八年级下数学课件《由边 对角线的关系判定平行四边形》课件_冀教版

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第二十二章 四边形 22.2 平行四边形的判定 第2课时 由边、对角线的关系 判定平行四边形 1 u由两组对边的关系判定平行四边形 u由对角线互相平分判定平行四边形 u平行四边形判定方法的综合应用 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 根据平行四边形的性质思考：对边相等或对角 相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形 呢？ 1 由两组对边的关系判定平行四边形 如图将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起， 做成一个四边形，使等长的木条成为对边．转动这个 四边形，使它形状改变，在图形变化的过程中，它一 直是一个平行四边形吗？ 知1－导 木条在转动过程中，虽然形状发生了变化，但始终是 平行四边形。 由此我们可以猜想： 两组对边分别相等的 四边形是平行四边形。 你能通过几何证明验证你的猜想吗？ B C A D 知1－导 已知：在四边形ABCD中, AB=CD，AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连结AC，在△ABC和△CDA中 ∴△ABC≌ △CDA (SSS) ∴∠1=∠2，∠3=∠4 (全等三角形的对应角相等) ∴ AB∥CD，AD∥BC (内错角相等，两直线平行) ∴四边形ABCD是平行四边形. (平行四边形的定义) AB CD AC AC AD BC ì =ïïï =íïï =ïî B DA C 2 1 3 4 知1－导 归 纳 知1－导 通过证明验证了猜想的正确性，因此我们得到平行四 边形的判定定理1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 数学语言表示： ∵AB＝CD，AD＝BC (已知) ∴四边形ABCD是平行四边形. (两组对边分别相等的四边形是平行四边形) B DA C 知1－讲 例1 如图，分别以△ABC的三边为一边，在BC的同侧 作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形 ACF，连接DE，EF. 求证：四边形ADEF是平行 四边形． 导引：由等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等， 进而可以通过全等三角形证明四边形ADEF的两 组对边分别相等，最后根据两组对边分别相等的 四边形是平行四边形进行判定． 知1－讲 ∵△ABD、△BCE、△ACF都为等边三角形， ∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，AC＝AF， ∠DBA＝60°，∠EBC＝60°. ∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA. ∴∠DBE＝∠ABC.∴△DBE≌ △ABC.∴DE＝AC. 又∵AC＝AF，∴AF＝DE. 同理可证△ABC≌ △FEC，∴AB＝FE.∴FE＝AD. ∴四边形ADEF是平行四边形． 证明： 解答本题时通过证明三角形全等得到四边形 ADEF的两组对边分别相等是关键． 知1－讲 1 已知：如图， AC为▱ ABCD的对角线， DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：四边形DEBF是平行四边形 知1－练 （来自教材） 知1－练 （来自教材） 在▱ ABCD中，AD∥BC，AD＝BC. 因为DE⊥AC，BF⊥AC， 所以∠DEA＝∠DEF＝∠BFE＝∠BFC＝90°， 因为AD∥BC，所以∠DAE＝∠BCF， 在△ADE和△CBF中， 所以△ADE≌ △CBF， 所以DE＝BF，因为∠DEF＝∠BFE＝90°， 所以DE∥BF，所以四边形DEBF是平行四边形． DEA BFC DAE BCF AD BC ＝ ， ＝ ， ＝ ，       证明： 2 如图，已知三点A，B，C.画平行四边形，使其 三个顶点分别是A，B，C. 知1－练 （来自教材） 解：略． 知1－练 （来自教材） 3 已知：如图，在▱ ABCD的各边AB，BC，CD ， DA上分别取点K，L， M，N，使AK=CM， BL=DN. 求证：四边形KLMN是平行四边形. 知1－练 （来自教材） 在▱ ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD， AD＝BC，因为AK＝CM，所以DM＝BK， 在△NDM和△LBK中， 所以△NDM≌ △LBK. 所以MN＝KL， 同理可得NK＝ML， 所以四边形KLMN是平行四边形． DN BL D B DM BK ＝ ， ＝ ， ＝ ，      证明： 知1－练 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b 为一组对边长，c，d为另一组对边长且a2＋b2＋ c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形是(　　) A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 4 B 知1－练 下列图形中，一定可以拼成平行四边形的 是(　　) A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形 5 D 知1－练 在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②AB＝CD； ③BC∥AD；④BC＝AD中任选两个使四边形 ABCD为平行四边形的选法有(　　) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 6 B 2 由对角线互相平分判定平行四边形 知2－导 通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相 等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或 对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？ 也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边 形”为例，通过三角形 全等进行证明. 思考 知2－导 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O， 且OA=OC，OB=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. ∵OA=OC，OD=OB, ∠AOD=∠COB， ∴△ AOD≌ △COB. ∴∠OAD=∠OCB. ∴AD//BC. 同理 AB//DC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 证明： 归 纳 知2－导 平行四边形的判定定理3： 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 符号语言：如图， 在四边形ABCD中， ∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形． 知2－讲 例2 已知：如图，▱ ABCD的两条对角线AC，BD相 交于点O，E，F分别为OA，OC的中点. 求证：四边形EBFD是平行四边形. （来自教材） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. ∵E，F分别为OA，OC的中点. ∴OE=OF. ∴四边形EBFD是平行四边形． 知2－讲 从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线 互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第 二条对角线的中点. 1 已知：如图，▱ ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，G是OA 的中点，H是OC的中点. 求证：四边形EGFH是平行四边形. 知2－练 （来自教材） 知2－练 （来自教材） 解：在▱ ABCD中，AD∥BC，OA＝OC， 因为AD∥BC，所以∠EAO＝∠FCO， 在△AEO和△CFO中， 所以△AEO≌ △CFO， 所以EO＝FO， 因为G是OA的中点，H是OC的中点， 所以OG＝OH＝ OA＝ OC， 所以四边形EGFH是平行四边形． EAO FCO OA OC AOE COF ＝ ， ＝ ， ＝ ，       1 2 1 2 知2－练 【中考·牡丹江】如图，四边形ABCD的对角线 相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件 ______________(只添一个即可)，使四边形 ABCD是平行四边形． 2 BO＝DO 知2－练 【中考·昆明】如图，在四边形ABCD中，对角 线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边 形ABCD为平行四边形的是(　　) A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC 3 C 知2－练 【中考·绵阳】如图，在四边形ABCD中，对角线 AC，BD相交于E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为(　　) A．6 B．12 C．20 D．24 4 D 3知识点 平行四边形判定方法的综合应用 例3 [中考·仙桃]如图，四边形ABCD是平行四边形， E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD， FB.给出以下条件：①BE∥DF；②BE＝DF； ③AE＝CF.请你从中选取一个条件，使∠1＝ ∠2成立，并给出证明． 导引：欲证明∠1＝∠2，只需证 得四边形BFDE是平行四边 形或△ABF≌ △CDE即可． 知3－讲 知3－讲 选取条件①BE∥DF. 证明：如图，∵BE∥DF， ∴∠BEC＝∠DFA.∴∠BEA＝∠DFC. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE与△CDF中， ∴△ABE≌ △CDF(AAS)．∴BE＝DF. 又∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形． ∴ED∥BF.∴∠1＝∠2. BEA DFC BAE DCF AB CD ＝ ， ＝ ， ，       解： 知3－讲 选取条件③AE＝CF. 证明：∵AE＝CF，∴AF＝CE. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAF＝∠DCE. 在△ABF与△CDE中， ∴△ABF≌ △CDE(SAS)．∴∠1＝∠2. AF CE BAF DCE AB CD ＝ ， ＝ ， ＝ ，      知3－讲 平行四边形判定方法综合起来有多种，具体选择 哪种方法　判定要取决于题目中给出的条件，最终目 的都是为了简单、方便的判定四边形是平行四边形． 1 已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O.仅从下列条件中任意选取两项作为已 知条件，能够判定四边形ABCD是平行四边形的有 哪些？ ①AB∥CD；②BC=AD； ③AB=CD； ④BC∥AD； ⑤OA=OC； ⑥OB=OD. 知3－练 （来自教材） 知3－练 （来自教材） 解：①③，①④，①⑤，①⑥，②③，②④，④⑤， ④⑥，⑤⑥均能够判定四边形ABCD是平行四 边形． 2 已知：如图，D，E分别为△ABC的边AB和AC的 中点，延长AE到点F，使EF=DE，连接CF. 求证：四边形BCFD是平行四边形. 知3－练 （来自教材） 知3－练 （来自教材） 如图，连接AF，DC. 由点D，E分别为△ABC的边AB和边AC的中点， 得AD＝BD，AE＝EC， 由AE＝CE，DE＝EF 可得四边形ADCF是平行四边形， 所以AD∥CF，AD＝CF， 又因为AD＝BD，所以BD＝CF， 又因为BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形． 证明： 3 如图，在▱ ABCD中，E为BC边上一点.试在AD 边上找一点F，使四边形AECF是平行四边 形， 并说明理由. 知3－练 （来自教材） 解：在AD边上找一点F，当满足AF＝EC时，可使得 四边形AECF是平行四边形．说明理由略． 【中考·湘西州】下列说法错误的是(　　) A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是 平行四边形 知3－练 4 D 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 给出下列4组条件： ①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC； ③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC. 其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条 件有(　　) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 知3－练 5 C 平行四边形的判定方法：如图： (1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 几何语言： ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． (2)对角线互相平分的四边形是平行四边形． 几何语言： ∵AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD是平行四边形． 1 (3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 几何语言： ∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 注意： ①当四边形的两组对边分别相等时，连接对角线， 把四边形分成两个三角形，通过证明三角形全等来证明 两组对边平行. ②在已知或易证一组对边相等时，可以 考虑证明另一组对边相等或证明这组对边平行. ③需要 注意的是“平行且相等”指的是同一组对边，不能是一 组对边平行，另一组对变形等. ④从对角线方面判断四 边形的形状要注意是对角线互相平分，即交点既是第一 条对角线的中点，又是第二条对角线的中点. 如图，在▱ ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F 是对角线上的两点，给出下列4个条件： ①OE＝OF； ②DE＝BF； ③∠ADE＝∠CBF； ④∠ABE＝∠CDF. 其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2 易错小结 易错点：混淆平行四边形的判定方法致判断错误 B 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！