【人教版寒假课程初二数学】学案
1
目 录
第一章 二次根式...............................................................................................................................2
第 01 讲 二次根式的概念与性质............................................................................................ 2
第 02 讲 二次根式的运算.......................................................................................................12
【核心素养专栏】国家认同——苏步青的故事.................................. 错误！未定义书签。
第二章 勾股定理与四边形.............................................................................................................23
第 03 讲 勾股定理...................................................................................................................23
第 04 讲 平行四边形的性质与判定...................................................................................... 38
第 05 讲 矩形 菱形 正方形（1）........................................................................................ 56
第 06 讲 矩形 菱形 正方形（2）........................................................................................ 72
【核心素养专栏】批判质疑——伽利略的故事.................................. 错误！未定义书签。
第三章 函数与数据.........................................................................................................................87
第 07 讲 函数与函数图像......................................................................错误！未定义书签。
第 08 讲 一次函数的图像和性质........................................................................................ 101
第 09 讲 一次函数与等式、不等式.................................................................................... 117
第 10 讲 一次函数的应用.................................................................................................... 129
第 11 讲 数据的分析.............................................................................................................145
【核心素养专栏】勤于反思——华罗庚的故事.................................. 错误！未定义书签。
第四章 总复习...............................................................................................................................167
第 12 讲 期末总复习.............................................................................. 错误！未定义书签。
2
第一章 二次根式
第 01 讲 二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质
通过对本节课的学习，你能够：
理解二次根式的定义
会确定二次根式有意义的条件
会对被开方数为平方数的二次根式进行化简
第 1 讲
3
适用学科 初中数学 适用年级 初二
适用区域 人教版 课时时长（分钟） 120
知识点 1.二次根式的有关概念
2.二次根式的性质
3.代数式
学习目标 1.理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义
2.会确定二次根式有意义的条件，知道 (a≥0)是非负数，并会运用会进行
二次根式的平方运算，
3.会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究所含运算、运算顺
序、运算结果分析，归纳并掌握性质 22a a和
学习重点 1. 有意义的条件.
2.a≥0 时 ≥0 的应用.
3. 的运算、化简 22a a和
学习难点 当 a<0 时， 的化简2a
【知识导图】
概 述
4
一、课堂导入
问题 1、7 的算术平方根是（ ）。
问题 2、直角三角形的两条直角边分别为 5 和 4，斜边为（）。
问题 3、正方形的面积为 S，则它的边长为（ ）。
很明显√7、√41、√S 都是一些正数的算术平方根。像这样一些正数的算术平方根的式
子。我们就把它称为二次根式。因此，一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做
二次根式，“ ”称为二次根号。
想一想：为什么一定要加上 a≥0 这一条件？
二、复习预习
教学过程
一、导入
5
平方根：如果 2x =a ,那么 x 就叫做 a 的平方根。正数 a 的平方根有两个，即 a ，它们互
为相反数；零的平方根是零；在实数范围内负数没有平方根。
算术平方根：正数 a 的正平方根叫做 a 的算术平方根，记作 a ，零的算术平方根是零。
1.形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
注意：
a.二次根式的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
b.式子 a 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a≥0 ， a ≥0，其中 a≥0 是 a 有意义的前提
条件。
c.形如 0b a a 的式子也是二次根式，b a与 是相乘的关系，要注意 b 是分数时不能写
成带分数。
性质：（1） a a （ 0） 是一个非负数 ；文字语言：一个非负数的算术平方根是非负数.
（2） 2
0a a a ；文字语言：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
拓展：
（1）具有非负性的式子：
① ≥0 ②.|a|≥0 ③. a a （ 0）
（2）若 +|b|+ =0，则 a=0,b=0,c=0,即若几个非负数的和等于 0，则这几个非负数都为 0.
考点 3 2a 的值
考点 1 二次根式的有关概念
二、知识讲解
考点 2 二次根式的性质
6
2 a aa = a = -a a
（ 0）
（ 0） ，文字语言：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
考点 1 一元二次方程的定义
类型一 二次根式的定义
下列各式中 232 5 3 7 1x , ,- , - , 一定是二次根式的有（ ）个。
A．2 B．3 C．4 D．5
类型二 二次根式的性质
对于 ，以下说法正确的是（ ）
A．对于任意实数 a，它表示 a 的算术平方根
B．对于正实数 a，它表示 a 的算术平方根
C．对于正实数 a，它表示 a 的平方根
D．对于非负实数 a，它表示 a 的算术平方根 b
下列各式总能成立的是（ ）
A. 2)2( 2 B. xx 2
C. xx 2
D. 6)6( 2
三 、例题精析
例题 1
例题 1
例题 2
7
已知 a＜3，则 2( 3)a ．
类型三 二次根式有意义的条件
2x 有意义的 x 的范围是（ ）
A．x≥2 B．x≤﹣2 C．x≠2 D．x≤2
若代数式
2x
x 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）
A． 2x 且 1x B． 0x C． 0x D． 20 xx 且
类型四 二次根式的化简
已知 y= 833 xx ，求 3x+2y 的算术平方根
若实数 a、b 满足 2 4 0a b ,则
2a
b = ．
例题 1
例题 1
例题 3
例题 2
例题 2
8
1. 使式子 有意义的实数 x 的取值范围是（ ）
A．0≤x≤ B．0≤x＜ C．x＜ D．x＞
2. 下列各式运算中，正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B． C．a3•a4=a12 D．
3. 若 是二次根式，则下列说法正确的是（ ）
A．x≥0，y≥0 B．x≥0 且 y＞0 C．x，y 同号 D． ≥0
4. 化简二次根式 的结果是（ ）
A． B． C． D．
1. 已知 22 1a =2a+1，那么 a 的取值范围是 ．
2. 能使 是一个实数的 x 有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个
3. 当 3 7
3
x
x
有意义时，x 满足条件（ ）
A．x≥﹣ B．x＜3 C．﹣ ≤x＜3 D．﹣3＜x＜3
四 、课堂运用
基础
巩固
9
1. 已知，实数 a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简： 2 2( )a a c c b b ．
2. 已知-1
0 时，图象经过第一、二
象限；当 b<0 时，图象经过第二、四象限）
（1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k 0)
（2）必过点：（0，b）和（- k
b
，0）
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
0
0
b
k 直线经过第一、二、三象限
0
0
b
k 直线经过第一、三、四象限
0
0
b
k 直线经过第一、二、四象限
0
0
b
k 直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于 y 轴；|k|越小，图象越接近于 x 轴.
（6）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；
当 b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位.
b>0 b<0 b=0
k>0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
考点 2 一次函数的性质
105
图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小
一次函数 y=kx＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线 y=kx 平移|b|个单位长度而
得到（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）
正比例函数 一次函数
概 念 一般地，形如 y=kx(k 是常数，
k≠0)的函数叫做正比例函数，其
中 k 叫做比例系数
一般地，形如 y=kx＋b(k,b 是常数，k≠0)，那
么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时，是 y=kx，
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量
范 围
X 为全体实数
图 象 一条直线
必过点 （0，0）、（1，k） （0，b）和（-
k
b ，0）
走 向 k>0 时，直线经过一、三象限；
k<0 时，直线经过二、四象限
k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
k＞0，b＜0 直线经过第一、三、四象限
k＜0，b＞0 直线经过第一、二、四象限
k＜0，b＜0 直线经过第二、三、四象限
增减性 k>0，y 随 x 的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y 随 x 的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度 |k|越大，越接近 y 轴；|k|越小，越接近 x 轴
图像的 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；
考点 3 正比例函数与一次函数性质
106
平 移 b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位.
待定系数法：先设出解析式，再根据条件列方程或方程组求出未知系数，从而写出这个解析
式的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。
关键：确定一次函数 y= kx+ b 中的字母 k 与 b 的值。
步骤：1、设一次函数表达式
2、将 x，y 的对应值或点的坐标代入表达式
3、解关于系数的方程或方程组
4、将所求的系数代入等设函数表达式中
直线 l 1 ：y= k 1 x+ b 1 与 l 2 ：y= k 2 x+ b 2
（1）两直线平行 21 kk 且 21 bb （2）两直线相交 21 kk
（3）两直线重合 21 kk 且 21 bb （4）两直线垂直 121 kk
1 一元二次方程的定义
类型一 一次函数的定义
下列函数（1）y＝πx；(2)y＝2x－1；(3)y＝1
x
；(4)y＝x2－1 中，是一次函数的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
若函数
2 8(3 ) my m x -= - 是正比例函数，则常数 m 的值是
三 、例题精析
例题 2
例题 1
考点 4 一次函数的解析式
考点 4 特殊位置的一次函数
107
类型二 一次函数的性质
直线 2 23y x 不过以下哪个象限（ ）.
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
（1）已知 M（-3，y1），N（2，y2）是直线 y=3x 上的两个点，则 y1，y2 的大小关系是
A. y1＜y2 B. y1=y2 C. y1＞y2 D. y1≥y2
（2）已知 y 是 x 的一次函数，下表列出了部分 y 与 x 的对应值：
x -1 0 1 2
y -2 -1 0 a
则 a 的值为
(A) -2 (B) 1 (C) 2 (D) 3
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y kx 3 与x，y 轴分别交于点 A，B，若将该直线向右平移 5
个
单位，线段AB 扫过区域的边界恰好为菱形，则k 的值为 .
类型三 一次函数的图像
一次函数 y=kx+b 与 y=bx+k，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
例题 1
例题 1
例题 2
例题 3
108
已知函数 y=kx+b 的图象如图，则 y=2kx+b 的图象可能是（ ）
如果规定[x]表示不大于 x 的最大整数，例如[2.1]=2，[-2.1]=-3，那么函数 y=x﹣[x]
(-3≤x≤3)的图象为（ ）
A B
C D
类型四 一次函数的解析式
直线与 x 轴交于点 A（-4，0），与 y 轴交于点 B，若点 B 到 x 轴的距离为 2，求直线的解析
式。
已知 y 与 x+3 成正比例，并且 x=1 时，y=8，那么 y 与 x 之间的函数关系式为（ ）
（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3
例题 1
例题 2
例题 2
例题 3
109
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y
=
kx
+
b （k
0
）与直线 y
=−
x
+
4 的交点为 P（3，m），
与 y 轴交于点 A．
（1）求 m 的值；
（2）如果△ PAO 的面积为 3，求直线 y
=
kx
+
b 的表达式．
类型四 直线之间位置关系
一次函数 y=kx+b 与 y=2x+1 平行，且经过点（-3，4），则表达式为： ．
已知两个一次函数 1y ， 2y 的图象相互平行，它们的部分自变量与相应的函数值如下表：
x m 0 2
1y 4 3 t
2y 6 n -1
则 m 的值是
A． 1
3
B． 3 C． 1
2
D．5
1. 直线 y=2x-3 与 y 轴交点坐标为 .
2. 已知在一次函数 y=﹣1.5x+3 的图象上，有三点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3），
则 y1，y2，y3 的大小关系为（ ）
四 、课堂运用
基础
例题 2
例题 1
例题 3
110
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y2＞y1＞y3 D.无法确定
3. 请写出一个图象经过第二、第四象限的函数表达式，所写表达式为 ．
4. 如图 3，一次函数图象经过点 A ，且与正比例函数 y x 的图象交于点 B ，则该一次
函数的表达式为（ ）
A． 2y x B． 2y x C． 2y x D． 2y x
y
O x
A
B
1
y x
2
图 3
1. 若直线 y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线 y=bx+k 不经过（ ）
A、一象限 B、二象限 C、三象限 D、四象限
2. 弹簧原长(不挂重物)15cm，弹簧总长 L(cm)与重物质量 x(kg)的关系如下表所示：
弹簧总长 L(cm) 16 17 18 19 20
重物质量 x(kg) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
当重物质量为 4kg（在弹性限度内）时，弹簧的总长 L(cm)是 ．
3. 已知 021 2 ba ，则函数 2213 babxby a
是什么函数？当
2
1x 时，函数值 y 是多少？
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b 的图象与直线 y＝2x 平行，且经过点 A(1,6)．
（1）求一次函数 y=kx+b 的解析式；
（2）求一次函数 y=kx+b 的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
巩固
111
1. 若甲、乙两弹簧的长度 y（cm）与所挂物体质量 x（kg）之间的函数解析式分别为 y=k1x+a1
和 y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为 2kg 时，甲弹簧长为 y1，乙弹簧长为 y2，则 y1
与 y2 的大小关系为（ ）
（A）y1>y2 （B）y1=y2 （C）y1- 1
4
B、m>5 C、m=- 1
4
D、m=5
2. 一次函数 4)2( 2 kxky 的图象经过原点，则 k 的值为____________
3. 一次函数由 y=4x-3 平移得到，且过点（-2，-3），求一次函数解析式。
4. 正比例函数 y=kx，x 随 y 的增大而增大，若点 1 1( , )x y 和 2 2( , )x y 在函数上，若 1 2x x ，
则 1 2,y y 的大小关系是？
1. 若直线 y=kx+b 经过一、三、四象限，则直线 y=bx+k 不经过第（ ）象限．
（A）一 （B）二 （C）三 （D）四
2. 已知正比例函数 y=kx（k≠0）的函数值 y 随 x 的增大而减小，则一次函数 y=x+k 的图
象大致是（ ）
A． B. C. D.
3. 函数 y= 4)1( 22 2 nxm m 是正比例函数，求 m，n 的值，并确定函数解析式。
4. 一次函数 1y kx b 与 2y x a 的图象如图 6，则下列结论
① 0k ；② 0a ；③当 3x 时， 1 2y y 中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3w
六 、课后作业
基础
巩固
115
x
y
O 3
2y x a
1y kx b
图 6
1. 已知点 A（6，6）在直线 1 : 3l y kx 上，
（1）直线 1l 解析式为 ；
（2）画出该一次函数的图象；
（3）将直线 1l 向上平移 5 个单位长度得到直线 2l ， 2l 与 x 轴的交点 C 的坐标
为 ；
（4）直线 2l 与直线 OA 相交于点 B，B 点坐标为 ；
（5）三角形 ABC 的面积为 ；
（6）由图象可知不等式 3kx x 的解集为 .
2. 如图 1，C 是线段 AB 上一个定点，动点 P 从点 A 出发向点 B 匀速移动，动点 Q 从点 B
出发向点 C 匀速移动，点 P，Q 同时出发，移动时间记为 x（s），点 P 与点 C 的距离
记为 y1（cm），点 Q 与点 C 的距离记为 y2（cm）. y1、y2 与 x 的关系如图 2 所示．
（1）线段 AB 的长为 cm；
（2）求点 P 出发 3 秒后 y1 与 x 之间的函数关系式；
拔高
116
（3）当 P，Q 两点相遇时，x= s．
3. 对于平面直角坐标系中的任意两点 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 给出如下定义：我们把
1 2 1 2x x y y 叫做 A、B 两点之间的直角距离，记作 ( , )d A B
（1）如图 1，已知 O 为坐标原点，点 P 是直线上 3 34y x 的一个动点。
① 若点 P 坐标为 (1, )t ，则 ( , )d O P ；
② 若点 ( 1, 0)E ，求 ( , )d P E 的最小值；
（2）如图 2，若点 P 是已知直线 ( 0, 0)y kx b k b 上的一个动点，点 Q 是正方形
OABC 上的一个动点，其中 ( 1, 1)A ，且直线 ( 0, 0)y kx b k b 与正方形 OABC 没有
公共点，求 ( , )d P Q 的最小值（用含 k ，b 的代数式表示）。
图 2
图 1
117
第 09 讲 一次函数与等式、不等式
一次函数与等式、不等式
通过对本节课的学习，你能够：
会用一次函数图象描述一元一次方程的解
理解一次函数与一元一次不等式的关系
会应用一次函数的图象求解二元一次方程组的近似解
第 9 讲
118
适用学科 初中数学 适用年级 初二
适用区域 人教版 课时时长（分钟） 120
知识点 1. 一次函数与一元一次方程的联系
2.一次函数与一元一次不等式的联系
3.一次函数与二元一次方程（组）的联系
4.一次函数与一次方程（组）、一次不等式在生活中的应用
学习目标 1.会用一次函数图象描述一元一次方程的解，发展抽象思维。
2.理解一次函数与一元一次不等式的关系，发展学生的认知体系。
3.会应用一次函数的图象求解二元一次方程组的近似解。
学习重点 掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程的联系。
学习难点 运用一元一次不等式组解决实际问题, 体会一元一次不等式、函数、方程
的内在联系。
【知识导图】
概 述
119
一、课堂导入
如图，一次函数 y=kx+b 的图象经过 A，B 两点，则 kx+b＞0 的解集是_____．
问题：这样的问题我们该如何解决？
二、复习预习
1.说出方程 x＋y＝５的几个解吗？有多少个解？
2 .判断以方程 x＋y＝５ 的解为坐标的点是否在一次函数 y=-x+5 的图象上，你是怎么判断
的？
３.如果在一次函数 y=-x+5 的图象上任取几点，其坐标适合方程 x+y=5 吗？
４.方程 x+y=5 与一次函数 y=-x+5 的关系？
1. 一元一次方程的解与一次函数的函数值为 0 时的自变量的之间的关系
设一元一次方程 0ax b 的解为 0x ，则 0x 是使一次函数 y ax b 的函数值为 0 的自变量 x
的值，也就是一次函数 y ax b 的图象与 x 轴交点的横坐标。
教学过程
考点 1 一次函数与一元一次方程
二、知识讲解
一、导入
120
反之，若 0x 是一次函数 y ax b 的图象与 x 轴交点的横坐标，则 0x 也是一元一次方程
0ax b 的解。
2. 一次函数 y ax b 的函数值为 0y 时的自变量的值，其实就是一元一次方程 0y ax b
的解。
由于任何一元一次不等式都可以转为 0ax b 或 0ax b （ ,a b 为常数， 0a ）的
形式，所以解一元一次不等式可看作：当一次函数的值大（小）于 0 时，求自变量相应的取
值范围.
如：一次函数 2 1y x ， x 取何值时，函数值大于零？就是求不等式 2 1 0x 的解集，解
不等式得
1
2x
，也就是当
1
2x
时，函数 2 1y x 的值大于 0。
一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是对应两条直线.从“数”的角
度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从
的“形”角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
考点 1 一元二次方程的定义
类型一 一次函数与一元一次方程的联系
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 2 4y x 与 x 轴的交点坐标为 ，与 y 轴的交点坐
标为 ，与坐标轴所围成的三角形的面积等于 .
三 、例题精析
例题 1
考点 2 一次函数与一元一次不等式
考点 3 一次函数二元一次方程组
121
下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x-2y=2 的解是( )
类型二 一次函数与不等式关系
如图，函数 2 y x b 与函数 1y kx 的图象交于点 P，那么点 P 的坐标为_______，关于
x 的不等式 1 2 kx x b 的解集是 ．
如图所示，函数 xy 1 和
3
4
3
1
2 xy 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当 21 yy
时，x 的取值范围是（ ）
（－1，1）
1y
（2，2）
2y
x
y
O
A．x＜-1 B．-1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜-1 或 x＞2
如图，直线 y＝kx＋b 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，则不等式 kx＋b＞0 的解集为 ；
例题 2
例题 1
例题 2
例题 3
122
不等式 x(kx＋b)＜0 的解集为 ．
类型三 一次函数与方程组的关系
亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的
图象 L1，L2，如图所示，他解的这个方程组是（ ）.
A．
2 2
1 12
y x
y x
B． 2 2y x
y x
C．
3 8
1 32
y x
y x
D．
2 2
1 12
y x
y x
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 (0, 3)A 、点 (3, 0)B ，一次函数 2y x 的图象与直线 AB
交于点 M ．
（1）求直线 AB 的函数解析式及 M 点的坐标；
（2）若点 N 是 x 轴上一点，且△ MNB 的面积为 6，求点 N 的坐标。
例题 1
例题 2
123
一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式 A 以每分 0.1 元的价格按上网时间计
费；方式 B 除收月基本费 20 元外，再以每分 0.05 元的价格按上网时间计费.上网时间为多
少分，两种方式的计费相等？
1. 如图，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），则方程 2x=ax+4 的解集为（ ）
A．x= 3
2
B．x=3 C．x=﹣ 3
2
D．x=﹣3
2. 如图，函数 y=kx（k≠0）和 y=ax+4（a≠0）的图象相交于点 A（2，3），则不等式 kx
＞ax+4 的解集为（ ）
四 、课堂运用
基础
例题 3
124
A．x＞3 B.x＜3 C.x＞2 D.x＜2
3. 用画函数图像的方法解不等式5 4 2 10x x .
1. 一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0：③b＞0；④x
＜2 时，kx+b＜x+a 中，正确的个数是（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
2. 如图，直线 OC、BC 的函数关系式分别是 y1=x 和 y2=﹣2x+6，动点 P（x，0）在 OB 上运
动（0＜x＜3），过点 P 作直线 m 与 x 轴垂直．
（1）求点 C 的坐标，并回答当 x 取何值时 y1＞y2？
（2）设△COB 中位于直线 m 左侧部分的面积为 s，求出 s 与 x 之间函数关系式．
（3）当 x 为何值时，直线 m 平分△COB 的面积？
3. 已知直线 2 6x y k 和 3 4 1x y k ，若它们的交点在第四象限内，求 k 的取
值范围.
巩固
拔高
125
1. 某零件制造车间有工人 20 名，已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5 个，
且每制造一个甲种零件，可获利润 150 元，每制造一个乙种零件可获利润 260 元，在这
20 名工人中，车间每天安排 x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件，且生产
乙种零件的个数不超过甲种零件个数的一半．
（1）请写出此车间每天所获利润 y（元）与 x（人）之间的函数关系式；
（2）求自变量 x 的取值范围；
（3）怎样安排生产，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣ ，0），B（0，3），C（0，-1）三点.
（1）求线段 BC 的长度；
（2）若点 D 在直线 AC 上，且 DB=DC，求点 D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线 BD 上应该存在点 P，使以 A，B，P 三点为顶点的三角形是等
腰三角形. 请利用尺规作图作出所有的点 P，并直接写出其中任意一个点 P 的坐标．（保留
作图痕迹）
１. 一次函数与一元一次方程的联系
（1）一元一次方程的解与一次函数的函数值为 0 时的自变量的之间的关系
五 、课堂小结
126
（2）一次函数 y ax b 的函数值为 0y 时的自变量的值，其实就是一元一次方程
0y ax b 的解。
２. 一次函数与一元一次不等式的联系
由于任何一元一次不等式都可以转化为 0ax b 或 0ax b 的形式，所以可以把解一
元一次不等式看作：当一次函数的函数值大（小）于 0 时，求相应自变量的取值范围。
３. 一次函数与二元一次方程（组）的联系
一次函数的解析式 ( 0)y kx b k 本身就是一个二元一次方程，直线 ( 0)y kx b k
上有无数个点，每个点的横、纵坐标都满足二元一次方程 ( 0)y kx b k ，因此二元一次
方程的解也就有无数个。
1. 若函数 y kx b 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 ( 3) 0k x b 的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞5
2. 一次函数 y kx b 的图象如下图，则当 x ________时， 4y .
3. 如下图， 1l 反映了某公司的销售收入与销售量的关系， 2l 反映了该公司产品的销售成本
与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（ ）
A. 小于 3 吨 B. 小于 4 吨 C. 大于 3 吨 D. 大于 4 吨
六 、课后作业
基础
127
1. 如图，已知函数 y＝3x＋b 和 y＝ax－3 的图像交于点 P（－2,－5），则根据图像可得
不等式 ax－3＜3x＋b＜0 的解集是 ．
2. 一次函数 1 1 1y k x b 与 2 2 2y k x b 的图象如下图，则当 x _______时， 1 2y y ；当
x _____时， 1 2y y ;当 x _______时， 1 2y y .
3. 如下图，已知函数 y x b 和 3y ax 的图象交点为 P，则不等式 3x b ax 的解
集为_______.
巩固
拔高
128
1. 某商场计划投入一笔资金购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利
15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利 10%；如果月末出售，可获利 30%，
但要付出仓库储存费用 700 元，请根据商场投资情况，分析如何购销获利较多？
2. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（-3，0），（0，3）．一次函数图
象上的两点 P，Q 在直线 AB 的同侧，且直线 PQ 与 y 轴交点在 y 轴正半轴上，若△QAB
的面积都等于 3，求这个一次函数的解析式．
129
第 10 讲 一次函数的应用
一次函数的应用
通过对本节课的学习，你能够：
能够利用一次函数解决实际问题
能够将实际问题转化为一次函数的问题，并根据题意准确画
出函数图像。
第 10 讲
130
适用学科 初中数学 适用年级 初二
适用区域 人教版 课时时长（分钟） 120
知识点 根据实际问题列一次函数关系式；一次函数的应用；一次函数综合。
学习目标 1.通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生数学抽象思维能力得到
发展，体验到数学与生活的联系。
2.通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生在数学活动中获得成功
体验，建立自信心，增强学生应用数学的意识。
学习重点 使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题，并根据题意准确的画出函
数图像。
学习难点 使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题，并根据题意准确画出函数图
像。
【知识导图】
概 述
131
一、课堂导入
六一儿童节，某学习用品销售商店推出两种优惠方法：①购 1 个书包，赠送 1 支水性笔；
②购书包和水性笔一律按 9 折优惠。其中，书包每个定价 20 元，水性笔每支定价 5 元。小
丽和同学需买 4 个书包，水性笔若干支（不少于 4 支）。
（1）分别写出两种优惠方法购买费用 21, yy （元）与所买水性笔支数 x （支）的函数解析
式（请化简函数解析式）；
（2）对 x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜。
问题：类似这样的实际问题我们该如何解答？本节课我们将共同研究此类问题。
二、复习预习
1.待定系数法：先设出解析式，再根据条件列方程或方程组求出未知系数，从而写出这个解
析式的方法，叫做待定系数法。关键：确定一次函数 y= kx+ b 中的字母 k 与 b 的值。
步骤：1、设一次函数表达式
2、将 x，y 的对应值或点的坐标代入表达式
3、解关于系数的方程或方程组
4、将所求的系数代入等设函数表达式中
2.一次函数图像的性质：k>0 时，y 随 x 的增大而增大；k<0 时，y 随 x 的增大而减少。
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科
学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根
一、导入
考点 1 分段函数
二、知识讲解
教学过程
132
据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到 x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前
面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
考点 1 一元二次方程的定义
类型一 分段函数
“一带一路”战略为民营快递企业转变为跨境物流商提供了机遇．也让国民可以足不出户地
买到世界各国的商品．小丝购买了一些物品，并了解到两家快递公司的收费方式.
甲公司：物品重量不超过 1 千克的，需付费 20 元，超过 1 千克的部分按每千克 4 元计价．
乙公司：按物品重量每千克 7 元计价，外加一份包装费 10 元．
设物品的重量为 x 千克，甲、乙公司快递该物品的费用分别为 y 甲，y 乙.
（1）写出 y 乙与 x 的函数表达式；
（2）图中给出了 y 甲与 x 的函数图象，请在图中画出（1）中的函数图象；
（3）小丝需要快递的物品重量为 4 千克，如果想节省快递费用，结合图象指出，应选择的
快递公司是 .
三 、例题精析
例题 1
考点 2 一次函数在几何中的应用
133
自驾游是当今社会一种重要的旅游方式，五一放假期间小明一家人自驾去灵山游玩，下图描
述了小明爸爸驾驶的汽车在一段时间内路程 s(千米)与时间 t（小时）的函数关系，下列说
法中正确的是
A．汽车在 0～1 小时的速度是 60 千米/时；
B．汽车在 2～3 小时的速度比 0～0.5 小时的速度 快；
C．汽车从 0.5 小时到 1.5 小时的速度是 80 千米/时；
D．汽车行驶的平均速度为 60 千米/时．
类型二 最优方案
如图，某公司专销 A 产品，第一批 A 产品上市 40 天内全部售完，该公司对第一批 A 产
品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是
例题 2
例题 1
134
市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件 A 产品的销售利润与上市时
间的关系.
（1） 试写出第一批 A 产品的市场日销售量与上市时间的关系式：
（2） 第一批 A 产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多
少万元？
六一儿童节，某学习用品销售商店推出两种优惠方法：①购 1 个书包，赠送 1 支水性笔；②
购书包和水性笔一律按 9 折优惠。其中，书包每个定价 20 元，水性笔每支定价 5 元。小丽
和同学需买 4 个书包，水性笔若干支（不少于 4 支）。
（1）分别写出两种优惠方法购买费用 21, yy （元）与所买水性笔支数 x （支）的函数解析
式（请化简函数解析式）；
（2）对 x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜。
类型三 几何问题
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1y x 与直线 y kx 交于点 A（-1，n）．
（1）求点 A 的坐标及直线 y kx 的表达式；
（2）若 P 是坐标轴上一点(不与点 O 重合)，且满足 PA=OA，直接写出点 P 的坐标．
例题 2
例题 1
135
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y kx 7 与直线 y x 2 交于点 A3, m .
（1） 求 k, m 的值；
（2） 已知点 P n, n ，过点 P 作垂直于 y 轴的直线与直线 y x 2 交于点 M ，过点 P
作垂直于 x 轴的直线与直线 y kx 7 交于点 N （P 与N 不重合）. 若PN 2PM ，
结合图象，求n 的取值范围．
y
1
O 1
x
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y kx b 与 x轴交于点 A，与 y 轴交于点 B（0，-4），且
与直线 2y x 互相平行．
（1）求直线 y kx b 的表达式及点 A 的坐标；
（2）将直线 y kx b 在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，直线的其余部分不变，得到一个
新图形为 G，若直线 1y ax 与 G 恰有一个公共点，直接写出 a 的取值范围．
例题 2
例题 3
136
1. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（1，3），（n，3），若直线 y=2x
与线段 AB 有公共点，则 n 的值可以为 ．（写出一个即可）
2. 某市乘出租车需付车费 y（元）与行车里程 x（千米）之间函数关系的图象如图所示，
那么该市乘出租车超过 3 千米后，每千米的费用是( )
A．1.5 元 B．2 元
C．2.12 元 D．2.4 元
3. 小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距 2400m 的邮局办事，小明出发的同时，他的
爸爸以 96m/min 速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留 2min 后沿原路以原
速返回，设他们出发后经过 t min 时，小明与家之间的距离为 s1m，小明爸爸与家之间
的距离为 s2m，图中折线 OABD、线段 EF 分别表示 s1、s2 与 t 之间的函数关系的图象．
四 、课堂运用
基础
137
（1）求 s2 与 t 之间的函数关系式；
（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
4. 甲乙两车从 A 城出发匀速行驶至 B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A 城的距离
s (km)与甲车行驶的时间 t(h)之间的函数关系如图所示．
（1）请分别求出甲、乙两车离开 A 城的距离 s (km)与甲车行驶的时间 t(h)之间的函数表达
式；
（2）当甲乙两车都在行驶过程中．．．．．．．时，甲车出发多长时间，两车相距 50 千米．
1. 如图 1 所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图 2 为列车离
乙地路程 y（千米）与行驶时间 x（小时）时间的函数关系图象．
（1）填空：甲、丙两地距离 千米．
（2）求高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范
围．
2. 某单位准备印刷一批书面材料，现有两个印刷厂可供选择，甲厂的费用分为制作费和印
刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的费用 y（千元）与书面材料数量
x（千份）的关系见表：
书面材料
数量 x（千
份）
0 1 2 3 4 5 6 ........
.
甲厂的印
刷 费 用 y
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ........
.
巩固
138
（千元）
乙厂的印刷费用 y（千元）与书面材料数量 x（千份）的函数关系图象如图所示．
（1）请你写出甲厂的费用 y 与 x 的函数解析式，并在图中坐标系中画出甲厂的费用 y 与 x
的函数图象．
（2）请写出乙厂费用 y 与 x 的函数解析式，试求出当 x 在什么范围内时乙厂比甲厂的费用
低？
（3）现有一客户需要印 10 千份书面材料，请问你如果是客户你如何选择？
1. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y′），给出如下定义：若
( 0)
( 0)
y xy y x
≥
＜ ，则称点 Q 为点 P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”
为点（1，2）.
结合定义，请回答下列问题：
（1）点（－3，4）的“可控变点”为点 ．
（2）若点 N（m，2）是函数 -1y x 图象上点 M 的“可控变点”，则点 M 的坐标
为 ；
（3）点 P 为直线 2 2y x 上的动点，当 x≥0 时，它的“可控变点”Q 所形成的图象如
下图所示（实线部分含实心点）.请补全当 x＜0 时，点 P 的“可控变点” Q 所形成的图象；
拔高
139
2.如图，直线 l1 的解析表达式为：y=-3x+3，且 l1 与 x 轴交于点 D，直线 l2 经过点 A，B，直
线 l1，l2 交于点 C．
（1）求点 D 的坐标；
（2）求直线 l2 的解析表达式；
（3）求△ADC 的面积；
（4）在直线 l2 上存在异于点 C 的另一点 P，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出
点 P 的坐标．
3. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ( 0 )y kx k 过点 (1, 2)A ，直线 l ： y x b 与
直线 ( 0 )y kx k 交于点 B，与 x 轴交于点 C．
（1）求 k 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
① 当 b=4 时，直接写出
△
OBC 内的整点个数；
②若
△
OBC 内的整点个数恰有 4 个，结合图象，求 b 的取值范围．
140
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科
学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根
据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键
1. 如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点 P 从点 A 出发，沿 y 轴以每秒 1 个单
位长的速度向上移动，且过点 P 的直线 l：y=﹣x+b 也随之移动，设移动时间为 t 秒．
六 、课后作业
五 、课堂小结
基础
141
（1）当 t=3 时，求直线的解析式；
（2）当直线通过点 M 时，求直线 l 的解析式；
（3）若点 M，N 位于 l 的异侧，确定 t 的取值范围．
2. 如图，在平面直角坐标系中，过点 B（6，0）的直线 AB 与直线 OA 相交于点 A（4，2），
动点 M 在线段 OA 和射线 AC 上运动．
（1）求直线 AB 的解析式．
（2）求△OAC 的面积．
（3）是否存在点 M，使△OMC 的面积是△OAC 的面积的 ？若存在求出此时点 M 的坐标；若
不存在，说明理由．
1. 商场计划投入一笔资金购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利
15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利 10%；如果月末出售，可获利
30%，但要付出仓库储存费用 700 元，请根据商场投资情况，分析如何购销获利较多？.
巩固
142
2. 某零件制造车间有工人 20 名，已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5 个，
且每制造一个甲种零件，可获利润 150 元，每制造一个乙种零件可获利润 260 元，在这
20 名工人中，车间每天安排 x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件，且生产
乙种零件的个数不超过甲种零件个数的一半．
（1）请写出此车间每天所获利润 y（元）与 x（人）之间的函数关系式；
（2）求自变量 x 的取值范围；
（3）怎样安排生产，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
3. 乙两地相距 300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发去乙地．如图，线段 OA 表示
货车离甲地距离 y（km）与时间 x（h）之间的函数关系，折线 BCDE 表示轿车离甲地距
离 y（km）与时间 x（h）之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：
（1）线段 CD 表示轿车在途中停留了 小时；
（2）求线段 DE 对应的函数解析式；
（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
1. 方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从 M 地出发沿一条公路匀速前往 N 地，
设乙行驶的时间为 t(h)，甲乙两人之间的距离为 y(km)，y 与 t 的函数关系如图 1 所示，
方成思考后发现了图 1 的部分正确信息，乙先出发 1h，甲出发 0.5 小时与乙相遇，请你
帮助方成同学解决以下问题：
（1）分别求出线段 BC，CD 所在直线的函数表达式；
（2）当 200，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于 y 轴；|k|越小，图象越接近于 x 轴.
（6）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；
当 b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位.
b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置；①当 b＞0 时，直线与 y 轴交于正半轴上；
②当 b＜0 时，直线与 y 轴交于负半轴上；
③当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数
11.正比例函数性质：
一般地，形如 y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为 1 ③ b 取零
(1) 解析式：y=kx（k 是常数，k≠0） 必过点：（0，0）、（1，k）
(2) 走向：k>0 时，图像经过一、三象限；k<0 时，图像经过二、四象限
(3) 增减性：k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小
(4) 倾斜度：|k|越大，越接近 y 轴；|k|越小，越接近 x 轴
12.一次函数 y=kx＋b 的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直
线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取
它与两坐标轴的交点：（0，b）， .即横坐标或纵坐标为 0 的点.
b>0 b<0 b=0
k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
176
图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小
13.正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数 y=kx＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线 y=kx 平移|b|个单位长度而
得到（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移,）.上加下减，左加右减
14.直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系
（1）两直线平行：k1=k2 且 b1 b2 （2）两直线相交：k1 k2
（3）两直线重合：k1=k2 且 b1=b2 （4）两直线垂直：即 k1﹒k2=-1
（5）两直线交于 y 轴上同一点: b1=b2
15.一般步骤(一设二代三解四还原)：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数
为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
16.一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0（a，b 为常数，a≠0）的形式，所以解一元一
次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当
于已知直线 y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值.
17.一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0（a，b 为常数，a≠0）的形
式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量的取值范围.
177
18.一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程 ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y=
b
cxb
a 的图象
相同.
（2）二元一次方程组
222
111
cybxa
cybxa 的解可以看作是两个一次函数 y=
1
1
1
1
b
cxb
a 和
y=
2
2
2
2
b
cxb
a 的图象交点.
点 1
1.算术平均数：一般地，对于 n 个数 nxxxx ,,, 321 ，我们把
)(1
321 nxxxxn
叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，记作 x
2.加权平均数：若在一组数字中， 出现 次， 出现 次，…， 出现 次，那么
叫做 、 、…、 的加权平均数。。其中， 、 、…、 分别是 、 、…、
它们的权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度.
3.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，
则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平
均数就是这组数据的中位数.
4.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
5．极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差
极差=最大值-最小值．
6.标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．
7.平均数、方差的三个运算性质
如果一组数据 x1，x2，x3，……，xn 的平均数是 x ，方差是 s2.
那么
（1）一组新数据 x1+b，x2+b，x3+b，……，xn+b 的平均数是 x +b，方差是 s2.
（3）一组新数据 ax1，ax2，ax3，……，axn 的平均数是 a x ，方差是 a2s2.
（3）一组新数据 ax1+b，ax2+b，ax3+b，……，axn+b 的平均数是 a x +b，方差是 a2s2.
考点 5 数据的分析
178
一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
一
元二次方程的定义
类型一 二次根式
下列运算中正确的是（ ）
A ． 623 B ． 532 C ． 6)23( 2
D． 3)3( 2
若 x，y 满足|x-3|+ 6y =0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．12 或 15
三 、例题精析
例题 2
例题 1
知识结构
179
函数
2
xy x
的自变量 x 的取值范围是
类型二 勾股定理
已知三角形的两边长为 3 和 4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长．
如图，折叠矩形 ABCD ，使顶点 D 与 BC 边上的点 F 重合，已知 6, 10AB AD ，
求 BF、DE 的长．
在一棵树 的10m 高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 20m 的池塘，而另一只爬到
树顶后直扑池塘．如果两只猴子经过的距离相等，问这一棵树有多高？
类型三 平行四边形
（1）已知平行四边形 ABCD 的顶点 A 在第三象限，对角线 AC 的中点在坐标原点，一边 AB
与 x 轴平行且 AB=2，若点 A 的坐标为（a，b），则点 D 的坐标为_________________
【答案】（﹣2﹣a，﹣b）（2﹣a，﹣b）
（2）学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？
例题 1
例题 1
例题 3
例题 2
例题 3
180
甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；
丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有
一组邻边相等．
上述四名同学的说法中，正确的是（ ）
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丙、丁
已知，如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为 AB 边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：2CD2=AD2+DB2．
在正方形 ABCD 中，点 E 是射线 AC 上一点，点 F 是正方形 ABCD 外角平分线 CM 上一点，且
CF=AE，连接 BE,EF．
（1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，直接写出 BE 与 EF 的数量关系;
（2）当点 E 不是线段 AC 的中点，其它条件不变时，请你在图 2 中补全图形，判断（1）
中的结论是否成立，并证明你的结论；
（3）当点 B，E，F 在一条直线上时，求 CBE 的度数. （直接写出结果即可）
例题 2
例题 3
181
正方形 ABCD 中，点 P 是直线 AC 上的一个动点，连接 BP ，将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转
90°得到线段 BE ，连接 CE ．
图 1 图 2
（1）如图 1，若点 P 在线段 AC 上，
①直接写出 ACE 的度数为 °；
②求证： 2 2 22PA PC PB ；
（2）如图 2，若点 P 在CA的延长线上， 1PA ， 13PB ，
①依题意补全图 2；
②直接写出线段 AC 的长度为 ．
例题 4
182
类型四 一次函数
如果两个变量 x、y 之间的函数关系如图所示，则函数值 y 的取值范围是（ ）
A．－3≤y≤3 B．0≤y≤2
C．1≤y≤3 D．0≤y≤3
函数
x
xxy 22 的图象为（ ）
弹簧原长(不挂重物)15cm，弹簧总长 L(cm)与重物质量 x(kg)的关系如下表所示：
弹簧总长 L(cm) 16 17 18 19 20
重物质量 x(kg) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
当重物质量为 4kg（在弹性限度内）时，弹簧的总长 L(cm)是 ．
例题 1
例题 2
例题 3
183
类型四 数据的分析
甲、乙两台机床同时生产一种零件，在 5 天中，两台机床每天出次品的数量如下表：
甲 0 1 2 0 2
乙 2 1 0 1 1
关于以上数据的平均数、中位数、众数和方差，说法不正确．．．的是
A．甲、乙的平均数相等 B．甲、乙的众数相等
C．甲、乙的中位数相等 D．甲的方差大于乙的方差
以下是某手机店 1～4 月份的两个统计图，分析统计图，对 3、4 月份三星手机的销售情况四
个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（ ）
A．4 月份三星手机销售额为 65 万元
B．4 月份三星手机销售额比 3 月份有所上升
C．4 月份三星手机销售额比 3 月份有所下降
D．3 月份与 4 月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额
类型五 新定义
于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M 和点 P（点 P 在 M 内部或 M 上），给出如下定义:如果图
例题 1
例题 2
例题 1
184
形 M 上存在点 Q，使得 0≤PQ≤2，那么称点 P 为图形 M 的和谐点．
已知点 A(-4，3)，B(-4，-3)，C(4，-3)，D(4，3).
(1)在点 P1(-2，1)，P2(-1，0)，P3(3，3)中，矩形 ABCD 的和谐点是 ；
(2)如果直线 1 3
2 2y x 上存在矩形 ABCD 的和谐点 P，直接写出点 P 的横坐标 t 的取值范围；
(3)如果直线 1
2y x b 上存在矩形 ABCD 的和谐点 E，F，使得线段 EF 上的所有点（含端点）
都是矩形 ABCD 的和谐点，且 2 5EF＞ ，直接写出 b 的取值范围．
对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点 O，四
条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形. 当原点正方形上存在点 Q，满足 PQ
1 时，称点 P 为原点正方形的友好点.
（1）当原点正方形边长为 4 时，
① 在点 P1（0,0），P2（-1,1），P3（3,2）中，原点正方形的友好点是_______；
② 点 P 在直线 y=x 的图象上，若点 P 为原点正方形的友好点，求点 P 横坐标的取值
范围；
（2）一次函数 y=-x+2 的图象分别与 x 轴，y 轴交于点 A，B，若线段 AB 上存在原点正方形 的
友好点，直接写出原点正方形边长 a 的取值范围.
例题 2
185
在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 和图形 W 的“中点形”的定义如下：对于图形 W 上的任意一
点 Q，连结 PQ，取 PQ 的中点，由所以这些中点所组成的图形，叫做点 P 和图形 W 的“中点形”．
已知 C（-2，2），D（1，2），E（1，0），F（-2，0）．
（1）若点 O 和线段 CD 的“中点形”为图形 G，则在点 1( 1,1)H ， 2 (0 ,1)H ， 3 (2 ,1)H 中，
在图形 G 上的点是 ；
（2）已知点 A（2，0），请通过画图说明点 A 和四边形 CDEF 的“中点形”是否为四
边形？若是，写出四边形各顶点的坐标，若不是，说明理由；
（3）点 B 为直线 y=2x 上一点，记点 B 和四边形 CDEF 的中点形为图形 M，若图形
M 与四边形 CDEF 有公共点，直接写出点 B 的横坐标 b 的取值范围．
例题 3
186
1. 如图，已知圆柱体底面圆的半径为
2 ，高为 2，AB、CD 分别是两底面的直径，AD、BC
是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是
(结果保留根式)
2. 如图，在矩形 ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，取 EF 的
中点 G，连接 CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE=CD；
②∠DGF=135°；
③∠ABG+∠ADG=180°；
④若 2
3
AB
AD
，则 ΔBDG ΔDGF3 13S S ．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
3. 已知一组数据：10，8，6，10，8，13，11，10，12，7，10，11，10，9，12，10，9，
12，9，8，把这组数据按照 6~7，8~9，10~11，12~13 分组，那么频率为 0.4 的一组
是 ．
4. 若一次函数 0 kbkxy 的函数值 y 随 x 的增大而减小，且图象与 y 轴的负半轴相
交，那么对 k 和 b 的符号判断正确的是（ ）
A． 0k ， 0b B． 0k ， 0b C． 0k ， 0b D． 0k ， 0b
5. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形
和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了
勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若 BD＝2，AE＝3，则正方形 ODCE 的
边长等于________
四 、课堂运用
基础
187
1. 某玉米种子的价格为 a 元/千克，如果一次购买 2 千克以上的种子，超过 2 千克部分的
种子价格打 8 折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了
分析，并绘制出了函数图象．以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知
点 A 的坐标为（2，10）．请你结合表格和图象：
付款金额（元） a 7．5 10 12 b
购买量（千克） 1 1．5 2 2．5 3
（1）指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量 x，并写出表中 a、b 的值；
（2）求出当 x＞2 时，y 关于 x 的函数解析式；
（3）甲农户将 8．8 元钱全部用于购买该玉米种子，乙农户购买了 4165 克该玉米种子，分
别计算他们的购买量和付款金额．
2. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD交于点O ．若 60ABC ， 1OA ，则
CD 的长为（ ）
A．1 B． 3
C．2 D． 32
巩固
188
3. 某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水），
在这三个过程中洗衣机内水量 y（升）与时间 x（分）之间的函数关系对应的图象大致
为（ ）
4. 为了庆祝新中国成立 70 周年，某校组织八年级全体学生参加“恰同学少年，忆峥嵘岁月”
新中国成立 70 周年知识竞赛活动．将随机抽取的部分学生成绩进行整理后分成 5 组，50～
60 分（50 60x ）的小组称为“学童”组，60～70 分(60 70x )的小组称为“秀才”组，
70～80 分(70 80x )的小组称为“举人”组，80～90 分(80 90x )的小组称为“进士”
组，90～100 分(90 100x )的小组称为“翰林”组，并绘制了不完整的频数分布直方图如
下，请结合提供的信息解答下列问题：
（1）若“翰林”组成绩的频率是 12.5％，请补全频数分布直方图；
（2）在此次比赛中，抽取学生的成绩的中位数在 组；
（3）学校决定对成绩在 70～100 分(70 100x )的学生进行奖励，若八年级共有 336 名学
生，请通过计算说明，大约有多少名学生获奖?
A． B． C． D．
189
1. 如图，四边形 ABCD是正方形， E是 CD 垂直平分线上的点，点 E关于 BD的对称点
是 'E ，直线 DE 与直线 'BE 交于点 F .
（1）若点 E是CD 边的中点，连接 AF ，则 FAD ＝ ；
（2）小明从老师那里了解到，只要点 E不在正方形的中心，则直线 AF 与 AD 所夹锐
角不变．他尝试改变点 E的位置，计算相应角度，验证老师的说法．
①如图，将点 E选在正方形内，且△ EAB为
等边三角形，求出直线 AF 与 AD 所夹锐
角的度数；
②请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法.
拔高
我没有沿用小明的想法，我的想法
是……
我想沿用小明的想法，把点 E选在
CD 垂直平分线上的另一个特殊位
置，我选择的位置是……
190
我选择 小明的想法；（填“用”或“不用”）并简述求直线 AF 与 CD 所夹锐角
度数的思路．
2. 我们对平面直角坐标系 xoy 中的三角形给出新的定义：三角形的“横长”和三角形的“纵
长”.
我们假设点 ),( 11 yxP ， ),( 22 yxQ 是三角形边上的任意两点．如果 21 xx 的最大值
为m ，那么三角形的“横长” mlx ；如果 21 yy 的最大值为n ，那么三角形的
“纵长” nly ．如右图，该三角形的“横长” 213 xl ；“纵长” 303 yl ．
当 xy ll 时，我们管这样的三角形叫做“方三角形”．
图 1
（1）如图1所示，已知点 00 ，O ， 02 ，A ．
191
① 在点 31 ，C ， 12 ，D ，
22
1 ，E 中，可以和点O ，点 A 构成“方三角形”的点是
；
②若点 F 在函数 42 xy 上，且 OAF△ 为“方三角形”，求点 F 的坐标；
（2）如图 2 所示，已知点 00 ，O ， 21 - ，G ，点 H 为平面直角坐标系中任意一点．若
OGH△ 为“方三角形”，且 2OGHS△ ，请直接写出点 H 的坐标．
图 2
本节课主要进行知识的梳理，同时利用2018,2019年期末及中考题进行练习.
1. 已知一次函数 y=kx+b﹣x 的图象与 x 轴的正半轴相交，且函数值 y 随自变量 x 的增大而
增大，则 k，b 的取值情况为（ ）
A．k＞1，b＜0 B．k＞1，b＞0 C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0
五 、课堂小结
六 、课后作业
基础
192
2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点 D 在 y 轴上，且 ( 3,0)A ，
(2, )B b ，则正方形 ABCD 的面积是（ ）
A．13 B． 20 C． 25 D．34
3. 如图，在△ ABC 中, 5AB ， 6BC ， BC 边上的中线 4AD ，那么 AC 的长是
（ ）
A．5 B． 6
C． 34 D． 2 13
4. 如图，每个小正方形的边长为
1
，在△ABC 中，点 A，B，C 均在格点上，点 D 为 AB
的中点，则线段 CD 的长为 ．
巩固
193
1. 如图，在平面直角坐标系 xoy 中， 11 ，A ， 22 ，B ，一次函数 bxy 2 与线段 AB
有公共点，则 b 的取值范围是（ ）
A． 63 b B． 43 b
C． 21 b D． 12 b
2. 如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， M 是 CD 边的中点．若 8AB ，
3OM ，则线段OB 的长为__________．
3. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，且 AD≠CD，过点 O 作 OM⊥AC，交 AD 于
点 M．如果△CDM 的周长为 8，那么平行四边形 ABCD 的周长是（ ）
A． 8 B．12 C．16 D．20
4. 学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校
对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自
的成绩（百分制）如下表:
选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为 80．25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩
194
看，应选派谁;
（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们 2、1、3 和 4 的权，请
分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．
1. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上任意一点，连接 DE ．过点C 作线段 DE
的平行线，交 AB延长线于点 F ．
（1）证明： BFAE ．
（2）过点 E 作 CFEG ，垂足为点G ．点 M 为 DC 边中点，连接 ME ， MG ．
① 根据题意完成作图；
1 猜想线段 ME ， MG 的数量关系，并写出你的证明思路．
2. 在平面直角坐标系 xoy 中，已知一次函数 01 mmxy 与 02 kbkxy 相交于
点 21 ，A ，且 02 kbkxy 与 y 轴交于点 30 ，B ．
（1）求一次函数 1y 和 2y 的解析式；
（2）当 021 yy 时，求出 x 的取值范围．
3. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边所在直线上一动点（不与点 B、C 重合），过点 B
作 BF⊥DE，交射线 DE 于点 F，连接 CF．
（1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
拔高
195
②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF，CF，DF 之间的数量关系，并证明．
（2）当点 E 在直线 BC 上时，直接写出线段 BF，CF，DF 之间的数量关系，不需证明．
图 1 备用图
七 、教学反
