用函数观点看一元二次方程

用函数观点看一元二次方程

年级 ‎ 九年级 课题 ‎26.2 用函数观点看一元二次方程（第1课时）‎ 课型 新授 教学媒体 多媒体 教 学 目 标 知识 技能 1． 二次函数图像与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；‎ 2． 会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；‎ 3． 会用估算方法估计一元二次方程的根.‎ 过程 方法 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，进一步理解体会方程与函数之间的联系.‎ 情感 态度 通过探究二次函数图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的情况的关系，进一步体会数形结合思想.‎ 教学重点 一元二次方程与二次函数之间的联系 教学难点 二次函数图像与x轴交点个数和一元二次方程的根的个数之间的关系 教 学 过 程 设 计 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 情境引入：‎ 问题： 如图，以‎40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h＝20t—5t2‎ 考虑以下问题：‎ ‎（1）球的飞行高度能否达到‎15m？如能，需要多少飞行时间？‎ ‎（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？‎ ‎（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？‎ ‎（4）球从飞出到落地要用多少时间？‎ 二、自主探究 ‎1.分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.‎ 上面问题(1)可以转化为已知二次函数h=20t－5t2的值为15，求自变量t的值.可以解一元二次方程20t－5t2＝3(即5t2-20t-3＝0);反过来，解方程5t2-20t-3＝0又可以看作已知二次函数y=5t2-20t-3的值为0，求自变量x的值.‎ 一般地，可以利用二次函数深入探究一元二次方程.‎ ‎2.二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋1.‎ 的图象如图26.2－2所示。观察并回答：‎ ‎（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x 教师提出问题，布置学生分组，限时15分钟的思考解决。学生以小组为单位进行思考，交流，讨论，尝试解决。教师巡视，及时了解学生的探究成果.‎ 师生共同分析，教师适当点拨，由学生板书问题，师生讲评。教师引导学生总结：二次函数与一元二次方程的解的关系 ‎15‎ 激起学生的好奇心，探索欲望，让学生充分参与数学活动 培养学生联系运用知识的能力，并能用数学语言描述发现的规律，初步感受二次函数与一元二次方程的关系 培养学生识图能力 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？‎ ‎（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.‎ ‎（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.‎ ‎（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.‎ 得到：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根。（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.‎ 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.‎ 例 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.由图像可以知道，当自变量是2时函数值小于0，当自变量是3时函数值大于0，所以抛物线y=x2－2x－2在2

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