人教A版选修1-12-3-2抛物线的几何性质（1）（含答案）

人教A版选修1-12-3-2抛物线的几何性质（1）（含答案）

§2.3.2 抛物线的几何性质（１） 【学情分析】： 由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已 有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工 夫，训练基本技能。 【教学目标】： （ 1） 知识与技能： 熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。 （ 2） 过程与方法： 重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问 题，善于独立思考。 （ 3） 情感、态度与价值观： 培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的 求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。 【教学重点】： 熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。 【教学难点】： 熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。 【课前准备】： Powerpoint 或投影片 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引入 1．已知抛物线的焦点坐标是 F(0，－2)，求它的标准方程． 解：焦点在 x 轴负半轴上， 2 p =2，所以所求抛物线的标准方程 是 xy 82  2.填空：动点 M 与定点 F 的距离和它到定直线的距离的比等 于 e，则当 0＜e＜1 时，动点 M 的轨迹是椭圆；当 e=1 时，动 点 M 的轨迹是抛物线；当 e＞1 时，动点 M 的轨迹是双曲线． 3.复习椭圆、双曲线几何性质的主要内容： 通过离心率的填 空引出抛物线。引起学 生的兴趣。 二、抛物线的几 何性质 类比研究归纳抛物线的几何性质： 引导学生填写表 格。通过对比，让学生 掌握抛物线的四种图 形、标准方程、焦点坐 标以及准线方程。 曲 线 抛 物 线 方 程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 图 形 x y o F L x y o F L y o F L y o F L 焦 点 F(p/2,0) F(-p/2,0) F(0,p/2) F(0,-p/2) 范 围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶 点 O(0,0) O(0,0) O(0,0) O(0,0) 离心率 e=1 e=1 e=1 e=1 准 线 x=-p/2 x=p/2 y=-p/2 y=p/2 渐近线 无 无 无 无 曲 线 椭 圆 双曲线 方 程 12 2 2 2  b y a x )0(  ba 12 2 2 2  b y a x )0,0(  ba 图 形 焦 点 F1(-c,0)F2(c,0) F1(-c,0)F2(c,0) 范 围 |x|≤a,|y|≤b |x|≥a,y∈R 对称性 中心、轴对称 中心、轴对称 顶 点 A1,A2, B1,B2 A1(-a,0),A2(a,0) 离心率 e∈(0,1) e∈(1,+∞) 准 线 x=±a2/c x=±a2/c 渐近线 无 y=±(b/a)x x y oF1 F2 L L2 x y oF1 F 2 L L 2 三、例题讲解 例 1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 A （4,2 3 ），求这条抛物线的准线方程。 解：⑴若抛物线开口向右， 设抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)y px p  ∵  2 2 3 2 4p  ∴ 3 2p  ∴抛物线的标准方程为 3 4x   ⑵若抛物线开口向上， 设抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)x py p  ∵ 24 2 2 3p  ∴ 4 3 3p  ∴抛物线的标准方程为 2 3 3y   例 2 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯 口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。已 知灯口的直径是 24cm，灯深 10cm，那么灯泡与反射镜的顶点 距离是多少？ 让学生运用抛物 线的几何性质，写出符 合条件的抛物线的准 线方程。 三、例题讲解 分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解， 强调方程的完备性。 解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使 反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合， 轴垂直于灯 口直径． 抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)y px p  ，由已知条件可得点 的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得： 230 2 40p  ， 25 4p  所以所求抛物线的标准方程为 2 45 2y  ，焦点坐标是 运用抛物线的几 何性质解决现实生活 中的问题，提高学生学 习数学的兴趣和综合 解题能力。 . 例 3 过抛物线 pxy 22  的焦点 F 任作一条直线 m，交这抛物 线于 A、B 两点， 求证：以 AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切． 分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 证明：如图．设 AB 的中点为 E，过 A、E、B 分别向准线l 引垂 线 AD，EH，BC，垂足为 D、H、C，则 ｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜ 所以 EH 是以 AB 为直径的圆 E 的半径，且 EH⊥l， 因而圆 E 和准线l 相切． 四、巩固练习 1．过抛物线 xy 42  的焦点作直线交抛物线于  11 , yxA ，  22 , yxB 两点，如果 621  xx ，那么 || AB =（ B ） （A）10 （B）8 （C）6 （D）4 2．已知 M 为抛物线 xy 42  上一动点， F 为抛物线的焦点， 定点  1,3P ，则 |||| MFMP  的最小值为（ B ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3．过抛物线  02  aaxy 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 、 Q 两点，若线段 PF、QF 的长分别是 p 、q ，则 qp 11  =（ C ） （A） a2 （B） a2 1 （C） a4 （D） a 4 4．过抛物线 xy 42  焦点 F 的直线l 它交于 A 、 B 两点，则 弦 AB 的中点的轨迹方程是  122  xy 5.定长为3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 xy 2 上移动， 求 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值，并求出此时 AB 中点 M 的坐标 （答案：        2 2,4 5M , M 到 y 轴距离的最小值为 4 5 ） 6. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M(-3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值． 解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为 y2=-2px(p＞0)，则准 分层训练，让学生 牢牢掌握抛物线的几 何性质。 线方 因为抛物线上的点 M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离 得 p=4． 因此，所求抛物线方程为 y2=-8x． 又点 M(-3，m)在此抛物线上，故 m2=-8(-3)． 解法二：由题设列两个方程，可求得 p 和 m．由题意 在抛物线上且|MF|=5，故 由学生演板． 五、课后练习 1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图． （1）顶点在原点，对称轴是 x 轴，顶点到焦点的距离等于 8． （2）顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过 P（4，2）点． （3）顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上点 P（m，－3）到焦点 距离为 5． 2．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，若 A、B 在准线上的射影是 A2，B2，则∠A2FB2 等于 3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与 y 轴 垂直的弦长为 16，求抛物线方程． 4．以椭圆 15 2 2  yx 的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶 点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长． 5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶 4 米时，水面宽 40 米， 当水面下降 1 米时，水面宽是多少米？ 6．已知抛物线关于 x 轴对称，顶点在坐标原点,其上一点 M(2,m) 到焦点的距离等于 3,求抛物线方程及 m 值。 习题答案： 课后练习注意分 层训练，让学生牢牢掌 握抛物线的几何性质。 1．（1）y2＝±32x （2）x2＝8y （3）x2＝－8y 2．90° 3．x2＝±16 y 4． 54 5． 520 米 6．y2=4x, m= 22 或 22 练习与测试： 1.求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点为（0，5）； （2）对称轴为x轴，顶点在原点，且过点（-3，4）。 2.若P（x0，y0）是抛物线y2=-32x上一点，F为抛物线的焦点，则PF=（ ）。 （A）x0+8 （B） x0 -8 （C）8- x0 （D） x0 +16 3. 一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，求水面宽度。 4. 已知抛物线关于 x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 )22,2( M ，求它的 标准方程． 解：由题意，可设抛物线方程为 pxy 22  ，因为它过点 )22,2( M ， 所以 22)22( 2  p ，即 2p 因此，所求的抛物线方程为 xy 42  ． 5.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径 60cm，灯深为 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置． 分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物 线上一点坐标，从而求出 p 值． 解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶 点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径． 设抛物线的标准方程是 pxy 22  (p＞0)． 由已知条件可得点 A 的坐标是(40，30)，代入方程，得 402302  p ， 即 4 45p 所求的抛物线标准方程为 xy 2 452  ．