin ,A   ，  2 3cos ,B   . ∴ 2sin 2 3cos 4 sin 3AB          ，  0,  ， 由 2AB  得 1sin 3 2      ，∴ 2   或 5 6   . 当 2   时， B 点极坐标 0, 2      与 0  矛盾，∴ 5 6   ， 此时l 的方程为 5tan ( 0)6y x x   ， 即 3 3 0x y  ，由圆 2C ： 2 2 2 3 0x y x   知圆心 2C 的直角坐标为  3,0 ， ∴ 2C 到l 的距离    2 2 3 3 3 23 3 d      ， ∴ 2ABC 的面积为 1 1 3 322 2 2 2S AB d      . 即 2ABC 的面积为 3 2 . 本题主要考查了极坐标方程、参数方程、普通方程的互化，以及极坐标系下两点的距离公式，属于 中档题. 18．（1） 0.0075；（2） 230 ， 224 ；（3）5． 试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方 程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位 数为 a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5 可得；（3）可得各段的用户分别 为 25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数 试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1 得： x＝0.0075，所以直方图中 x 的值是 0.0075. ------------- 3 分 (2)月平均用电量的众数是 220 240 2  ＝230. ------------- 5 分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内， 设中位数为 a， 由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5 得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是 224. ------------ 8 分 (3)月平均用电量为[220,240)的用户有 0.0125×20×100＝25 户， 月平均用电量为[240,260)的用户有 0.0075×20×100＝15 户， 月平均用电量为[260,280)的用户有 0. 005×20×100＝10 户， 月平均用电量为[280,300]的用户有 0.0025×20×100＝5 户， -------------10 分 抽取比例＝ 11 25 15 10 5   ＝ 1 5 ，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 25× 1 5 ＝5 户．-- 12 分 考点：频率分布直方图及分层抽样 19．（1） 4,4 （2） 41, 3     （Ⅰ）对 x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（Ⅱ） 原不等式等价于不等式 22 4 2 3x a x a    恒成立，而    2 4 2 2 4 2 4x a x x a x a         ，所以 24 3a a  ，从而可得结果. （Ⅰ）当 2a   时，由   4f x  ，得 2 1 2 4x x    ， 当 1x  时，由    2 1 2 4x x    ，得 4 1x   ； 当1 2x  时，由    2 1 2 4x x    ，得；1 2x  . 当 2x  时，由    2 1 2 4x x    ，得 2 4x  ； 综上所述，   4f x  的解集为 4,4 . （Ⅱ）不等式   23 3 2f x a x   ， 即为 22 4 2 3x a x a    ， 即关于 x 的不等式 22 4 2 3x a x a    恒成立， 而    2 4 2 2 4 2 4x a x x a x a         ， 当且仅当   2 4 2 0x a x   时等号成立，所以 24 3a a  ， 解得 24 3a a  或 24 3a a   ， 解得： 41 3a   或 a  . 所以 a 的取值范围是 41, 3     . 绝对值不等式的常见解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 20． 2 2 1( 2 0)4 3 x y x     ． 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，设 ( , )C x y ， 根据| | | | 2| |CB CA AB  ，列出方程，即可求解. 由题意，以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系， 如图所示， 因为 2c  ，则 ( 1,0), (1,0)A B ，设 ( , )C x y ， 因为 2a b c  ，即| | | | 2| |CB CA AB  ， 即 2 2 2 2( 1) ( 1) 4x y x y      ，整理得所以 2 2 14 3 x y  ， 因为 a b ，即| | | |CB CA ，所以点C 只能在 y 轴的左边，即 0x  ． 又 ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在 x 轴上，即 2x   ． 所以所求点C 的轨迹方程为 2 2 1( 2 0)4 3 x y x     ． 本题主要考查椭圆的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义及标准方程是解答的关键，同时 注意结合三角形的条件，求得椭圆的限制条件是解答的一个易错点，着重考查推理与运算能力. 21．x＋y 的最大值和最小值分别是 18 和 4. 试题分析：画出可行域，当直线 x＋y＝0 向右上方平行移动，当其经过点(3，1)时，x＋y 取最 小值，当其经过点(6，12)时，x＋y 取最大值． 试题解析：原不等式组等价于 作出其围成的平面区域如下图所示． 将直线 x＋y＝0 向右上方平行移动，当其经过点(3，1)时，x＋y 取最小值，当其经过点(6， 12)时，x＋y 取最大值． ∴ (x＋y) min＝3＋1＝4，(x＋y)max＝6＋12＝18. 即 x＋y 的最大值和最小值分别是 18 和 4. 22．（1） 3  ；（2） 6 3 . （1）利用正弦定理直接得到答案. （2）利用余弦定理得到 2 224 a c ac   再利用均值不等式得到 24ac„ ,代入面积公式得到最大 值. （1）由正弦定理及已知，得 3sin cos sin sinA B B A   ， ∵ (0, )A  ，sin 0A  ，∴ tan 3B  . ∵ (0, )B  ，∴ 3B  . （2）由余弦定理，得 2 2 2 2 cosb a c ac B   ， 即 2 224 a c ac   2ac ac ac … ， ∴ 24ac„ ， ∴ 1 1 3sin 24 6 32 2 2ABCS ac B    „ ， 即 ABC 面积的最大值为 6 3 . 本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 23．（1）见解析；（2） 8 2ln33  （1）将 1a  代入  f x 中，得到解析式，结合导函数与原函数的单调性关系，判定单调区间，判 定极值，即可．（2）由条件得 1 2 1 21, 1,x x b x x    得到    1 2g x g x  1 1 2 2 2 1 2ln ,x x x x x x       设  1 2 0 1xt tx    ,令    12ln 0 1 ,h t t t tt         结合导函数，判定函数的单调性，计算最值， 即可． （1）将 1a  代入  f x 中，得到   2 3lnf x x x x   ，求导，得到   3' 2 1f x x x      2 1 2 32 3 x xx x x x     ，结合 0x  ，当  ' 0f x  得到.  f x 在 1, 单调递增，当  ' 0f x  ，得到  f x 在 0,1 单调递减，计算极值，令  ' 0f x  ，得到 1x  处取到极小值，为 2 ． （2）将  f x 解析式代入，得到    2 2 2 2lng x x b x x    ，求导得到    ' 22 1 1xg x b xx        ，令  ' 0g x  ,得到  2 1 1 0x b x    ,所以  2 1 2 1 2 41, 1, 1 4 03x x b x x b                 2 2 1 2 1 1 1 2 2 22ln 2 1 2ln 2 1g x g x x x b x x x b x                    2 21 1 2 1 2 2 2ln 2 1x x x b x xx           2 21 1 2 1 2 1 2 2 2ln 2x x x x x x xx       2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2ln 2ln ,x x x x x x x x x x x x          因为 1 20 ,x x  所以设  1 2 0 1xt tx    ,令    12ln 0 1 ,h t t t tt         则    2 2 2 12 1' 1 0,th t t t t          所以  h t 在 0,1 单调递减,又因为 4 31 ,3b   ,所以     2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 161 + 2 3 x xb x x tx x t        ,所以 1 33t t 或 ,又因为 10 1, 0 ,3t t   所以 所以   1 1 1 82ln 3 2ln33 3 3 3h t h               ,所 以    1 2g x g x 的最小值为 8 2ln33  本道题考查了导函数与原函数单调性的关系，考查了利用导函数计算最值，难度偏难．