八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件新版 人教版

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小结与复习 第十四章 整式的乘法与因式分解 要点梳理 一、幂的乘法运算 1. 同底数幂的乘法：底数 ________, 指数 ______. a m a n · =_______ a m+n 不变 相加 2. 幂的乘方：底数 ________, 指数 ______. 不变 相乘 a m ( ) n = ____________ a mn 3. 积的乘方：积的每一个因式分别 _____ ，再把所得的幂 _____. 乘方 相乘 ab n ( ) = ____________ a n b n (1) 将 _____________ 相乘作为积的系数； 二、整式的乘法 1. 单项式乘单项式： 单项式的系数 (2) 相同字母的因式，利用 _________ 的乘法 , 作为积的一个因式； 同底数幂 (3) 单独出现的字母，连同它的 ______ ，作为积的一个因式； 指数 注： 单项式乘单项式，积为 ________. 单项式 (1) 单项式分别 ______ 多项式的每一项； 2. 单项式乘多项式： (2) 将所得的积 ________. 注： 单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数 ________. 乘以 相加 相同 3. 多项式乘多项式： 先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的 ______ ，再把所得的积 ________. 每一项 相加 实质是转化为 单项式乘单项式 的运算 三、整式的除法 同底数幂相除，底数 _______, 指数 _________. 1. 同底数幂的除法： a m a n ÷ =_______ a m - n 不变 相减 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 ________. 1 1 =a m a m ÷ =_______ a 0 2. 单项式除以单项式： 单项式相除 , 把 _______ 、 ____________ 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的 _______ 一起作为商的一个因式 . 系数 同底数的幂 指数 3. 多项式除以单项式： 多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 . 单项式 每一项 相加 四、乘法公式 1. 平方差公式 两数 ______ 与这两数 ______ 的积 , 等于 这两数的 ______ . 和 差 平方差 ( a + b )( a - b ) =_________ a 2 b 2 - 2. 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的 _______ ，加上（或减去）它们的 ______ 的 2 倍 . 平方和 积 ( a + b ) 2 =______________ a 2 b 2 2 ab + + 五、因式分解 把 一个 多项式化为 几个 ________ 的 ________ 的形式 , 像这样的式子变形叫做把这个多项式 因式分解 ，也叫做把这个多项式 分解因式 . 1. 因式分解的定定义 整式 乘积 2. 因式分解的方法 (1) 提公因式法 (2) 公式法 ①平方差公式： __________________ ②完全平方公式： _______________________ a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ) a 2 ± 2 ab+b 2 =( a ± b ) 2 步骤： 1. 提公因式； 2. 套用公式； 3. 检查分解是否彻底； 考点讲练 考点一 幂的运算 例 1 下列计算正确的是 ( ) A ． ( a 2 ) 3 ＝ a 5 B ． 2 a － a ＝ 2 C ． (2 a ) 2 ＝ 4 a D ． a · a 3 ＝ a 4 D 例 2 计算： (2 a ) 3 ( b 3 ) 2 ÷4 a 3 b 4 . 解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除 . 解：原式 = 8 a 3 b 6 ÷4 a 3 b 4 =2 a 3-3 b 6-4 =2 b 2 . 幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法 . 这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础 . 其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的 . 归纳总结 针对训练 1. 下列计算不正确的是（ ） A.2 a 3 ÷ a =2 a 2 B. (- a 3 ) 2 = a 6 C. a 4 · a 3 = a 7 D. a 2 · a 4 = a 8 2. 计算： 0.25 2015 × （ - 4 ） 2015 - 8 100 ×0.5 301 . D 解：原式 =[0.25 × （ - 4 ） ] 2015 - （ 2 3 ） 100 ×0.5 300 ×0.5 = - 1 - （ 2 ×0.5 ） 300 ×0.5 = - 1 - 0.5= - 1.5 ； 3.(1) 已知 3 m =6,9 n =2, 求 3 m+2n , 3 2 m -4 n 的值 . (2) 比较大小： 4 20 与 15 10 . (2) ∵ 4 20 = （ 4 2 ） 10 =16 10 ， ∵16 10 >15 10 , ∴4 20 >15 10 . 3 2 m -4 n =3 2 m ÷3 4 n =(3 m ) 2 ÷(3 2 n ) 2 =(3 m ) 2 ÷(9 n ) 2 =6 2 ÷2 2 =9. 解： (1) ∵ 3 m =6,9 n =2, ∴ 3 m+2n =3 m · 3 2 n =3 m · (3 2 ) n =3 m · 9 n = 6 × 2 =12. 考点二 整式的运算 例 3 计算： [ x ( x 2 y 2 - xy )- y ( x 2 - x 3 y )] ÷3 x 2 y , 其中 x =1, y =3 . 解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则 . 解：原式 = ( x 3 y 2 - x 2 y - x 2 y + x 3 y 2 ) ÷3 x 2 y =(2 x 3 y 2 -2 x 2 y ) ÷3 x 2 y 当 x =1, y =3 时， 原式 = 整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则 . 整式的混合运算，要按照 先算乘方 ， 再算乘除 ， 最后算加减 的顺序进行，有括号的要算括号里的 . 归纳总结 针对训练 4. 一个长方形的面积是 a 2 -2 ab + a , 宽为 a , 则长方形的长为 ； 5. 已知多项式 2 x 3- 4 x 2 -1 除以一个多项式 A , 得商为 2 x ，余式为 x -1 , 则这个多项式是 . a -2 b +1 6. 计算： (1)( － 2xy 2 ) 2 ·3x 2 y·( － x 3 y 4 ) ． (2)x(x 2 ＋ 3) ＋ x 2 (x － 3) － 3x(x 2 － x － 1) (3)( － 2a 2 )·(3ab 2 － 5ab 3 ) ＋ 8a 3 b 2 ； (4)(2x ＋ 5y)(3x － 2y) － 2x(x － 3y) ； (5)[x(x 2 y 2 － xy) － y(x 2 － x 3 y)]÷x 2 y ； 解：（ 1 ）原式＝－ 12x 7 y 9 （ 2 ）原式＝－ x 3 ＋ 6x （ 3 ）原式＝ 2a 3 b 2 ＋ 10a 3 b 3 （ 4 ）原式＝ 4x 2 ＋ 17xy － 10y 2 （ 5 ）原式＝ 2xy － 2 考点三 乘法公式的运用 例 4 先化简再求值： [( x - y ) 2 +( x + y )( x - y )] ÷2 x , 其中 x =3, y =1.5 . 解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算 . 原式 =3-1.5=1.5. 解：原式 = ( x 2 -2 xy + y 2 + x 2 - y 2 ) ÷2 x =(2 x 2 -2 xy ) ÷2 x = x-y . 当 x =3, y =1.5 时 ， 归纳总结 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度 . 7 ．下列计算中，正确的是 ( ) A ． ( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 － 2 ab ＋ b 2 B ． ( a － b ) 2 ＝ a 2 － b 2 C ． ( a ＋ b )( － a ＋ b ) ＝ b 2 － a 2 D ． ( a ＋ b )( － a － b ) ＝ a 2 － b 2 8 ． 已知 ( x ＋ m ) 2 ＝ x 2 ＋ nx ＋ 36 ，则 n 的值为 ( ) A ． ±6 B ． ±12 C ． ±18 D ． ±72 9 ．若 a ＋ b ＝ 5 ， ab ＝ 3 ，则 2 a 2 ＋ 2 b 2 ＝ ________ ． 针对训练 C B 38 10 ．计算： (1)( x ＋ 2 y )( x 2 － 4 y 2 )( x － 2 y ) ； (2)( a ＋ b － 3)( a － b ＋ 3) ； (3)(3 x － 2 y ) 2 (3 x ＋ 2 y ) 2 . 解： (1) 原式 = ( x ＋ 2 y ) ( x － 2 y ) ( x 2 － 4 y 2 ) (2) 原式 ＝ [ a ＋ ( b － 3)][( a － ( b- 3)] = ( x 2 － 4 y 2 ) 2 =x 4 － 8 x 2 y 2 ＋ 16 y 4 ； =a 2 － ( b － 3) 2 = a 2 － b 2 ＋ 6 b － 9. (3) 原式 ＝ [ (3 x － 2 y )(3 x ＋ 2 y )] 2 =(9 x 2 － 4 y 2 ) 2 =81 x 4 － 72 x 2 y 2 ＋ 16 y 4 11. 用简便方法计算 (1)200 2 － 400×199 ＋ 199 2 ； (2)999×1 001. 解： (1) 原式＝ (200 － 199) 2 =1; (2) 原式＝ (1000 － 1)(1000+1) ＝ 999999. ＝ 1000 2 － 1 考点四 因式分解及应用 例 5 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( ) A ． a ( x － y ) ＝ ax － ay B ． x 2 － 1 ＝ ( x ＋ 1)( x － 1) C ． ( x ＋ 1)( x ＋ 3) ＝ x 2 ＋ 4 x ＋ 3 D ． x 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ x ( x ＋ 2) ＋ 1 B 点拨： (1) 多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式； (2) 判断过程要从左到右保持恒等变形 . 例 6 把多项式2 x 2 －8分解因式，结果正确的是( ) A．2( x 2 －8) B．2( x －2) 2 C．2( x ＋2)( x －2) D．2 x ( x － ) C 因式分解是把一个多项式化成几个 整式的积 的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止 . 归纳总结 针对训练 12. 分解因式： x 2 y 2 － 2 xy ＋ 1 的结果是 ________ ． 13. 已知 x － 2 y ＝－ 5 ， xy ＝－ 2 ，则 2 x 2 y － 4 xy 2 ＝ ________ ． 14. 已知 a － b ＝ 3 ，则 a ( a － 2 b ) ＋ b 2 的值为 ________ ． 15. 已知 x 2 － 2( m ＋ 3) x ＋ 9 是一个完全平方式，则 m ＝ ________ ． ( xy － 1) 2 20 9 － 6 或 0 16. 如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 ________ . a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ). b a a a a b b b b b a - b 17 ．把下列各式因式分解： (1)2 m ( a － b ) － 3 n ( b － a ) ； (2)16 x 2 － 64 ； (3) － 4 a 2 ＋ 24 a － 36. 解： (1) 原式＝ ( a － b )(2 m ＋ 3 n ) ． (2) 原式＝ 16( x ＋ 2)( x － 2) (3) 原式＝－ 4( a － 3) 2 课堂小结 幂的运算性质 整式的乘法 整式的除法 互逆 运算 乘法公式 （平方差、完全平方公式） 特殊 形式 相反变形 因式分解 （提公因式、公式法） 相反变形